Gauß- newton methode bsp. < Nichtlineare Gleich. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:22 Do 20.02.2014 | | Autor: | nero08 |
Hallo!
Folgendes beispiel:
Gauß-Newton zur Lösung des Ausgleichsproblems
|| f(x) - L [mm] ||^2 \to [/mm] min
für f: [mm] R^2 \to R^3,
[/mm]
[mm] \vektor{(x_1) \\ (x_2) } \mapsto \vektor{x_2* exp(x_1) \\x_1 * cos(x_2))\\(x_1+1)}
[/mm]
L= [mm] \vektor{1\\1/2\\3/2}
[/mm]
Berechne eine Iteration mit x^(0) = [mm] \vektor{0\\0}
[/mm]
okay nun mal:
|| [mm] \vektor{x_2*exp(x_1) \\x_1*cos(x_2)\\x_1 + 1} [/mm] - [mm] \vektor{1\\1/2\\3/2} [/mm] || -> min
[mm] \bruch{\partial F(x_1,x_2)}{\partial x_j} [/mm] = 2 [mm] \summe_{i=1}^{3} \bruch{\partial f_i(x_1,x_2,x_3)}{\partial x_j}*(f_i(x_1,x_2,x_3) [/mm] - [mm] L_i) [/mm] = 0, j=1,2
[mm] \bruch{\partial F(x_1,x_2)}{\partial x_1} [/mm] = [mm] 2*(x_2 [/mm] exp(x-1)-1) + [mm] cos(x_2)(x_1*cos(x_2) [/mm] - 0.5) + [mm] 1*(x_1 [/mm] -0.5)) =0
[mm] \bruch{\partial F(x_1,x_2)}{\partial x_2} [/mm] = [mm] 2*(exp(x_1)(x_2*exp(x_1) [/mm] - 1) - [mm] x_1*sin(x_2)(x_1*cos(x_2) [/mm] - 0.5) + 0*(..)) = 0
Leider hänge ich jetzt. Wie muss ich dies jetzt korrekt anschreiben, dass ich dann die Iteration durchführen kann?
danke und lg
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Hallo nero08,
> Hallo!
>
> Folgendes beispiel:
>
> Gauß-Newton zur Lösung des Ausgleichsproblems
> || f(x) - L [mm]||^2 \to[/mm] min
> für f: [mm]R^2 \to R^3,[/mm]
> [mm]\vektor{(x_1) \\ (x_2) } \mapsto \vektor{x_2* exp(x_1) \\x_1 * cos(x_2))\\(x_1+1)}[/mm]
>
> L= [mm]\vektor{1\\1/2\\3/2}[/mm]
>
> Berechne eine Iteration mit x^(0) = [mm]\vektor{0\\0}[/mm]
>
> okay nun mal:
>
> || [mm]\vektor{x_2*exp(x_1) \\x_1*cos(x_2)\\x_1 + 1}[/mm] -
> [mm]\vektor{1\\1/2\\3/2}[/mm] || -> min
>
> [mm]\bruch{\partial F(x_1,x_2)}{\partial x_j}[/mm] = 2
> [mm]\summe_{i=1}^{3} \bruch{\partial f_i(x_1,x_2,x_3)}{\partial x_j}*(f_i(x_1,x_2,x_3)[/mm]
> - [mm]L_i)[/mm] = 0, j=1,2
>
>
>
> [mm]\bruch{\partial F(x_1,x_2)}{\partial x_1}[/mm] = [mm]2*(x_2[/mm]
> exp(x-1)-1) + [mm]cos(x_2)(x_1*cos(x_2)[/mm] - 0.5) + [mm]1*(x_1[/mm] -0.5))
> =0
>
>
> [mm]\bruch{\partial F(x_1,x_2)}{\partial x_2}[/mm] =
> [mm]2*(exp(x_1)(x_2*exp(x_1)[/mm] - 1) - [mm]x_1*sin(x_2)(x_1*cos(x_2)[/mm] -
> 0.5) + 0*(..)) = 0
>
>
> Leider hänge ich jetzt. Wie muss ich dies jetzt korrekt
> anschreiben, dass ich dann die Iteration durchführen
> kann?
>
Obiges ist ein nichtlineares Gleichungssystem.
Die Lösung dieses nichtlinearen Gleichungsystems erfolgt
in dem jede Gleichung durch ihre Tangentialebene ersetzt wird.
Dann hast Du ein lineares Gleichungsystem, das Du iterativ lösen kannst.
> danke und lg
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:23 Do 20.02.2014 | | Autor: | nero08 |
> Hallo nero08,
>
> > Hallo!
> >
> > Folgendes beispiel:
> >
> > Gauß-Newton zur Lösung des Ausgleichsproblems
> > || f(x) - L [mm]||^2 \to[/mm] min
> > für f: [mm]R^2 \to R^3,[/mm]
> > [mm]\vektor{(x_1) \\ (x_2) } \mapsto \vektor{x_2* exp(x_1) \\x_1 * cos(x_2))\\(x_1+1)}[/mm]
>
> >
> > L= [mm]\vektor{1\\1/2\\3/2}[/mm]
> >
> > Berechne eine Iteration mit x^(0) = [mm]\vektor{0\\0}[/mm]
> >
> > okay nun mal:
> >
> > || [mm]\vektor{x_2*exp(x_1) \\x_1*cos(x_2)\\x_1 + 1}[/mm] -
> > [mm]\vektor{1\\1/2\\3/2}[/mm] || -> min
> >
> > [mm]\bruch{\partial F(x_1,x_2)}{\partial x_j}[/mm] = 2
> > [mm]\summe_{i=1}^{3} \bruch{\partial f_i(x_1,x_2,x_3)}{\partial x_j}*(f_i(x_1,x_2,x_3)[/mm]
> > - [mm]L_i)[/mm] = 0, j=1,2
> >
> >
> >
> > [mm]\bruch{\partial F(x_1,x_2)}{\partial x_1}[/mm] = [mm]2*(x_2[/mm]
> > exp(x-1)-1) + [mm]cos(x_2)(x_1*cos(x_2)[/mm] - 0.5) + [mm]1*(x_1[/mm] -0.5))
> > =0
> >
> >
> > [mm]\bruch{\partial F(x_1,x_2)}{\partial x_2}[/mm] =
> > [mm]2*(exp(x_1)(x_2*exp(x_1)[/mm] - 1) - [mm]x_1*sin(x_2)(x_1*cos(x_2)[/mm] -
> > 0.5) + 0*(..)) = 0
> >
> >
> > Leider hänge ich jetzt. Wie muss ich dies jetzt korrekt
> > anschreiben, dass ich dann die Iteration durchführen
> > kann?
> >
>
>
> Obiges ist ein nichtlineares Gleichungssystem.
>
> Die Lösung dieses nichtlinearen Gleichungsystems erfolgt
> in dem jede Gleichung durch ihre Tangentialebene ersetzt
> wird.
>
> Dann hast Du ein lineares Gleichungsystem, das Du iterativ
> lösen kannst.
>
>
Muss ich hier jetzt dann mit der Jacobi- matrix und p(x) = F(x0) - F(x0)'(x-xo) arbeiten?
Im Rahmen der theoretischen ausarbeitung des Kapitels kam halt die Tangentialebene nicht vor...
danke und lg
> >
>
>
> Gruss
> MathePower
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Hallo nero08,
> > Hallo nero08,
> >
> > > Hallo!
> > >
> > > Folgendes beispiel:
> > >
> > > Gauß-Newton zur Lösung des Ausgleichsproblems
> > > || f(x) - L [mm]||^2 \to[/mm] min
> > > für f: [mm]R^2 \to R^3,[/mm]
> > > [mm]\vektor{(x_1) \\ (x_2) } \mapsto \vektor{x_2* exp(x_1) \\x_1 * cos(x_2))\\(x_1+1)}[/mm]
>
> >
> > >
> > > L= [mm]\vektor{1\\1/2\\3/2}[/mm]
> > >
> > > Berechne eine Iteration mit x^(0) = [mm]\vektor{0\\0}[/mm]
> > >
> > > okay nun mal:
> > >
> > > || [mm]\vektor{x_2*exp(x_1) \\x_1*cos(x_2)\\x_1 + 1}[/mm] -
> > > [mm]\vektor{1\\1/2\\3/2}[/mm] || -> min
> > >
> > > [mm]\bruch{\partial F(x_1,x_2)}{\partial x_j}[/mm] = 2
> > > [mm]\summe_{i=1}^{3} \bruch{\partial f_i(x_1,x_2,x_3)}{\partial x_j}*(f_i(x_1,x_2,x_3)[/mm]
> > > - [mm]L_i)[/mm] = 0, j=1,2
> > >
> > >
> > >
> > > [mm]\bruch{\partial F(x_1,x_2)}{\partial x_1}[/mm] = [mm]2*(x_2[/mm]
> > > exp(x-1)-1) + [mm]cos(x_2)(x_1*cos(x_2)[/mm] - 0.5) + [mm]1*(x_1[/mm] -0.5))
> > > =0
> > >
> > >
> > > [mm]\bruch{\partial F(x_1,x_2)}{\partial x_2}[/mm] =
> > > [mm]2*(exp(x_1)(x_2*exp(x_1)[/mm] - 1) - [mm]x_1*sin(x_2)(x_1*cos(x_2)[/mm] -
> > > 0.5) + 0*(..)) = 0
> > >
> > >
> > > Leider hänge ich jetzt. Wie muss ich dies jetzt korrekt
> > > anschreiben, dass ich dann die Iteration durchführen
> > > kann?
> > >
> >
> >
> > Obiges ist ein nichtlineares Gleichungssystem.
> >
> > Die Lösung dieses nichtlinearen Gleichungsystems erfolgt
> > in dem jede Gleichung durch ihre Tangentialebene
> ersetzt
> > wird.
> >
> > Dann hast Du ein lineares Gleichungsystem, das Du iterativ
> > lösen kannst.
> >
> >
> Muss ich hier jetzt dann mit der Jacobi- matrix und p(x) =
> F(x0) - F(x0)'(x-xo) arbeiten?
>
Nein, du gehst von den Gleichungen
[mm]\bruch{\partial F\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{1}}=0[/mm]
[mm]\bruch{\partial F\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{2}}=0[/mm]
aus.
Da Du eine Lösung dieser Gleichung bestimmen willst,
geht das nur, wenn die linken Seiten der Gleichungen
durch die entsprechende Näherung (Taylorpolynom 1. Ordnung)
in dem vorgegebenen Punkt ersetzt werden.
> Im Rahmen der theoretischen ausarbeitung des Kapitels kam
> halt die Tangentialebene nicht vor...
>
Wenn Du so willst, nenne es Taylorpolynom 1.Ordnung.
>
> danke und lg
> > >
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:33 Fr 21.02.2014 | | Autor: | nero08 |
HI!
> Hallo nero08,
>
> > > Hallo nero08,
> > >
> > > > Hallo!
> > > >
> > > > Folgendes beispiel:
> > > >
> > > > Gauß-Newton zur Lösung des Ausgleichsproblems
> > > > || f(x) - L [mm]||^2 \to[/mm] min
> > > > für f: [mm]R^2 \to R^3,[/mm]
> > > > [mm]\vektor{(x_1) \\ (x_2) } \mapsto \vektor{x_2* exp(x_1) \\x_1 * cos(x_2))\\(x_1+1)}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > L= [mm]\vektor{1\\1/2\\3/2}[/mm]
> > > >
> > > > Berechne eine Iteration mit x^(0) = [mm]\vektor{0\\0}[/mm]
> > > >
> > > > okay nun mal:
> > > >
> > > > || [mm]\vektor{x_2*exp(x_1) \\x_1*cos(x_2)\\x_1 + 1}[/mm] -
> > > > [mm]\vektor{1\\1/2\\3/2}[/mm] || -> min
> > > >
> > > > [mm]\bruch{\partial F(x_1,x_2)}{\partial x_j}[/mm] = 2
> > > > [mm]\summe_{i=1}^{3} \bruch{\partial f_i(x_1,x_2,x_3)}{\partial x_j}*(f_i(x_1,x_2,x_3)[/mm]
> > > > - [mm]L_i)[/mm] = 0, j=1,2
> > > >
> > > >
> > > >
> > > > [mm]\bruch{\partial F(x_1,x_2)}{\partial x_1}[/mm] = [mm]2*(x_2[/mm]
> > > > exp(x-1)-1) + [mm]cos(x_2)(x_1*cos(x_2)[/mm] - 0.5) + [mm]1*(x_1[/mm] -0.5))
> > > > =0
> > > >
> > > >
> > > > [mm]\bruch{\partial F(x_1,x_2)}{\partial x_2}[/mm] =
> > > > [mm]2*(exp(x_1)(x_2*exp(x_1)[/mm] - 1) - [mm]x_1*sin(x_2)(x_1*cos(x_2)[/mm] -
> > > > 0.5) + 0*(..)) = 0
> > > >
> > > >
> > > > Leider hänge ich jetzt. Wie muss ich dies jetzt korrekt
> > > > anschreiben, dass ich dann die Iteration durchführen
> > > > kann?
> > > >
> > >
> > >
> > > Obiges ist ein nichtlineares Gleichungssystem.
> > >
> > > Die Lösung dieses nichtlinearen Gleichungsystems erfolgt
> > > in dem jede Gleichung durch ihre Tangentialebene
> > ersetzt
> > > wird.
> > >
> > > Dann hast Du ein lineares Gleichungsystem, das Du iterativ
> > > lösen kannst.
> > >
> > >
> > Muss ich hier jetzt dann mit der Jacobi- matrix und p(x) =
> > F(x0) - F(x0)'(x-xo) arbeiten?
> >
>
>
> Nein, du gehst von den Gleichungen
>
> [mm]\bruch{\partial F\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{1}}=0[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial F\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{2}}=0[/mm]
>
> aus.
>
> Da Du eine Lösung dieser Gleichung bestimmen willst,
> geht das nur, wenn die linken Seiten der Gleichungen
> durch die entsprechende Näherung (Taylorpolynom 1.
> Ordnung)
> in dem vorgegebenen Punkt ersetzt werden.
Okay,vl. wurde das notwendige auch nicht behandelt. Jedenfalls hab ich zum Talyorpolynom folgendes gefunden:
f(x,y) = [mm] f(x_0,y_0) [/mm] + [mm] \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0) \cdot (x-x_0) [/mm] + [mm] \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0) \cdot (y-y_0)
[/mm]
kann ich dies für die 1. ordnung verwenden?
enspricht f(x,y) jetzt einfach meiner oben errechneten ableitung?
Also f(x,y) = [mm]\bruch{\partial F(x_1,x_2)}{\partial x_1}[/mm] = [mm]2*(x_2[/mm]exp(x-1)-1) + [mm]cos(x_2)(x_1*cos(x_2)[/mm] - 0.5) + [mm]1*(x_1[/mm] -0.5))
EDIT: ich hoffe es ist klar, wie ich dies meine. ich leite meien oben errechnete gleichung nochmal nach x und y ab und setzte dann ein. also wird es quasi als Ausgangsfunktion verwendet?
Das gleiche dann natürlich für die nach y abgeleitete Funktion...
Wenn ich dies dann ausgerechnet habe, setze ich f(0,0) ein?
bzw. was wäre das Entwicklungszentrum x0 bzw y0?
>
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> > Im Rahmen der theoretischen ausarbeitung des Kapitels kam
> > halt die Tangentialebene nicht vor...
> >
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> Wenn Du so willst, nenne es Taylorpolynom 1.Ordnung.
>
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> >
> > danke und lg
> > > >
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> > > Gruss
> > > MathePower
> >
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>
> Gruss
> MathePower
lg
nero
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Hallo nero08,
> HI!
> > Hallo nero08,
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> > > > Hallo nero08,
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> > > > > Hallo!
> > > > >
> > > > > Folgendes beispiel:
> > > > >
> > > > > Gauß-Newton zur Lösung des Ausgleichsproblems
> > > > > || f(x) - L [mm]||^2 \to[/mm] min
> > > > > für f: [mm]R^2 \to R^3,[/mm]
> > > > >
> [mm]\vektor{(x_1) \\ (x_2) } \mapsto \vektor{x_2* exp(x_1) \\x_1 * cos(x_2))\\(x_1+1)}[/mm]
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> > > > > L= [mm]\vektor{1\\1/2\\3/2}[/mm]
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> > > > > Berechne eine Iteration mit x^(0) = [mm]\vektor{0\\0}[/mm]
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> > > > > okay nun mal:
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> > > > > || [mm]\vektor{x_2*exp(x_1) \\x_1*cos(x_2)\\x_1 + 1}[/mm] -
> > > > > [mm]\vektor{1\\1/2\\3/2}[/mm] || -> min
> > > > >
> > > > > [mm]\bruch{\partial F(x_1,x_2)}{\partial x_j}[/mm] = 2
> > > > > [mm]\summe_{i=1}^{3} \bruch{\partial f_i(x_1,x_2,x_3)}{\partial x_j}*(f_i(x_1,x_2,x_3)[/mm]
> > > > > - [mm]L_i)[/mm] = 0, j=1,2
> > > > >
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> > > > > [mm]\bruch{\partial F(x_1,x_2)}{\partial x_1}[/mm] = [mm]2*(x_2[/mm]
> > > > > exp(x-1)-1) + [mm]cos(x_2)(x_1*cos(x_2)[/mm] - 0.5) + [mm]1*(x_1[/mm] -0.5))
> > > > > =0
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> > > > > [mm]\bruch{\partial F(x_1,x_2)}{\partial x_2}[/mm] =
> > > > > [mm]2*(exp(x_1)(x_2*exp(x_1)[/mm] - 1) - [mm]x_1*sin(x_2)(x_1*cos(x_2)[/mm] -
> > > > > 0.5) + 0*(..)) = 0
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> > > > > Leider hänge ich jetzt. Wie muss ich dies jetzt korrekt
> > > > > anschreiben, dass ich dann die Iteration durchführen
> > > > > kann?
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> > > > Obiges ist ein nichtlineares Gleichungssystem.
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> > > > Die Lösung dieses nichtlinearen Gleichungsystems erfolgt
> > > > in dem jede Gleichung durch ihre Tangentialebene
> > > ersetzt
> > > > wird.
> > > >
> > > > Dann hast Du ein lineares Gleichungsystem, das Du iterativ
> > > > lösen kannst.
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> > > >
> > > Muss ich hier jetzt dann mit der Jacobi- matrix und p(x) =
> > > F(x0) - F(x0)'(x-xo) arbeiten?
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> > Nein, du gehst von den Gleichungen
> >
> > [mm]\bruch{\partial F\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{1}}=0[/mm]
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> > [mm]\bruch{\partial F\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{2}}=0[/mm]
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> > aus.
> >
> > Da Du eine Lösung dieser Gleichung bestimmen willst,
> > geht das nur, wenn die linken Seiten der Gleichungen
> > durch die entsprechende Näherung (Taylorpolynom 1.
> > Ordnung)
> > in dem vorgegebenen Punkt ersetzt werden.
>
>
> Okay,vl. wurde das notwendige auch nicht behandelt.
> Jedenfalls hab ich zum Talyorpolynom folgendes gefunden:
>
> f(x,y) = [mm]f(x_0,y_0)[/mm] + [mm]\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0) \cdot (x-x_0)[/mm]
> + [mm]\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0) \cdot (y-y_0)[/mm]
>
> kann ich dies für die 1. ordnung verwenden?
>
Wenn Du für f den richtigen Term einsetzt, ja.
> enspricht f(x,y) jetzt einfach meiner oben errechneten
> ableitung?
>
> Also f(x,y) = [mm]\bruch{\partial F(x_1,x_2)}{\partial x_1}[/mm] =
> [mm]2*(x_2[/mm]exp(x-1)-1) + [mm]cos(x_2)(x_1*cos(x_2)[/mm] - 0.5) + [mm]1*(x_1[/mm]
> -0.5))
>
> EDIT: ich hoffe es ist klar, wie ich dies meine. ich leite
> meien oben errechnete gleichung nochmal nach x und y ab
> und setzte dann ein. also wird es quasi als
> Ausgangsfunktion verwendet?
>
> Das gleiche dann natürlich für die nach y abgeleitete
> Funktion...
>
> Wenn ich dies dann ausgerechnet habe, setze ich f(0,0)
> ein?
>
> bzw. was wäre das Entwicklungszentrum x0 bzw y0?
>
Wir haben doch 2 nichtlineare Gleichungen, die zu lösen sind.
Diese beiden nichtlinearen Gleichungen sind durch
das Taylorpolynom 1. Ordnung anzunäheren,damit
ein lineares Gleichungssystem entsteht.
> >
> >
> > > Im Rahmen der theoretischen ausarbeitung des Kapitels kam
> > > halt die Tangentialebene nicht vor...
> > >
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> >
> > Wenn Du so willst, nenne es Taylorpolynom 1.Ordnung.
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> > > danke und lg
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> > > > Gruss
> > > > MathePower
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> > Gruss
> > MathePower
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Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:50 Fr 21.02.2014 | | Autor: | nero08 |
> Hallo nero08,
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> > HI!
> > > Hallo nero08,
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> > > > > Hallo nero08,
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> > > > > > Hallo!
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> > > > > > Folgendes beispiel:
> > > > > >
> > > > > > Gauß-Newton zur Lösung des Ausgleichsproblems
> > > > > > || f(x) - L [mm]||^2 \to[/mm] min
> > > > > > für f: [mm]R^2 \to R^3,[/mm]
> > > > > >
> > [mm]\vektor{(x_1) \\ (x_2) } \mapsto \vektor{x_2* exp(x_1) \\x_1 * cos(x_2))\\(x_1+1)}[/mm]
>
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> > > > > > L= [mm]\vektor{1\\1/2\\3/2}[/mm]
> > > > > >
> > > > > > Berechne eine Iteration mit x^(0) = [mm]\vektor{0\\0}[/mm]
> > > > > >
> > > > > > okay nun mal:
> > > > > >
> > > > > > || [mm]\vektor{x_2*exp(x_1) \\x_1*cos(x_2)\\x_1 + 1}[/mm] -
> > > > > > [mm]\vektor{1\\1/2\\3/2}[/mm] || -> min
> > > > > >
> > > > > > [mm]\bruch{\partial F(x_1,x_2)}{\partial x_j}[/mm] = 2
> > > > > > [mm]\summe_{i=1}^{3} \bruch{\partial f_i(x_1,x_2,x_3)}{\partial x_j}*(f_i(x_1,x_2,x_3)[/mm]
> > > > > > - [mm]L_i)[/mm] = 0, j=1,2
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > > [mm]\bruch{\partial F(x_1,x_2)}{\partial x_1}[/mm] = [mm]2*(x_2[/mm]
> > > > > > exp(x-1)-1) + [mm]cos(x_2)(x_1*cos(x_2)[/mm] - 0.5) + [mm]1*(x_1[/mm] -0.5))
> > > > > > =0
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > > [mm]\bruch{\partial F(x_1,x_2)}{\partial x_2}[/mm] =
> > > > > > [mm]2*(exp(x_1)(x_2*exp(x_1)[/mm] - 1) - [mm]x_1*sin(x_2)(x_1*cos(x_2)[/mm] -
> > > > > > 0.5) + 0*(..)) = 0
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> > > > > > Leider hänge ich jetzt. Wie muss ich dies jetzt korrekt
> > > > > > anschreiben, dass ich dann die Iteration durchführen
> > > > > > kann?
> > > > > >
> > > > >
> > > > >
> > > > > Obiges ist ein nichtlineares Gleichungssystem.
> > > > >
> > > > > Die Lösung dieses nichtlinearen Gleichungsystems erfolgt
> > > > > in dem jede Gleichung durch ihre
> Tangentialebene
> > > > ersetzt
> > > > > wird.
> > > > >
> > > > > Dann hast Du ein lineares Gleichungsystem, das Du iterativ
> > > > > lösen kannst.
> > > > >
> > > > >
> > > > Muss ich hier jetzt dann mit der Jacobi- matrix und p(x) =
> > > > F(x0) - F(x0)'(x-xo) arbeiten?
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> > >
> > >
> > > Nein, du gehst von den Gleichungen
> > >
> > > [mm]\bruch{\partial F\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{1}}=0[/mm]
>
> >
> > >
> > > [mm]\bruch{\partial F\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{2}}=0[/mm]
>
> >
> > >
> > > aus.
> > >
> > > Da Du eine Lösung dieser Gleichung bestimmen willst,
> > > geht das nur, wenn die linken Seiten der
> Gleichungen
> > > durch die entsprechende Näherung (Taylorpolynom 1.
> > > Ordnung)
> > > in dem vorgegebenen Punkt ersetzt werden.
> >
> >
> > Okay,vl. wurde das notwendige auch nicht behandelt.
> > Jedenfalls hab ich zum Talyorpolynom folgendes gefunden:
> >
> > f(x,y) = [mm]f(x_0,y_0)[/mm] + [mm]\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0) \cdot (x-x_0)[/mm]
> > + [mm]\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0) \cdot (y-y_0)[/mm]
> >
>
> > kann ich dies für die 1. ordnung verwenden?
> >
>
>
> Wenn Du für f den richtigen Term einsetzt, ja.
>
>
[mm] \bruch{\partial f(x1,x2)}{\partial x1} [/mm] = [mm] 2*(x_2 exp(x_1)(x_2+exp(x_1) [/mm] -1) + [mm] x_2 exp(x_1)(x_2*exp(x_1)) [/mm] + [mm] cos(x_2)^2* x_1 [/mm] + 1)
[mm] \bruch{\partial f(x1,x2)}{\partial x2} [/mm] = [mm] 2*(exp(x_1)*(x_2*exp(x_1 [/mm] - 1) + [mm] x_2*exp(x_1)*(exp(x_1) [/mm] - 1) - [mm] sin(x_2)*(x_1*cos(x_2)- [/mm] 0.5) + [mm] cos(x_2) [/mm] * [mm] (-x_1*sin(x_2))+ [/mm] 0)
Talyorpolynom:
f(x1, x2) = [mm] f(x_1(0),x_2(0)) [/mm] + [mm] 2*[x_2(0) exp(x_1(0))(x_2(0)+exp(x_1(0)) [/mm] -1) + [mm] x_2 exp(x_1(0))(x_2(0)*exp(x_1(0))) [/mm] + [mm] cos(x_2(0))^2* x_1(0) [/mm] + [mm] 1]*(x_1- x_1(0)) [/mm] +
[mm] 2*[(exp(x_1(0))*(x_2*exp(x_1(0) [/mm] - 1) + [mm] x_2*exp(x_1(0))*(exp(x_1(0)) [/mm] - 1) - [mm] sin(x_2(0))*(x_1*cos(x_2(0))- [/mm] 0.5) + [mm] cos(x_2(0)) [/mm] * [mm] (-x_1(0)*sin(x_2(0)))+ [/mm] 0)
//sorry, keine ahung wie man einen doppelt untergestellten index macht
passt das mal so?
>
> > enspricht f(x,y) jetzt einfach meiner oben errechneten
> > ableitung?
> >
> > Also f(x,y) = [mm]\bruch{\partial F(x_1,x_2)}{\partial x_1}[/mm] =
> > [mm]2*(x_2[/mm]exp(x-1)-1) + [mm]cos(x_2)(x_1*cos(x_2)[/mm] - 0.5) + [mm]1*(x_1[/mm]
> > -0.5))
> >
> > EDIT: ich hoffe es ist klar, wie ich dies meine. ich leite
> > meien oben errechnete gleichung nochmal nach x und y ab
> > und setzte dann ein. also wird es quasi als
> > Ausgangsfunktion verwendet?
> >
> > Das gleiche dann natürlich für die nach y abgeleitete
> > Funktion...
> >
> > Wenn ich dies dann ausgerechnet habe, setze ich f(0,0)
> > ein?
> >
> > bzw. was wäre das Entwicklungszentrum x0 bzw y0?
> >
>
>
> Wir haben doch 2 nichtlineare Gleichungen, die zu lösen
> sind.
>
> Diese beiden nichtlinearen Gleichungen sind durch
> das Taylorpolynom 1. Ordnung anzunäheren,damit
> ein lineares Gleichungssystem entsteht.
verstehe ich nicht, wie du das meinst, sorry. :(
>
>
> > >
> > >
> > > > Im Rahmen der theoretischen ausarbeitung des Kapitels kam
> > > > halt die Tangentialebene nicht vor...
> > > >
> > >
> > >
> > > Wenn Du so willst, nenne es Taylorpolynom 1.Ordnung.
> > >
> > >
> > > >
> > > > danke und lg
> > > > > >
> > > > >
> > > > >
> > > > > Gruss
> > > > > MathePower
> > > >
> > >
> > >
> > > Gruss
> > > MathePower
> >
> > lg
> > nero
>
>
> Gruss
> MathePower
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Hallo nero08,
Wir haben doch die 2 Gleichungen
[mm]\bruch{\partial F\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{1}}=0[/mm]
[mm]\bruch{\partial F\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{2}}=0[/mm]
Diese werden jetzt durch ein Taylorpolynom 1. Ordnung an der Stelle [mm]\left(x_{1_0},.x_{2_0}\right)[/mm] ersetzt.
Das ergibt dann
[mm]\bruch{\partial F\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{1}}\left(x_{1_0},x_{2_0}\right)+\bruch{\partial \bruch{\partial F\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{1}}}{\partial x_{1}}\left(x_{1_0},x_{2_0}\right)*\left(x_{1_1}-x_{1_{0}}\right)+\bruch{\partial \bruch{\partial F\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{2}}}{\partial x_{2}}\left(x_{1_0},x_{2_0}\right)*\left(x_{2_1}-x_{2_{0}}\right)=0[/mm]
[mm]\bruch{\partial F\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{2}}\left(x_{1_0},x_{2_0}\right)+\bruch{\partial \bruch{\partial F\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{2}}}{\partial x_{1}}\left(x_{1_0},x_{2_0}\right)*\left(x_{1_1}-x_{1_{0}}\right)+\bruch{\partial \bruch{\partial F\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{2}}}{\partial x_{2}}\left(x_{1_0},x_{2_0}\right)*\left(x_{2_1}-x_{2_{0}}\right)=0[/mm]
, wobei [mm]x_{1_0}, \ x_{2_0}[/mm] die Startwerte sind.
Die Lösung dieses Gleichungssystems ergibt die neuen Näherungen [mm]x_{1_1}, \ x_{2_1}[/mm]
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:23 Fr 21.02.2014 | | Autor: | nero08 |
hi!
> Hallo nero08,
>
>
> Wir haben doch die 2 Gleichungen
>
> [mm]\bruch{\partial F\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{1}}=0[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial F\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{2}}=0[/mm]
>
> Diese werden jetzt durch ein Taylorpolynom 1. Ordnung an
> der Stelle [mm]\left(x_{1_0},.x_{2_0}\right)[/mm] ersetzt.
>
> Das ergibt dann
>
> [mm]\bruch{\partial F\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{1}}\left(x_{1_0},x_{2_0}\right)+\bruch{\partial \bruch{\partial F\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{1}}}{\partial x_{1}}\left(x_{1_0},x_{2_0}\right)*\left(x_{1_1}-x_{1_{0}}\right)+\bruch{\partial \bruch{\partial F\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{2}}}{\partial x_{2}}\left(x_{1_0},x_{2_0}\right)*\left(x_{2_1}-x_{2_{0}}\right)=0[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial F\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{2}}\left(x_{1_0},x_{2_0}\right)+\bruch{\partial \bruch{\partial F\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{2}}}{\partial x_{1}}\left(x_{1_0},x_{2_0}\right)*\left(x_{1_1}-x_{1_{0}}\right)+\bruch{\partial \bruch{\partial F\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{2}}}{\partial x_{2}}\left(x_{1_0},x_{2_0}\right)*\left(x_{2_1}-x_{2_{0}}\right)=0[/mm]
>
> , wobei [mm]x_{1_0}, \ x_{2_0}[/mm] die Startwerte sind.
Gut, ich habe, die Ableitungen halt gleich ausgerechnet und dies eingesetzt. Oder "erspare" ich mir das und kann die werte bereits anhand deiner obigen Darstellung berechnen? Nur zur Info bitte bevor ich auch die ableitungen für die 2.Gleichung berechne...
Nur weiß ich leider in beidne Fällen nicht, wie ich das System lösen soll? :/
>
> Die Lösung dieses Gleichungssystems ergibt die neuen
> Näherungen [mm]x_{1_1}, \ x_{2_1}[/mm]
>
>
> Gruss
> MathePower
lg
nero
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Hallo nero08,
> hi!
> > Hallo nero08,
> >
> >
> > Wir haben doch die 2 Gleichungen
> >
> > [mm]\bruch{\partial F\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{1}}=0[/mm]
>
> >
> > [mm]\bruch{\partial F\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{2}}=0[/mm]
>
> >
> > Diese werden jetzt durch ein Taylorpolynom 1. Ordnung an
> > der Stelle [mm]\left(x_{1_0},.x_{2_0}\right)[/mm] ersetzt.
> >
> > Das ergibt dann
> >
> > [mm]\bruch{\partial F\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{1}}\left(x_{1_0},x_{2_0}\right)+\bruch{\partial \bruch{\partial F\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{1}}}{\partial x_{1}}\left(x_{1_0},x_{2_0}\right)*\left(x_{1_1}-x_{1_{0}}\right)+\bruch{\partial \bruch{\partial F\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{2}}}{\partial x_{2}}\left(x_{1_0},x_{2_0}\right)*\left(x_{2_1}-x_{2_{0}}\right)=0[/mm]
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> > [mm]\bruch{\partial F\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{2}}\left(x_{1_0},x_{2_0}\right)+\bruch{\partial \bruch{\partial F\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{2}}}{\partial x_{1}}\left(x_{1_0},x_{2_0}\right)*\left(x_{1_1}-x_{1_{0}}\right)+\bruch{\partial \bruch{\partial F\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{2}}}{\partial x_{2}}\left(x_{1_0},x_{2_0}\right)*\left(x_{2_1}-x_{2_{0}}\right)=0[/mm]
>
> >
> > , wobei [mm]x_{1_0}, \ x_{2_0}[/mm] die Startwerte sind.
>
>
> Gut, ich habe, die Ableitungen halt gleich ausgerechnet und
> dies eingesetzt. Oder "erspare" ich mir das und kann die
> werte bereits anhand deiner obigen Darstellung berechnen?
> Nur zur Info bitte bevor ich auch die ableitungen für die
> 2.Gleichung berechne...
>
Die Werte kannst Du anhand meiner Darstellung berechnen.
> Nur weiß ich leider in beidne Fällen nicht, wie ich das
> System lösen soll? :/
>
[mm]\bruch{\partial F\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{1}}\left(x_{1_0},x_{2_0}\right)+\bruch{\partial \bruch{\partial F\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{1}}}{\partial x_{1}}\left(x_{1_0},x_{2_0}\right)*\left(x_{1_1}-x_{1_{0}}\right)+\bruch{\partial \bruch{\partial F\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{1}}}{\partial x_{2}}\left(x_{1_0},x_{2_0}\right)*\left(x_{2_1}-x_{2_{0}}\right)=0[/mm]
[mm]\bruch{\partial F\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{2}}\left(x_{1_0},x_{2_0}\right)+\bruch{\partial \bruch{\partial F\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{2}}}{\partial x_{1}}\left(x_{1_0},x_{2_0}\right)*\left(x_{1_1}-x_{1_{0}}\right)+\bruch{\partial \bruch{\partial F\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{2}}}{\partial x_{2}}\left(x_{1_0},x_{2_0}\right)*\left(x_{2_1}-x_{2_{0}}\right)=0[/mm]
Das ist doch ein lineares Gleichungssystem,
das nach [mm]x_{1_1}, \ x_{2_1}[/mm] aufgelöst werden muss.
> >
> > Die Lösung dieses Gleichungssystems ergibt die neuen
> > Näherungen [mm]x_{1_1}, \ x_{2_1}[/mm]
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
> lg
> nero
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:43 Fr 21.02.2014 | | Autor: | nero08 |
hey
> Hallo nero08,
>
> > hi!
> > > Hallo nero08,
> > >
> > >
> > > Wir haben doch die 2 Gleichungen
> > >
> > > [mm]\bruch{\partial F\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{1}}=0[/mm]
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> > > [mm]\bruch{\partial F\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{2}}=0[/mm]
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> > >
> > > Diese werden jetzt durch ein Taylorpolynom 1. Ordnung an
> > > der Stelle [mm]\left(x_{1_0},.x_{2_0}\right)[/mm] ersetzt.
> > >
> > > Das ergibt dann
> > >
> > > [mm]\bruch{\partial F\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{1}}\left(x_{1_0},x_{2_0}\right)+\bruch{\partial \bruch{\partial F\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{1}}}{\partial x_{1}}\left(x_{1_0},x_{2_0}\right)*\left(x_{1_1}-x_{1_{0}}\right)+\bruch{\partial \bruch{\partial F\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{2}}}{\partial x_{2}}\left(x_{1_0},x_{2_0}\right)*\left(x_{2_1}-x_{2_{0}}\right)=0[/mm]
>
> >
> > >
> > > [mm]\bruch{\partial F\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{2}}\left(x_{1_0},x_{2_0}\right)+\bruch{\partial \bruch{\partial F\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{2}}}{\partial x_{1}}\left(x_{1_0},x_{2_0}\right)*\left(x_{1_1}-x_{1_{0}}\right)+\bruch{\partial \bruch{\partial F\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{2}}}{\partial x_{2}}\left(x_{1_0},x_{2_0}\right)*\left(x_{2_1}-x_{2_{0}}\right)=0[/mm]
>
> >
> > >
> > > , wobei [mm]x_{1_0}, \ x_{2_0}[/mm] die Startwerte sind.
> >
> >
> > Gut, ich habe, die Ableitungen halt gleich ausgerechnet und
> > dies eingesetzt. Oder "erspare" ich mir das und kann die
> > werte bereits anhand deiner obigen Darstellung berechnen?
> > Nur zur Info bitte bevor ich auch die ableitungen für die
> > 2.Gleichung berechne...
> >
>
>
> Die Werte kannst Du anhand meiner Darstellung berechnen.
>
>
> > Nur weiß ich leider in beidne Fällen nicht, wie ich das
> > System lösen soll? :/
> >
>
>
> [mm]\bruch{\partial F\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{1}}\left(x_{1_0},x_{2_0}\right)+\bruch{\partial \bruch{\partial F\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{1}}}{\partial x_{1}}\left(x_{1_0},x_{2_0}\right)*\left(x_{1_1}-x_{1_{0}}\right)+\bruch{\partial \bruch{\partial F\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{1}}}{\partial x_{2}}\left(x_{1_0},x_{2_0}\right)*\left(x_{2_1}-x_{2_{0}}\right)=0[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial F\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{2}}\left(x_{1_0},x_{2_0}\right)+\bruch{\partial \bruch{\partial F\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{2}}}{\partial x_{1}}\left(x_{1_0},x_{2_0}\right)*\left(x_{1_1}-x_{1_{0}}\right)+\bruch{\partial \bruch{\partial F\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{2}}}{\partial x_{2}}\left(x_{1_0},x_{2_0}\right)*\left(x_{2_1}-x_{2_{0}}\right)=0[/mm]
>
> Das ist doch ein lineares Gleichungssystem,
> das nach [mm]x_{1_1}, \ x_{2_1}[/mm] aufgelöst werden muss.
>
Ich bin mir so unsicher, da bekomme ich doch, wenn ich dann die berechneten Ableitungen etc. einsetzte riesiege Ketten von Funktionen, siehe unten. Der Prof meinte, dass bei der Klausur die rechenbeispiele ganz kurz sind.
Ich habe beispielsweise die beiden Gleichungen nach x1 umgeschrieben.
Setze ich nun die Werte für die 1. Gleichung ein so bekomme ich:
[mm] x_1 [/mm] = [mm] \bruch{2*(x_2_{0}*exp(x_1_{0})*(x_2_{0}*exp(x_1_{0})-1) + cos(x_2_{0})*(x_1_{0}*cos(x_2_{0}) -0.5) + 1(x_1_{0} - 0.5)) + 2*(x_2_{0}*exp(x_1)(x_2*exp(x_1) -1) + (x_2*exp(x_1)*(x_2*exp(x_1) + cos(x_2)^2*x_1 +1)*x_1_{0}+ 2*(exp(x_1)(x_2*exp(x_1) - 1) + x_2*exp(x_1)*(exp(x_1) - 1) - sin(x_2)*(x_1*cos(x_2) - 0.5) + cos(x_2)*(-x_1*sin(x_2}{2*(x_2_{0}*exp(x_1)(x_2*exp(x_1) -1) + (x_2*exp(x_1)*(x_2*exp(x_1) + cos(x_2)^2*x_1 +1)}
[/mm]
Ich glaube, dass es so geht, aber ich kann mir nicht vorstellen, dass man das bei der Klaur so schnell hinbringt. Hier der Link zu 3 Dateien, sie beinhalten die Mitschrift zu diesem Kapitel, vl. erkenns du dann, wie wir es gemacht haben :). Bitte es ist wirklich wichtig :)
http://remixshare.com/container/27161d6ecb
>
> > >
> > > Die Lösung dieses Gleichungssystems ergibt die neuen
> > > Näherungen [mm]x_{1_1}, \ x_{2_1}[/mm]
> > >
> > >
> > > Gruss
> > > MathePower
> > lg
> > nero
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> Gruss
> MathePower
thx
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Hallo nero08,
> hey
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> > Hallo nero08,
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> > > hi!
> > > > Hallo nero08,
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> > > >
> > > > Wir haben doch die 2 Gleichungen
> > > >
> > > > [mm]\bruch{\partial F\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{1}}=0[/mm]
>
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> > > >
> > > > [mm]\bruch{\partial F\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{2}}=0[/mm]
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> > > >
> > > > Diese werden jetzt durch ein Taylorpolynom 1. Ordnung an
> > > > der Stelle [mm]\left(x_{1_0},.x_{2_0}\right)[/mm] ersetzt.
> > > >
> > > > Das ergibt dann
> > > >
> > > > [mm]\bruch{\partial F\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{1}}\left(x_{1_0},x_{2_0}\right)+\bruch{\partial \bruch{\partial F\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{1}}}{\partial x_{1}}\left(x_{1_0},x_{2_0}\right)*\left(x_{1_1}-x_{1_{0}}\right)+\bruch{\partial \bruch{\partial F\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{2}}}{\partial x_{2}}\left(x_{1_0},x_{2_0}\right)*\left(x_{2_1}-x_{2_{0}}\right)=0[/mm]
>
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> > >
> > > >
> > > > [mm]\bruch{\partial F\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{2}}\left(x_{1_0},x_{2_0}\right)+\bruch{\partial \bruch{\partial F\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{2}}}{\partial x_{1}}\left(x_{1_0},x_{2_0}\right)*\left(x_{1_1}-x_{1_{0}}\right)+\bruch{\partial \bruch{\partial F\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{2}}}{\partial x_{2}}\left(x_{1_0},x_{2_0}\right)*\left(x_{2_1}-x_{2_{0}}\right)=0[/mm]
>
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> > >
> > > >
> > > > , wobei [mm]x_{1_0}, \ x_{2_0}[/mm] die Startwerte sind.
> > >
> > >
> > > Gut, ich habe, die Ableitungen halt gleich ausgerechnet und
> > > dies eingesetzt. Oder "erspare" ich mir das und kann die
> > > werte bereits anhand deiner obigen Darstellung berechnen?
> > > Nur zur Info bitte bevor ich auch die ableitungen für die
> > > 2.Gleichung berechne...
> > >
> >
> >
> > Die Werte kannst Du anhand meiner Darstellung berechnen.
> >
> >
> > > Nur weiß ich leider in beidne Fällen nicht, wie ich das
> > > System lösen soll? :/
> > >
> >
> >
> > [mm]\bruch{\partial F\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{1}}\left(x_{1_0},x_{2_0}\right)+\bruch{\partial \bruch{\partial F\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{1}}}{\partial x_{1}}\left(x_{1_0},x_{2_0}\right)*\left(x_{1_1}-x_{1_{0}}\right)+\bruch{\partial \bruch{\partial F\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{1}}}{\partial x_{2}}\left(x_{1_0},x_{2_0}\right)*\left(x_{2_1}-x_{2_{0}}\right)=0[/mm]
>
> >
> > [mm]\bruch{\partial F\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{2}}\left(x_{1_0},x_{2_0}\right)+\bruch{\partial \bruch{\partial F\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{2}}}{\partial x_{1}}\left(x_{1_0},x_{2_0}\right)*\left(x_{1_1}-x_{1_{0}}\right)+\bruch{\partial \bruch{\partial F\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{2}}}{\partial x_{2}}\left(x_{1_0},x_{2_0}\right)*\left(x_{2_1}-x_{2_{0}}\right)=0[/mm]
>
Das Gleichungssystem kannst Du auch in
Form einer Matrix-Vektor Gleichung schreiben:
[mm]\pmat{\bruch{\partial F\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{1}} \\ \bruch{\partial F\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{2}}}\left(x_{1_0},x_{2_0}\right)+\pmat{\bruch{\partial \bruch{\partial F\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{1}}}{\partial x_{1}}\left(x_{1_0},x_{2_0}\right) & \bruch{\partial \bruch{\partial F\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{1}}}{\partial x_{2}}\left(x_{1_0},x_{2_0}\right) \\ \bruch{\partial \bruch{\partial F\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{2}}}{\partial x_{1}}\left(x_{1_0},x_{2_0}\right) & \bruch{\partial \bruch{\partial F\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{2}}}{\partial x_{2}}\left(x_{1_0},x_{2_0}\right)}*\pmat{x_{1_1}-x_{1_0} \\ x_{2_1}-x_{2_0}}=0[/mm]
Das kannst Du jetzt aber nach [mm]x_{1_1}, \ x_{2_1}[/mm] formal auflösen.
>
> >
> > Das ist doch ein lineares Gleichungssystem,
> > das nach [mm]x_{1_1}, \ x_{2_1}[/mm] aufgelöst werden muss.
> >
> Ich bin mir so unsicher, da bekomme ich doch, wenn ich dann
> die berechneten Ableitungen etc. einsetzte riesiege Ketten
> von Funktionen, siehe unten. Der Prof meinte, dass bei der
> Klausur die rechenbeispiele ganz kurz sind.
>
>
> Ich habe beispielsweise die beiden Gleichungen nach x1
> umgeschrieben.
>
> Setze ich nun die Werte für die 1. Gleichung ein so
> bekomme ich:
>
> [mm]x_1[/mm] =
> [mm]\bruch{2*(x_2_{0}*exp(x_1_{0})*(x_2_{0}*exp(x_1_{0})-1) + cos(x_2_{0})*(x_1_{0}*cos(x_2_{0}) -0.5) + 1(x_1_{0} - 0.5)) + 2*(x_2_{0}*exp(x_1)(x_2*exp(x_1) -1) + (x_2*exp(x_1)*(x_2*exp(x_1) + cos(x_2)^2*x_1 +1)*x_1_{0}+ 2*(exp(x_1)(x_2*exp(x_1) - 1) + x_2*exp(x_1)*(exp(x_1) - 1) - sin(x_2)*(x_1*cos(x_2) - 0.5) + cos(x_2)*(-x_1*sin(x_2}{2*(x_2_{0}*exp(x_1)(x_2*exp(x_1) -1) + (x_2*exp(x_1)*(x_2*exp(x_1) + cos(x_2)^2*x_1 +1)}[/mm]
>
> Ich glaube, dass es so geht, aber ich kann mir nicht
> vorstellen, dass man das bei der Klaur so schnell
> hinbringt. Hier der Link zu 3 Dateien, sie beinhalten die
> Mitschrift zu diesem Kapitel, vl. erkenns du dann, wie wir
> es gemacht haben :). Bitte es ist wirklich wichtig :)
>
> http://remixshare.com/container/27161d6ecb
>
> >
> > > >
> > > > Die Lösung dieses Gleichungssystems ergibt die neuen
> > > > Näherungen [mm]x_{1_1}, \ x_{2_1}[/mm]
> > > >
> > > >
> > > > Gruss
> > > > MathePower
> > > lg
> > > nero
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> >
> > Gruss
> > MathePower
>
> thx
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:21 Sa 22.02.2014 | | Autor: | nero08 |
Hi!
Okay, wenn ich es in der von dir vorgeschlagenen Form angeschrieben habe(ist das nicht eh die jacobi matrix?), dann müsste ich doch gleich für x_ß werte einsetzten oder? sonst wird es mit dem auflösen ja gleich kompliziert.
[mm] x_0 [/mm] kann ich doch bel. wählen oder? kann ich z.B. [mm] x_0 [/mm] = 0 nehmen
danke und lg
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Hallo nero08,
> Hi!
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> Okay, wenn ich es in der von dir vorgeschlagenen Form
> angeschrieben habe(ist das nicht eh die jacobi matrix?),
> dann müsste ich doch gleich für x_ß werte einsetzten
> oder? sonst wird es mit dem auflösen ja gleich
> kompliziert.
>
Das ist die Jacobi-Matrix des Gradienten von F.
Betrachtest Du das genauer, ist das sogar die Hesse-Matrix von F.
> [mm]x_0[/mm] kann ich doch bel. wählen oder? kann ich z.B. [mm]x_0[/mm] = 0
> nehmen
>
Das ist doch vorgegeben.
> danke und lg
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:51 Sa 22.02.2014 | | Autor: | nero08 |
> Hallo nero08,
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> > Hi!
> >
> > Okay, wenn ich es in der von dir vorgeschlagenen Form
> > angeschrieben habe(ist das nicht eh die jacobi matrix?),
> > dann müsste ich doch gleich für x_ß werte einsetzten
> > oder? sonst wird es mit dem auflösen ja gleich
> > kompliziert.
> >
>
>
> Das ist die Jacobi-Matrix des Gradienten von F.
>
> Betrachtest Du das genauer, ist das sogar die Hesse-Matrix
> von F.
>
okay ich hab jetzt gleich mal [mm] x_0 [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] gesetzt.
Ich erhalte:
[mm] \vektor{-2 \\ -2} [/mm] + [mm] \pmat{ 2 & -2 \\ 2 & 2 } \vektor{x_{1_{1}} \\ x_{2_{1}}} [/mm] = 0
wenn ich das nach x auflöse erhalte ich:
[mm] x_{1_{1}}= [/mm] 1
[mm] x_{2_{1}} [/mm] = 0
schaut das gut aus? die ist jetzt also meine erste Iteration...
>
> > [mm]x_0[/mm] kann ich doch bel. wählen oder? kann ich z.B. [mm]x_0[/mm] = 0
> > nehmen
> >
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>
> Das ist doch vorgegeben.
>
>
> > danke und lg
>
>
> Gruss
> MathePower
danke und lg
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Hallo nero08,
> > Hallo nero08,
> >
> > > Hi!
> > >
> > > Okay, wenn ich es in der von dir vorgeschlagenen Form
> > > angeschrieben habe(ist das nicht eh die jacobi matrix?),
> > > dann müsste ich doch gleich für x_ß werte einsetzten
> > > oder? sonst wird es mit dem auflösen ja gleich
> > > kompliziert.
> > >
> >
> >
> > Das ist die Jacobi-Matrix des Gradienten von F.
> >
> > Betrachtest Du das genauer, ist das sogar die Hesse-Matrix
> > von F.
> >
> okay ich hab jetzt gleich mal [mm]x_0[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0}[/mm]
> gesetzt.
>
> Ich erhalte:
>
> [mm]\vektor{-2 \\ -2}[/mm] + [mm]\pmat{ 2 & -2 \\ 2 & 2 } \vektor{x_{1_{1}} \\ x_{2_{1}}}[/mm]
> = 0
>
Ich habe hier eine andere Einträge in der Matrix.
[mm]\pmat{ \blue{2} & -2 \\ \blue{2} & 2 } [/mm]
> wenn ich das nach x auflöse erhalte ich:
>
> [mm]x_{1_{1}}=[/mm] 1
> [mm]x_{2_{1}}[/mm] = 0
>
> schaut das gut aus? die ist jetzt also meine erste
> Iteration...
>
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> >
> > > [mm]x_0[/mm] kann ich doch bel. wählen oder? kann ich z.B. [mm]x_0[/mm] = 0
> > > nehmen
> > >
> >
> >
> > Das ist doch vorgegeben.
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> >
> > > danke und lg
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
> danke und lg
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:14 Sa 22.02.2014 | | Autor: | nero08 |
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> Ich habe hier eine andere Einträge in der Matrix.
>
> [mm]\pmat{ \blue{2} & -2 \\ \blue{2} & 2 }[/mm]
>
Okay, mal danke fürs mitrechnen. hab jetzt nochmal nachgerechnet und erhalte:
[mm]\pmat{ 3 & -2 \\ -2 & 2 }[/mm]
sowie [mm] x_1 [/mm] = 4 und [mm] x_2 [/mm] = 5
danke und lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:19 So 23.02.2014 | | Autor: | nero08 |
Okay, mal danke fürs mitrechnen. hab jetzt nochmal nachgerechnet und erhalte:
$ [mm] \pmat{ 3 & -2 \\ -2 & 2 } [/mm] $
sowie $ [mm] x_1 [/mm] $ = 4 und $ [mm] x_2 [/mm] $ = 5
danke und lg
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Hallo nero08,
> Okay, mal danke fürs mitrechnen. hab jetzt nochmal
> nachgerechnet und erhalte:
>
> [mm]\pmat{ 3 & -2 \\ -2 & 2 }[/mm]
>
Da stimmt wohl die zweite partielle Ableitung nach [mm]x_{1}[/mm] nicht ganz.
Diese lautet:
[mm]\[2\,{\mathrm{cos}\left( x_2\right) }^{2}+4\,{e}^{2\,x_1}\,{x_2}^{2}-2\,{e}^{x_1}\,x_2+2\][/mm]
Das sieht schon besser aus, ist aber immer noch nicht richtig:
[mm]\pmat{ \red{4} & -2 \\ -2 & 2 }[/mm]
>
> sowie [mm]x_1[/mm] = 4 und [mm]x_2[/mm] = 5
>
> danke und lg
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:03 So 23.02.2014 | | Autor: | nero08 |
stimmt, hat sich in der Ableitung ein fehler eingeschlichen.
bekomme jetzt auch die matrix:
[mm] \pmat{ 4 & -2 \\ -2 & 2 }
[/mm]
[mm] x_1= [/mm] 2
[mm] x_2= [/mm] 3
das müsste es gewesen sein oder? :)
lg
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Hallo nero08,
> stimmt, hat sich in der Ableitung ein fehler
> eingeschlichen.
>
> bekomme jetzt auch die matrix:
>
> [mm]\pmat{ 4 & -2 \\ -2 & 2 }[/mm]
>
> [mm]x_1=[/mm] 2
>
> [mm]x_2=[/mm] 3
>
>
> das müsste es gewesen sein oder? :)
>
Ja, das wars. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> lg
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 So 23.02.2014 | | Autor: | nero08 |
ich danke dir vielmals!!!!
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