Gauß < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:51 Di 23.06.2009 | | Autor: | Ice-Man |
Habe hier folgendes LGS.
[mm] -5x_{1}+x_{2}-4x_{3}=7
[/mm]
[mm] 2x_{2}+3x_{3}=4
[/mm]
Jetzt wurde mir gesagt, ich solle das LGS nach [mm] x_{3} [/mm] umstellen, und dann auflösen.
Warum? Kann ich das nicht "normal" mit der Stufenform lösen?
Aber nachdem ich es umgestellt habe, wurde mir das Ergebnis gesagt,
[mm] x_{1}=-\bruch{1}{5}(7+4x_{3}-x_{2})
[/mm]
[mm] x_{2}=2-\bruch{2}{3}x_{3}
[/mm]
Das [mm] \bruch{1}{5}, [/mm] kommt ja dadurch, das ich durch 5 teile, oder?
Und dann
[mm] x_{1}=-1-\bruch{11}{10}x_{3}
[/mm]
[mm] x_{2}=2-\bruch{3}{2}x_{3}
[/mm]
Und wo ist jetzt in der 1 Gleichung das [mm] x_{2} [/mm] hin, bzw. wie kommt man auf dieses Ergebnis?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:59 Di 23.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> Habe hier folgendes LGS.
> [mm]-5x_{1}+x_{2}-4x_{3}=7[/mm]
> [mm]2x_{2}+3x_{3}=4[/mm]
>
> Jetzt wurde mir gesagt, ich solle das LGS nach [mm]x_{3}[/mm]
> umstellen, und dann auflösen.
> Warum? Kann ich das nicht "normal" mit der Stufenform
> lösen?
Das kannst Du natürlich auch machen
>
> Aber nachdem ich es umgestellt habe, wurde mir das Ergebnis
> gesagt,
> [mm]x_{1}=-\bruch{1}{5}(7+4x_{3}-x_{2})[/mm]
> [mm]x_{2}=2-\bruch{2}{3}x_{3}[/mm]
>
> Das [mm]\bruch{1}{5},[/mm] kommt ja dadurch, das ich durch 5 teile,
> oder?
Ja
>
> Und dann
> [mm]x_{1}=-1-\bruch{11}{10}x_{3}[/mm]
> [mm]x_{2}=2-\bruch{3}{2}x_{3}[/mm]
>
> Und wo ist jetzt in der 1 Gleichung das [mm]x_{2}[/mm] hin, bzw. wie
> kommt man auf dieses Ergebnis?
(1) $ [mm] x_{1}=-\bruch{1}{5}(7+4x_{3}-x_{2}) [/mm] $
(2) $ [mm] x_{2}=2-\bruch{2}{3}x_{3} [/mm] $
Setze [mm] x_2 [/mm] aus (2) in Gleichung (1) ein, dann erhälst Du
$ [mm] x_{1}=-1-\bruch{11}{10}x_{3} [/mm] $
$ [mm] x_{2}=2-\bruch{3}{2}x_{3} [/mm] $
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:03 Di 23.06.2009 | | Autor: | Ice-Man |
Und wodurch sehe ich, ob ein LGS eine, keine oder unendlich viele Lsg. hat? (Bevor ich berechne?)
Ist das möglich?
Und das ein LGS 2 Lsg. hat, das geht nicht, oder doch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:12 Di 23.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> Und wodurch sehe ich, ob ein LGS eine, keine oder unendlich
> viele Lsg. hat? (Bevor ich berechne?)
Bevor Du irgendetwas rechnest, wirst Du das im allgemeinen nicht sehen
> Ist das möglich?
>
> Und das ein LGS 2 Lsg. hat, das geht nicht, oder doch?
Für ein LGS gibt es 3 Möglichkeiten:
1. eindeutig lösbar
2. mehrdeutig lösbar (in diesem Fall gibt es unendlich viele Lösungen)
3. unlösbar
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:30 Di 23.06.2009 | | Autor: | Ice-Man |
Und wo ist dann der Punkt, das ich sehe, wieviel Lsg. es gibt?
Ich meine, wenn nachdem ich mit dem rechnen angefangen habe, in (beispielsweise) einer Gleichung 3 X-Werte und in der 2. Gleichung 2 X-Werte übrig bleiben, dann gibt esdoch unendlich viele Lsg, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:34 Di 23.06.2009 | | Autor: | QCO |
a) Wenn du von Anfang an weniger Gleichungen als Variable hast, ist das System normalerweise unterbestimmt und es gibt unendlich viele Lösungen. Außer du kommst noch zu Punkt c)
b) Wenn du beim Rechnen (egal ob mit Gaußalg. oder "frei") an den Punkt kommst, dass in zwei Gleichungen/Zeilen das gleiche steht, weißt du, dass es wieder unterbestimmt ist. Siehe a)
c) Wenn du beim Rechnen an einen Punkt kommst, wo sich zwei Zeilen wiedersprechen (z.B.
[mm] I: 7x_1+2x_2 = 3[/mm]
[mm]II: 7x_1+2x_2 = 5[/mm])
dann gibt es keine Lösung.
d) Wenn du stur den Gaußalgorithmus durchziehst und am Ende verschwindet eine Zeile komplett bzw. wird zu 0=0, dann gibt es wieder unendlich viele Lösungen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:05 Di 23.06.2009 | | Autor: | Ice-Man |
Ok, ich habe hier dann mal 2 Übungsaufgaben gerechnet.
a)
[mm] x_{1}-x_{2}-3x_{3}=-5
[/mm]
[mm] x_{1}+2x_{2}+4x_{3}=7
[/mm]
[mm] 3x_{2}+7x_{3}=12
[/mm]
b)
[mm] x_{1}-x_{2}-3x_{3}=-5
[/mm]
[mm] x_{1}+2x_{2}+4x_{3}=7
[/mm]
[mm] -2x_{1}+2x_{2}+6x_{3}=12
[/mm]
Zu a)
[mm] x_{1}-x_{2}-3x_{3}=-5
[/mm]
[mm] 3x_{2}+7x_{3}=12
[/mm]
[mm] 3x_{2}+7x_{3}=12
[/mm]
(Dritte Gleichung fällt jetzt weg, oder?)
[mm] x_{2}=2,3x_{3}+4
[/mm]
[mm] x_{1}=5,3x_{3}-1
[/mm]
so und jetzt würde ich nur noch für [mm] x_{3} [/mm] parameter einsetzten.
würde das soweit stimmen?
also würde ich sagen, das dieses LGS unendlich viele Lsg hat.
Zu b)
[mm] x_{1}-x_{2}-3x_{3}=-5
[/mm]
[mm] x_{1}+x_{2}+4x_{3}=7
[/mm]
[mm] -2x_{1}+2x_{2}+6x_{3}=12
[/mm]
[mm] x_{1}-x_{2}-8x_{3}=-5
[/mm]
[mm] 3x_{2}+x_{3}=12
[/mm]
0=12
Daraus würde ich schließen das das LGS keine Lsg hat (Da 0=2, eine falsche Aussage ist)
Korrekt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:08 Di 23.06.2009 | | Autor: | fred97 |
Alles richtig gemacht
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:38 Di 23.06.2009 | | Autor: | Ice-Man |
Danke für die Kontrolle!
Das beruhigt mich ein wenig.
Dann habe ich aber zu dieser ganzen Problematik noch eine andere Frage.
Wie komme ich denn von diesem LGS zu einer Matrix?
Geht das?
(Z.b. an meiner berechneten Aufgabe?)
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Hallo, nehmen wir die Aufgabe aus a)
[mm] \pmat{ 1 & -1 & -3 & -5\\ 1 & 2 & 4 & 7 \\ 0 & 3 & 7 & 12}
[/mm]
Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:10 Di 23.06.2009 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo, da hat sich ein Vorzeichenfehler eingeschlichen a)
[mm] x_1=-1+\bruch{2}{3}p
[/mm]
[mm] x_2=4-\bruch{7}{3}p
[/mm]
[mm] x_3=p
[/mm]
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:26 Di 23.06.2009 | | Autor: | Ice-Man |
Klingt vielleicht jetzt richtig blöd von mir, aber was bedeutet denn in deiner mitteilung das "p"?
Aber nachdem ich ja die Matrix habe, kann ich ja die Determinanten bilden, richtig?
Das würde ja dann in diesem Fall so ausschauen.
[mm] \pmat{ 1 & -1 & -3 & -5\\ 1 & 2 & 4 & 7 \\ 0 & 3 & 7 & 12}
[/mm]
Das müsste ich ja nur noch "erweitern".
[mm] \pmat{ 1 & -1 & 3 & -5 & 1 \\ 1 & 2 & 4 & 7 & 1 \\ 0 & 3 & 7 & 12 & 0}
[/mm]
Und jetzt würde ich die Determinanten zu erst herausschreiben.
Nur jetzt weis ich nicht, wie ich das aufschreibe. Muss ich in "unserem Beispiel" die Zahlen nun addieren, multiplizieren, oder sonstiges?
Ich persönlich würde das jetzt so notieren.
127 + 142 + (-3)70 - 172 - 543 - 320
Und jetzt wüsste ich nicht mehr ganz weiter.
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Hallo, p ist dein frei wählbarer Parameter, eine Determinante ist nicht zu berechnen, forme geeignet um
[mm] \pmat{ 1 & -1 & -3 & -5\\ 1 & 2 & 4 & 7 \\ 0 & 3 & 7 & 12}
[/mm]
bilde eine neue 2. Zeile: 1. Zeile minus 2. Zeile
[mm] \pmat{ 1 & -1 & -3 & -5\\ 0 & -3 & -7 & -12 \\ 0 & 3 & 7 & 12}
[/mm]
bilde eine neue 2. Zeile: 2. Zeile mal (-1)
[mm] \pmat{ 1 & -1 & -3 & -5\\ 0 & 3 & 7 & 12 \\ 0 & 3 & 7 & 12}
[/mm]
du erkennst die Gleichheit der 2. und 3. Zeile, du hast ein Gleichungssystem mit drei Variablen und zwei Gleichungen, es folgt
[mm] 0x_1+3x_2+7x_3=12
[/mm]
setze [mm] x_3=p [/mm] dein Parameter
[mm] 0x_1+3x_2+7p=12
[/mm]
[mm] 3x_2=12-7p
[/mm]
[mm] x_2=4-\bruch{7}{3}p
[/mm]
aus der 1. Zeile kannst du nun [mm] x_1 [/mm] berechnen, mache dann die Probe für alle drei Gleichungen
Steffi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:39 Di 23.06.2009 | | Autor: | abakus |
> Ok, ich habe hier dann mal 2 Übungsaufgaben gerechnet.
> a)
> [mm]x_{1}-x_{2}-3x_{3}=-5[/mm]
> [mm]x_{1}+2x_{2}+4x_{3}=7[/mm]
> [mm]3x_{2}+7x_{3}=12[/mm]
>
> b)
> [mm]x_{1}-x_{2}-3x_{3}=-5[/mm]
> [mm]x_{1}+2x_{2}+4x_{3}=7[/mm]
> [mm]-2x_{1}+2x_{2}+6x_{3}=12[/mm]
>
> Zu a)
> [mm]x_{1}-x_{2}-3x_{3}=-5[/mm]
> [mm]3x_{2}+7x_{3}=12[/mm]
> [mm]3x_{2}+7x_{3}=12[/mm]
> (Dritte Gleichung fällt jetzt weg, oder?)
Hallo,
bis hierher ist es richtig.
>
> [mm]x_{2}=2,3x_{3}+4[/mm]
> [mm]x_{1}=5,3x_{3}-1[/mm]
Jetzt wird es grausam. 7:3 ist nicht 2,3 (sondern [mm] \bruch{7}{3}).
[/mm]
Hier darf man bei Zwischenergebnissen NIE runden.
Stelle dir mal vor, du hast ein GS mit
(1) [mm] x+\bruch{1}{3}y=12
[/mm]
(2) x+0,3y=11
Das hat die Lösung x=2, y=30.
Würdest du [mm] \bruch{1}{3} [/mm] auf 0,3 runden, lautete dein GS
(1) x+0,3y=12
(2) x+0,3y=11 (und das hätte keine Lösung).
Gruß Abakus
> so und jetzt würde ich nur noch für [mm]x_{3}[/mm] parameter
> einsetzten.
> würde das soweit stimmen?
> also würde ich sagen, das dieses LGS unendlich viele Lsg
> hat.
>
> Zu b)
> [mm]x_{1}-x_{2}-3x_{3}=-5[/mm]
> [mm]x_{1}+x_{2}+4x_{3}=7[/mm]
> [mm]-2x_{1}+2x_{2}+6x_{3}=12[/mm]
>
> [mm]x_{1}-x_{2}-8x_{3}=-5[/mm]
> [mm]3x_{2}+x_{3}=12[/mm]
> 0=12
>
> Daraus würde ich schließen das das LGS keine Lsg hat (Da
> 0=2, eine falsche Aussage ist)
> Korrekt?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:35 Di 23.06.2009 | | Autor: | Ice-Man |
Nochmal eine allgm. Frage.
Bei einem homogenem GS heißt es ja =0
und das bedeutet ja, das es wenigstens eine Lösung gibt.
Nur was ist, wenn das Ergebnis [mm] \not=0 [/mm] ist?
Wieviele Lösungen gibt es dann?
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Naja, die Antwort darauf hast du eigentlich schon, weil es ja nur drei Möglichkeiten gibt (0,1, [mm] \infty [/mm] viele Lösungen).
Ein homogenes LGS hat immer die eine Lösung, dass du alle Variablen gleich 0 setzt. Wenn du jetzt noch eine andere gefunden hast, dann muss es also zwangsläufig unendlich viele geben  .
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:49 Di 23.06.2009 | | Autor: | Ice-Man |
Und wenn ich einen widerspruch erhalte, dann gibt es ja automatisch keine Lösung, oder?
z.B. 4=0
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Hallo Ice-Man,
> Und wenn ich einen widerspruch erhalte, dann gibt es ja
> automatisch keine Lösung, oder?
>
> z.B. 4=0
Ja.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:04 Di 23.06.2009 | | Autor: | Ice-Man |
Habe noch eine Übungsaufgabe gerechnet.
Ich sollte bestimmen für welchen Wert von a und b das LGS keine Lösung hat.
[mm] 2x_{1}+3x_{2}-5x_{3}=12
[/mm]
[mm] 4x_{1}+6x_{2}+ax_{3}=b
[/mm]
[mm] 2x_{1}+3x_{2}-5x_{3}=12
[/mm]
[mm] ax_{3}+10x_{3}=b-12
[/mm]
[mm] x_{3}(a+10)=b-12
[/mm]
Daraus folgt.
Das LGS, hätte eine Lösung, wenn a=-10 und b=12, korrekt?
Und wenn ich jetzt noch weiter denken würde, dann würde ich sagen, das es keine Lösung hätte, wenn a=-10 und b ungleich 12 ist, stimmt das auch?
Nur ich bin mir nicht ganz sicher was die "unendlich vielen Lösungen" angeht.
Da würde ich sagen, das dafür a ungleich -10 und b ungleich 12 sein müsste.
Liege ich damit auch richtig?
Vielen Dank im vorraus.
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Hallo Ice-Man,
> Habe noch eine Übungsaufgabe gerechnet.
> Ich sollte bestimmen für welchen Wert von a und b das LGS
> keine Lösung hat.
>
> [mm]2x_{1}+3x_{2}-5x_{3}=12[/mm]
> [mm]4x_{1}+6x_{2}+ax_{3}=b[/mm]
>
> [mm]2x_{1}+3x_{2}-5x_{3}=12[/mm]
> [mm]ax_{3}+10x_{3}=b-12[/mm]
>
> [mm]x_{3}(a+10)=b-12[/mm]
>
> Daraus folgt.
> Das LGS, hätte eine Lösung, wenn a=-10 und b=12, korrekt?
Immerhin steht hier dann: [mm]0*x_{3}=0[/mm]
Und das hat mehr als nur eine Lösung.
>
> Und wenn ich jetzt noch weiter denken würde, dann würde ich
> sagen, das es keine Lösung hätte, wenn a=-10 und b ungleich
> 12 ist, stimmt das auch?
Ja, das ist korrekt.
>
> Nur ich bin mir nicht ganz sicher was die "unendlich vielen
> Lösungen" angeht.
> Da würde ich sagen, das dafür a ungleich -10 und b
> ungleich 12 sein müsste.
> Liege ich damit auch richtig?
Nein, die unendlich vielen Lösungen erhält man für den Fall a=-10 und b=12.
>
> Vielen Dank im vorraus.
>
>
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:19 Di 23.06.2009 | | Autor: | Cassipaya |
Es hat einen kleinen Fehler drin, ich hoffe aber, dass du hier nicht mit weitergerechnet hast:
Aus
> [mm]2x_{2}+3x_{3}=4[/mm]
machst du
> [mm]x_{2}=2-\bruch{2}{3}x_{3}[/mm]
das ist aber falsch. Weil du durch 2 dividierst, wird es zu
[mm]x_{2}=2-\bruch{3}{2}x_{3}[/mm]
Grüsse Cassiopaya
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