Gauß Algorithmus < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:01 Di 29.04.2008 | | Autor: | michi123 |
| Aufgabe | Ich habe die Aufgabe die Dimension und die Basis der folgenden Matrix anzugeben:
[mm] \pmat{1 & -2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & 8 & 3 }*\pmat{ x \\ y \\ z }=\pmat{ 0 \\ 0 \\ 0 } [/mm] |
Hallo,
wie oben beschrieben soll ich nun die Dimension und die Basis zu der Matrix angeben, nur leider weiß ich nicht ob das Ergebniss zu dem ich gekommen ist richtig ist.
Deswegen würde ich mich sehr freuen, wenn mir jemand von euch sagen könnte ob das noch folgende Ergebniss, welches ich dazu habe, korrekt ist bzw. falls dass nicht so sein sollte, es korrigieren könnte und gegebenenfalls mir die richtige Lösung erläutern würde.
Ich weiß, dass es vielleicht ein wenig viel verlangt ist. Würde mich aber dennoch freuen wenn mir jemand helfen könnte :))
Mein Ergebniss nach dem Gaußschen Algorithmus:
2x + y + 3z = 0 | *1
x -2y + z = 0 | *2 II - I
x+8y + 3z = 0 | *2 III - I
2x + y + 3z = 0
- 5y - z = 0 | *3
+15y + 3z = 0 | *1 III + II
2x + y + 3z = 0
-5y - z = 0
0 0 0 = 0
joa, denke irgendwie nicht das es richtig ist, hoffe Ihr helft mir
Danke schonmal im vorraus
mfg
michi
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
> Ich habe die Aufgabe die Dimension und die Basis der
> folgenden Matrix anzugeben:
>
> [mm]\pmat{1 & -2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & 8 & 3 }[/mm] * [mm]\pmat{ x \\ y \\ z }[/mm] = [mm]\pmat{ 0 \\ 0 \\ 0 }[/mm]
> Hallo,
>
> wie oben beschrieben soll ich nun die Dimension und die
> Basis zu der Matrix angeben, nur leider weiß ich nicht ob
> das Ergebniss zu dem ich gekommen ist richtig ist.
>
> Deswegen würde ich mich sehr freuen, wenn mir jemand von
> euch sagen könnte ob das noch folgende Ergebniss, welches
> ich dazu habe, korrekt ist bzw. falls dass nicht so sein
> sollte, es korrigieren könnte und gegebenenfalls mir die
> richtige Lösung erläutern würde.
>
> Ich weiß, dass es vielleicht ein wenig viel verlangt ist.
> Würde mich aber dennoch freuen wenn mir jemand helfen
> könnte :))
>
> Mein Ergebniss nach dem Gaußschen Algorithmus:
>
> 2x + y + 3z = 0 | *1
> x -2y + z = 0 | *2 II - I
> x+8y + 3z = 0 | *2 III - I
>
> 2x + y + 3z = 0
> - 5y - z = 0 | *3
> +15y + 3z = 0 | *1 III + II
>
> 2x + y + 3z = 0
> -5y - z = 0
> 0 0 0 = 0
>
> joa, denke irgendwie nicht das es richtig ist, hoffe Ihr
> helft mir
>
> Danke schonmal im vorraus
>
> mfg
>
> michi
hallo michi,
dein Rechenweg zeigt offenbar, dass die Matrix singulär ist, d.h. hier,
dass die 3.Gleichung eine Linearkombination der ersten beiden ist.
Die Dimension ("Rang") der Matrix ist also nicht der maximale Grad 3,
sondern nur 2.
Eine Basis müsste aus 2 Dreiervektoren bestehen. Nun weiss ich
aber nicht genau, ob man dafür Zeilen- oder Kolonnenvektoren
nimmt (beides sollte möglich sein). Die Wahl einer Basis ist auch
bestimmt nicht eindeutig. DIE Basis gibt es also nicht, ausser man
hat noch Zusatzbedingungen.
Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:44 Mi 30.04.2008 | | Autor: | michi123 |
Vielen dank für deine schnelle antwort.
Also war meine rechnung in ordnung ?
Oder hab ich das jetzt falsch verstanden?
|
|
|
| |
|
> Vielen dank für deine schnelle antwort.
> Also war meine rechnung in ordnung ?
> Oder hab ich das jetzt falsch verstanden?
Deine Rechnung (Gauß-Algorithmus) stimmt.
Sie zeigt, dass eine der 3 Gleichungen "überflüssig" ist.
Zum Begriff "Dimension": ich meine, dass die Matrix
die Dimension 3x3 hat (d.h. sie hat 3 Zeilen und 3 Kolonnen).
Sie hat aber den "Rang" 2, also nicht den grösstmöglichen
Rang 3, der bei einer 3x3-Matrix möglich wäre.
Zum Begriff "Basis": Die ganze Matrix bezieht sich natürlich
auf den Raum [mm] \IR^3. [/mm] Dieser hat eine Basis, bestehend aus
den 3 Basisvektoren
[mm] e_1 [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] , [mm] e_2 [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] , [mm] e_3 [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
Das war aber vermutlich nicht gemeint, sondern vielleicht
eine Basis für den (reduzierten, 2-dimensionalen) Raum,
den die Zeilen- (oder Spalten-) Vektoren von A aufspannen.
Was war gemeint?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:48 Mi 30.04.2008 | | Autor: | michi123 |
Das Frage ich mich halt auch. Hier nochmal die genaue Aufgabenstellung zu obigem gleichungssystem:
Lösen Sie das lineare Gleichungssystem: siehe Aufgabe
Welche Information entnehmen Sie dem Lösungsverhalten zur Dimension des Bildes der Matrix? Können Sie eine Basis für das Bild angeben ?
Nun würde ich einfach mal behaupten das die Dimension = 2 ist und das Bild keine Basis hat?
Wie würdest du das interpretieren ?
Gruß
michi
|
|
|
| |
|
> Das Frage ich mich halt auch. Hier nochmal die genaue
> Aufgabenstellung zu obigem gleichungssystem:
>
> Lösen Sie das lineare Gleichungssystem: siehe Aufgabe
>
> Welche Information entnehmen Sie dem Lösungsverhalten zur
> Dimension des Bildes der Matrix? Können Sie eine Basis für
> das Bild angeben ?
>
> Nun würde ich einfach mal behaupten das die Dimension = 2
> ist und das Bild keine Basis hat?
>
> Wie würdest du das interpretieren ?
>
> Gruß
>
> michi
Hallo michi,
gut, dies ist schon etwas klarer. Ich finde jedoch, dass auch in dieser
Version nicht alles wirklich präzise formuliert ist. Es sollte nach meiner
Meinung genauer gesagt sein, was unter dem "Bild der Matrix" zu
verstehen ist. Eigentlich stellt doch die Matrix A eine Abbildung von
[mm] \IR^3 [/mm] in [mm] \IR^3 [/mm] dar. Die Matrix steht also für die Abbildung selber und
wird nicht selber abgebildet. Ich möchte dir empfehlen, mit der
Lehrperson über diese Begrifflichkeiten zu sprechen.
Wenn ich nun trotzdem versuche, dem ganzen einen Sinn zu verleihen,
dann vermute ich, dass mit dem "Bild der Matrix" B eigentlich das Bild
des [mm] \IR^3 [/mm] unter der Abbildung gemeint ist, welche die Matrix A vermittelt,
also:
B = {A * x | x [mm] \in \IR^3 [/mm] }
So, damit hätten wir einmal eine klar formulierte Aufgabenstellung.
Nun gilt wirklich, dass der "Rang" der Matrix A identisch ist mit der
Dimension von B. B ist ein linearer Unterraum von [mm] \IR^3 [/mm] und hat
hier die Dimension 2. Das ist was anderes als die "Dimension der Matrix A" !
Nun kann man sich auch dran machen, für den 2-dimensionalen Raum B
eine Basis anzugeben, das wäre also eine Menge von 2 Vektoren [mm] v_1, v_2,
[/mm]
welche zusammen den gesamten Bildraum erzeugen, d.h. also so, dass
man jeden beliebigen Vektor v [mm] \in [/mm] B schreiben kann als
v = [mm] a_1*v_1 [/mm] + [mm] a_2*v_2 [/mm] mit reellen [mm] a_1, a_2
[/mm]
Das konkrete Auffinden einer solchen Basis überlasse ich dir - es gibt dabei
natürlich eine grosse Wahlfreiheit. Es genügt, zwei beliebige linear
unabhängige Vektoren in B zu nehmen. Du kannst dann vielleicht noch
versuchen, "kosmetische" Feinarbeit zu leisten, indem du zwei Vektoren
mit möglichst kleinen ganzzahligen Komponenten suchst...
LG al-Chwarizmi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:46 Do 01.05.2008 | | Autor: | michi123 |
Hallo,
ich hoffe das ich es nun richtig verstanden habe.
Ich nehme nun an das mein a1,a2, die beiden Gleichungen sind, welche nicht 0 geworden sind ?
Und ich v1,v2 beliebig wählen kann ?
Ist vielleicht ne "Dummen Frage", will nur sicher gehen, dass ich alles richtig verstanden habe !
Gruß Michi
|
|
|
| |
|
> Hallo,
>
> ich hoffe das ich es nun richtig verstanden habe.
>
> Ich nehme nun an das mein a1,a2, die beiden Gleichungen
> sind, welche nicht 0 geworden sind ?
[mm] a_1 [/mm] und [mm] a_2 [/mm] sind nicht Gleichungen, sondern reelle Zahlen.
> Und ich v1,v2 beliebig wählen kann ?
nein, doch nicht einfach ganz beliebig;
sie müssen in [mm] \IB [/mm] liegen und linear unabhängig sein.
> Ist vielleicht ne "Dumme Frage", will nur sicher gehen,
> dass ich alles richtig verstanden habe !
es ist gut, wenn man es wagt, auch "dumme Fragen" zu stellen
> Gruß Michi
______________________________________________________
Hallo Michi,
Das Bild [mm] \IB [/mm] von [mm] \IR^3 [/mm] unter der Abbildung A besteht aus allen Vektoren
welche entstehen können, wenn man irgendeinen Vektor aus [mm] \IR^3
[/mm]
von links mit A multipliziert:
[mm] \IB [/mm] = {v = A*u | u [mm] \in \IR^3 [/mm] }
nehmen wir zum Beispiel [mm] u_1 [/mm] = [mm] \vektor{1\\0\\0}, [/mm] dann ist [mm] v_1 [/mm] = [mm] A*u_1 [/mm] = [mm] \vektor{1\\2\\1} \in \IB
[/mm]
oder [mm] u_2 [/mm] = [mm] \vektor{0\\1\\0}, [/mm] dann ist [mm] v_2 [/mm] = [mm] A*u_2 [/mm] = [mm] \vektor{-2\\1\\8} \in \IB
[/mm]
Da [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] (es sind die ersten beiden Spaltenvektoren der
Matrix A) lin. unabhängig sind und [mm] \IB [/mm] hier zweidimensional ist,
bilden sie zusammen schon eine mögliche Basis:
[mm] Basis(\IB) [/mm] = [mm] {v_1 , v_2}
[/mm]
Der 3. Spaltenvektor [mm] v_3 [/mm] = [mm] \vektor{1\\3\\3} [/mm] liegt natürlich auch in [mm] \IB,
[/mm]
aber er lässt sich als Linearkombination von [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] schreiben:
[mm] v_3 [/mm] = 1.4 [mm] v_1 [/mm] + 0.2 [mm] v_2
[/mm]
Einen ganz beliebigen Vektor v in [mm] \IB [/mm] können wir erzeugen, wenn wir die
Matrix A auf einen beliebigen Vektor u [mm] \in \IR^3 [/mm] loslassen:
[mm] v = A * u = \pmat{1 & -2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & 8 & 3 }\cdot{}\pmat{ x \\ y \\ z } = A * (x*u_1 + y*u_2+z*u_3) = x* (A*u_1) + y* (A*u_2) + z* (A*u_3)[/mm]
[mm] = x*v_1 + y*v_2+z*v_3 = x*v_1 +y*v_2+z*(1.4* v_1 + 0.2* v_2) = (x+1.4*z)v_1 +(y+0.2*z)v_2 [/mm]
[mm] \IB [/mm] ist aber keineswegs ganz [mm] \IR^3 [/mm] ! Z.B. der Vektor [mm] \vektor{1\\0\\0} [/mm] liegt nicht in [mm] \IB [/mm] ,
denn er lässt sich nicht als Linearkombination von [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] schreiben !
|
|
|
|
