Gauß Funktion < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:01 So 28.01.2007 | | Autor: | Bit2_Gosu |
Hallo !
Ich wollte fragen, ob der Grenzwert des Differentialquotienten
von rechts an die Stelle 1 der Gauß_Funktion 0 oder unendlich ist und warum.
(Die Gaußfunktion ordnet jeder reellen Zahl x die größte ganze Zahl zu, die noch unterhalb von x liegt. Als Funktionswerte kommen daher nur ganze Zahlen vor, und zwar, da [X](n) = n, sogar jede ganze Zahl)
Ich hab mir gedacht, dass die Steigung der Gaußfunktion doch eigentlich immer 0 sein muss, da sie ja praktisch nur aus "Balken" besteht. Andererseits exitiert bei bestimmten Werten ja ein Sprung auf einen anderen Balken. Da müsste die Steigung dann ja eigentlich unendlich sein...
Irgendiwe bin ich ratlos ;)
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Sorry, dass ich hier noch mal poste, aber ich würde mich über eine Antwort echt freuen, weil ich morgen ein Referat über Abschnittsweise definierte Funktionen halten muss.
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Eingabefehler: "\begin" und "\end" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Bit2_Gosu,
> Sorry, dass ich hier noch mal poste, aber ich würde mich
> über eine Antwort echt freuen, weil ich morgen ein Referat
> über Abschnittsweise definierte Funktionen halten muss.
Damit eine Funktion f an einer Stelle x_0 differenzierbar ist, muss sie zwingend bei x_0 stetig sein!
Die Gauß-Klammer ist nun aber gerade nicht stetig, sondern "springt" von einem ganzzahligen y zum nächsten, auch wenn links und rechts von der Sprungstelle die Steigungen gleich (=0) sind.
Die Stetigkeit ist zwingende Voraussetzung für die Differenzierbarkeit.
Aber: nicht jede stetige Funktion ist deswegen schon differenzierbar!
Beispiel: $f(x)=\begin {cases}x^2 , \text{ für } x\ge 1 \\ 2-x , \text{ für }x<1 \end {cases}$
Jetzt klar(er)?
Gruß informix
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Jaja, ich weiß dass die Funktion u.a. an der Stelle 1 nicht differenzierbar ist.
Aber das das so ist wollte ich nicht mit Stetigkeit begründen, sondern damit dass die Grenzwerte des Differentialquotienten von links und rechts an die Stelle 1 unterschiedlich sind.
Nun frage ich mich aber was der Grenzwert des Differentialquotienten von rechts und links an 1 jeweils ergibt.
Beidesmal 0 oder einemal 0 und einmal unendlich und warum ???
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Hallo Bit2_Gosu,
> Jaja, ich weiß dass die Funktion u.a. an der Stelle 1 nicht
> differenzierbar ist.
>
> Aber das das so ist wollte ich nicht mit Stetigkeit
> begründen,
Das kannst du nur mit der Stetigkeit begründen!
> sondern damit dass die Grenzwerte des
> Differentialquotienten von links und rechts an die Stelle 1
> unterschiedlich sind.
>
> Nun frage ich mich aber was der Grenzwert des
> Differentialquotienten von rechts und links an 1 jeweils
> ergibt.
> Beidesmal 0 oder einemal 0 und einmal unendlich und warum
> ???
Ich denke, du kennst ![[]](/images/popup.gif) diesen Artikel aus der Wikipedia?
Vielleicht überzeugt dich das? Insbesondere der Abschnitt über die stetige Diffbarkeit?
Gruß informix
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Hm danke Informix !
Aber ich hab mich jetzt einfach mal geweigert das zu akzeptieren und es so zu beweisen probiert:
Der Grenzwert des Differentialquotienten von rechts an x = 0 lautet:
[mm] \limes_{h\rightarrow0^{+}} \bruch{f(x+h)-f(x)}{h}
[/mm]
= [mm] \limes_{h\rightarrow0^{+}} \bruch{f(h)-f(0)}{h}
[/mm]
= [mm] \limes_{h\rightarrow0^{+}} \bruch{f(h)+1}{h}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{\limes_{h\rightarrow0^{+}} h} [/mm] = [mm] +\infty
[/mm]
das ganze von links:
[mm] \limes_{h\rightarrow0^{+}} \bruch{f(x)-f(x-h)}{h}
[/mm]
= [mm] \limes_{h\rightarrow0^{+}} \bruch{-1-f(-h)}{h}
[/mm]
= [mm] \limes_{h\rightarrow0^{+}} \bruch{-1+1}{h}
[/mm]
= [mm] \limes_{h\rightarrow0^{+}} \bruch{0}{h} [/mm] = 0
Da der Grenzwert des Differentialquotienten von links und rechts an x=0 unterschiedlich ist, kann f(x) an x=0 nicht differenzierbar sein.
Ist das falsch ?
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Hallo Bit2_Gosu,
> Hm danke Informix !
>
> Aber ich hab mich jetzt einfach mal geweigert das zu
> akzeptieren und es so zu beweisen probiert:
Definition der Gauß-Klammer in der Nähe der Stelle 0:
[mm] f(x)=\begin{cases} 0 \text{ für }0\le x<1\\-1 \text{ für }-1\le x<0 \end{cases}
[/mm]
>
> Der Grenzwert des Differentialquotienten von rechts an x =
> 0 lautet:
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow0^{+}} \bruch{f(x+h)-f(x)}{h}[/mm]
>
> = [mm]\limes_{h\rightarrow0^{+}} \bruch{f(h)-f(0)}{h}[/mm]
>
> = [mm]\limes_{h\rightarrow0^{+}} \bruch{f(h)+1}{h}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
= [mm]\limes_{h\rightarrow0^{+}} \bruch{0+\red{0}}{h}=0[/mm]
>
> = [mm]\bruch{1}{\limes_{h\rightarrow0^{+}} h}[/mm] = [mm]+\infty[/mm]
>
> das ganze von links:
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow0^{+}} \bruch{f(x)-f(x-h)}{h}[/mm]
>
> = [mm]\limes_{h\rightarrow0^{+}} \bruch{-1-f(-h)}{h}[/mm]
an der Stelle 0 ist f nur einmal definiert, nämlich: f(0)=0, sonst wäre f keine Funktion!
= [mm]\limes_{h\rightarrow0^{+}} \bruch{\red{0}-f(-h)}{h}[/mm]
= [mm]\limes_{h\rightarrow0^{+}} \bruch{\red{0}-(-1)}{h}[/mm] weil -h<0 gilt!
= [mm]\limes_{h\rightarrow0^{+}} \bruch{+1}{h} \to \infty \ne 0[/mm]
also stimmen die beiden Grenzwerte nicht überein:
f ist nicht differenzierbar!
>
> = [mm]\limes_{h\rightarrow0^{+}} \bruch{-1+1}{h}[/mm]
>
> = [mm]\limes_{h\rightarrow0^{+}} \bruch{0}{h}[/mm] = 0
>
> Da der Grenzwert des Differentialquotienten von links und
> rechts an x=0 unterschiedlich ist, kann f(x) an x=0 nicht
> differenzierbar sein.
>
> Ist das falsch ?
Ja!
Du musst stets sehr genau den Bereich beachten, für den du gerade den Funktionswert bestimmen willst.
Gruß informix
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