Gauß Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:48 Fr 04.01.2008 | | Autor: | Nalox |
| Aufgabe | | [mm] \integral_{-\infty}^{+\infty}{e^{-x^{2}} dx} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen,
den Lösungsweg zum o.a. Integral habe ich bereits vor mir liegen.
Allerdings verstehe ich 2 Dinge nicht:
1. Wieso kann ich beim Quadrieren des Integrals einfach eine Variable in y umschreiben? Theoretisch müsste ich doch zweimal dasselbe Integral dort stehen haben.
2. Nach dem Quadrieren wird der Ausdruck in Polarkoordinaten umgeschrieben. Wie funktioniert das genau? Was muss ich genau umstellen/einsetzen?
Gruß
Nalox
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:41 Fr 04.01.2008 | | Autor: | moudi |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Nalox
Zu 1.
Offenbar ist $\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-y^2}dy$
ergo kann man
$\left(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx\right)^2=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx\cdot \int_{-\infty}^{\infty}e^{-y^2}dy$
umformen.
Zu 2. Das ist die Transformation von einem zweidimensionalen Integral in kartesischen Koordinaten in ein solches Integral in Polarkoordinaten.
Es gilt: $x=r\cos(\phi)$, $y=r\sin(\phi)$. Daher gilt $x^2+y^2=r^2$, weiter wird aus
$\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty f(x,y)\,dx dy= \int_0^{2\pi}\int_0^\infty\tilde f(r,\phi)\cdot r\, dr d\phi$, wobei $\tilde f$ die Transformation der Funktion $f$ in Polarkoordinaten ist. Der Faktor $r$ entsteht aus der Transformation des Integrals, er ist der absolute Betrag der Funktionaldeterminante
$|\det\begin{pmatrix}{x_\phi & \ x_r \\ y_\phi & y_r \end{pmatrix}|$.
mfG Moudi
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:23 Fr 04.01.2008 | | Autor: | Nalox |
Zu 1.)
Ok, ich nehme mal an, dass die Integrale [mm] \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx [/mm] und [mm] \int_{-\infty}^{\infty}e^{-y^2}dy [/mm] mit Werten die gleichen Ergebnisse liefern würden. Bin vorher zu sehr von den Funktionen innerhalb des Integrals ausgegangen.
Zu 2.)
War etwas zu knapp für mich.
Bei dem Ausdruck [mm] \int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty f(x,y)\,dxdy [/mm] = [mm] \int_0^{2\pi}\int_0^\infty\tilde f(r,\phi)\cdot r\,drd\phi [/mm] sieht es für mich so aus, als ob [mm] y\hat=\phi, [/mm] obwohl [mm] y=r\sin(\phi). [/mm] (ähnlich bei r)
Oder liegen hier mehrere Umformungsschritte vor? (wie schon von Moudi erwähnt: "Der Faktor r entsteht aus der Transformation des Integrals, er ist der absolute Betrag der Funktionaldeterminante")
Wenn ja, wie würde das ausführlich aussehen? (Hinweis: Hab bei dieser Aufgabe erstmals von Polarkoordinaten gehört)
Danke
Nalox
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 So 06.01.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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