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| Aufgabe | x1+2x2-3x3=2
x1+4x2+x3=4
x1+1/5x2-2x3=5/2
x1+3x2-x3=3
FInde Lösungsmenge und Nullraum |
Hallo,
ich komm damit nach langem rechnen einfach nicht weiter.
Ich habe visher versucht:
Z4-Z2, dann Z3-Z2, aber irgendwie seh ich kein System mehr, wie ich auf ein Ergebnis kommen soll.
Bitte helft mir :( Ich muss das einfach wissen, sonst kann ich heute nicht mehr in Ruhe schlafen *grins*
Eine andere Frage: Wenn ich zB bei x1 x2 und x3 nur für x2 eine eindeutige Lösung habe, für die anderen beiden Variablen aber nur eine Gleichung, die ich nicht eindeutig auflösen kann, kann ich dann zB trotzdem schreiben x1-x3=5 und in der Lösungsmenge für x1 die 5 angeben? für x2 hab ich eine eindeutige Lösung aber für x3 dann nicht mehr. Kann ich dann 0 angeben?
Ich hab nämlich das ganze mit einer beliebigen KOnstanten weitergerechnet, die ich dann für x3 belegt habe, aber ich hab auch gesehen, dass man das ohne Konstante machen kann.
Ich bedanke mich vielmals für die Hilfe! Ich brauche die Lösung nämlich sehr sehr dringend, ich rechne schon viel zu lange daran rum :(
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Hallo Englein89,
> x1+2x2-3x3=2
> x1+4x2+x3=4
> x1+1/5x2-2x3=5/2
> x1+3x2-x3=3
> FInde Lösungsmenge und Nullraum
> Hallo,
> ich komm damit nach langem rechnen einfach nicht weiter.
>
> Ich habe visher versucht:
>
> Z4-Z2, dann Z3-Z2, aber irgendwie seh ich kein System mehr,
> wie ich auf ein Ergebnis kommen soll.
Es bietet sich an, die neu entstandenen Gleichungen
[mm]Z4':=Z4-Z2[/mm]
[mm]Z3':=Z3-Z2[/mm]
nach [mm]x_{2}, \ x_{3}[/mm] aufzulösen und diese Lösung
dann in die 2 verbliebenen Gleichungen Z1, Z2 einsetzen und
nach [mm]x_{1}[/mm] aufzulösen.
[mm]Z1:x_{1}+2x_{2}-3x_{3}=2 \Rightarrow x_{1} \ = \ \dots[/mm]
[mm]Z2:x_{1}+4x_{2}+x_{3}=4 \Rightarrow x_{1} \ = \ \dots[/mm]
Sind diese [mm]x_{1}[/mm], die aus den Gleichungen Z1 und Z2 gewonnen wurden,
gleich, so ist das System lösbar, andernfalls nicht.
>
> Bitte helft mir :( Ich muss das einfach wissen, sonst kann
> ich heute nicht mehr in Ruhe schlafen *grins*
>
> Eine andere Frage: Wenn ich zB bei x1 x2 und x3 nur für x2
> eine eindeutige Lösung habe, für die anderen beiden
> Variablen aber nur eine Gleichung, die ich nicht eindeutig
> auflösen kann, kann ich dann zB trotzdem schreiben x1-x3=5
> und in der Lösungsmenge für x1 die 5 angeben? für x2 hab
> ich eine eindeutige Lösung aber für x3 dann nicht mehr.
> Kann ich dann 0 angeben?
Das ist dann eine spezielle Lösung, die hier ausgesucht wurde
Hier hast Du dann hast Du den Fall einer Parameterlösung:
[mm]x_{1}=5+x_{3}=5+t[/mm]
[mm]x_{2}= \ \dots[/mm]
[mm]x_{3}=t[/mm]
Oder auch anders geschrieben:
[mm]\pmat{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}=\pmat{5 \\ \dots \\ 0}+t*\pmat{1 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>
> Ich hab nämlich das ganze mit einer beliebigen KOnstanten
> weitergerechnet, die ich dann für x3 belegt habe, aber ich
> hab auch gesehen, dass man das ohne Konstante machen kann.
>
> Ich bedanke mich vielmals für die Hilfe! Ich brauche die
> Lösung nämlich sehr sehr dringend, ich rechne schon viel zu
> lange daran rum :(
Gruß
MathePower
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Vielen Dank. Ich kann aber deine Lösung zur ersten Aufgabe nicht ganz nachvollziehen. Ich soll mit dem Gauß Algorithmus lösen, dh möglichst viele Nullen und Einsen in der Matrix haben.
Wenn ich den Schritt mache dass ich nach x2 und x3 auflöse bekomme ich raus: -3,8x2-3x3=-1,5 und -x2-x3=-1
bringt mich das wirklich weiter?
Ich hab jetzt mal weitergerechnet, ist das richtig so?
Z2 durch 2 geteilt, dann Z4+Z2. Dann hab ich in der Z4 nur Nullen, aber wie mach ich dann weiter? Ich brauch ja die Lösungsmenge UND den Nullraum, den ich in der Matrix ablesen soll.
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Hallo Englein89,
> Vielen Dank. Ich kann aber deine Lösung zur ersten Aufgabe
> nicht ganz nachvollziehen. Ich soll mit dem Gauß
> Algorithmus lösen, dh möglichst viele Nullen und Einsen in
> der Matrix haben.
>
> Wenn ich den Schritt mache dass ich nach x2 und x3 auflöse
> bekomme ich raus: -3,8x2-3x3=-1,5 und -x2-x3=-1
>
> bringt mich das wirklich weiter?
Ja, in dem Du jetzt hier die Lösungen x2 und x3 ermittelst.
Das kannst Du wie vorher mit Zeilenmanipulationen machen.
> Ich hab jetzt mal weitergerechnet, ist das richtig so?
>
> Z2 durch 2 geteilt, dann Z4+Z2. Dann hab ich in der Z4 nur
> Nullen, aber wie mach ich dann weiter? Ich brauch ja die
> Lösungsmenge UND den Nullraum, den ich in der Matrix
> ablesen soll.
Poste mal diese Rechenschritte.
Gruß
MathePower
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Also:
Z4-Z2
Z3-Z2
Z2-Z1
Z2 geteilt durch 2
Z4+Z2
Dann hab ich stehen
1 2 -3 | 2
0 1 2 | 1
0 (-3 4/5) -3 | -1,5
0 0 0 | 0
Dann Z2 * (3 4/5)
Z3 + Z2
Dann hab ich
1 2 -3 | 2
0 (3 4/5) (7 3/5) | (3 4/5)
0 0 (12 1/5) | 2,3
0 0 0| 0
Aber jetzt komm ich nicht weiter. Ich weiß nicht, wie ich aus den übrigen Zahlen Einsen oder noch Nullen machen soll. Ich soll ja später in der dritten Zeile von oben nach unten gelesen den Nullraum ablesen können.
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Hallo Englein89,
> Also:
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> Z4-Z2
> Z3-Z2
> Z2-Z1
> Z2 geteilt durch 2
> Z4+Z2
>
> Dann hab ich stehen
>
> 1 2 -3 | 2
> 0 1 2 | 1
> 0 (-3 4/5) -3 | -1,5
> 0 0 0 | 0
>
> Dann Z2 * (3 4/5)
> Z3 + Z2
>
> Dann hab ich
>
> 1 2 -3 | 2
> 0 (3 4/5) (7 3/5) | (3 4/5)
> 0 0 (12 1/5) | 2,3
Die 3. Zeile stimmt nicht:
[mm]0 \ 0 \ \red{12 \ 1/5} | 2,3[/mm]
Hier muß stehen:
[mm]0 \ 0 \ 23/5 | 2,3[/mm]
> 0 0 0| 0
>
> Aber jetzt komm ich nicht weiter. Ich weiß nicht, wie ich
> aus den übrigen Zahlen Einsen oder noch Nullen machen soll.
> Ich soll ja später in der dritten Zeile von oben nach unten
> gelesen den Nullraum ablesen können.
>
Teile erstmal die 3. Zeile durch 23/5,
die 2. Zeile durch 3 4/5.
Dann hast Du die Einsen.
Zu den Nullen:
In der 3. Spalte sollen in der 1. und 2. Zeile Nullen stehen.
Wie erreicht man das?
Selbes Spiel mit der 2.Spalte:
Hier soll in der 1. Zeile eine Null stehen.
Auch hier die Frage, wie erreicht man das?
Gruß
MathePower
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Vielen Dank MathePower.
Es mag richtig sein, dass es 23/5 lautet, aber ich finde den Fehler nicht. Nach welchem Schnritt bist du denn auf das Ergebnis gekommen?
Irgendwie zweifle ich an beiden Lösungen, da ich nicht glaube, dass man uns eine Aufgabe gibt, bei der man mit solchen Brüchen rechnen muss. Kann es sein, dass woanders noch ein Fehler steckt?
Wenn ich weiterrechne habe ich nach dem Teilen durch 3 4/5 und 23/5
1 2 -3 | 2
0 1 2 | 1
0 0 1 | 0,5
0 0 0 | 0
Kann ich hier im Grunde schon aufhören zu rechnen? Ich hab ja mein Dreieck mit den Nullen gefunden.
Aber dann hab ich x3=0,5 x2=2 und x3=4,5. Setze ich das zur Probe in die erste Gleichung ein krieg ich aber raus 2-0,5=2 und das stimmt ja nicht.
Ich stehe irgendwie mächtig auf dem Schlauch, die anderen Aufgaben hab ich gut hinbekommen, aber diese scheint irgendwie verzwickt.
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Hallo Englein89,
> Vielen Dank MathePower.
>
> Es mag richtig sein, dass es 23/5 lautet, aber ich finde
> den Fehler nicht. Nach welchem Schnritt bist du denn auf
> das Ergebnis gekommen?
Bevor ich die 2. und die 3. Zeile addiert habe, sahen die so aus:
[mm]Z2:0*x_{1}+\bruch{19}{5}*x_{2}+\bruch{38}{5}*x_{3}=\bruch{19}{5}[/mm]
[mm]Z3:0*x_{1}-\bruch{19}{5}*x_{2}-3*x_{3}=-\bruch{3}{2}[/mm]
Danach:
[mm]Z3:0*x_{1}+0*x_{2}+\bruch{23}{5}*x_{3}=\bruch{23}{10}[/mm]
>
> Irgendwie zweifle ich an beiden Lösungen, da ich nicht
> glaube, dass man uns eine Aufgabe gibt, bei der man mit
> solchen Brüchen rechnen muss. Kann es sein, dass woanders
> noch ein Fehler steckt?
>
> Wenn ich weiterrechne habe ich nach dem Teilen durch 3 4/5
> und 23/5
>
> 1 2 -3 | 2
> 0 1 2 | 1
> 0 0 1 | 0,5
> 0 0 0 | 0
>
> Kann ich hier im Grunde schon aufhören zu rechnen? Ich hab
> ja mein Dreieck mit den Nullen gefunden.
Im Grunde ja.
>
> Aber dann hab ich x3=0,5 x2=2 und x3=4,5. Setze ich das zur
Da hast Du beim Einsetzen einen Fehler gemacht:
[mm]x_{2}=1-2*x_{3}=1-2*\bruch{1}{2}=1-1=0[/mm]
Dann ergibt sich auch der richtige Wert für [mm]x_{1}[/mm].
Du hast wohl gerechnet: [mm]x_{2}=1\red{+}2*x_{3}[/mm]
> Probe in die erste Gleichung ein krieg ich aber raus
> 2-0,5=2 und das stimmt ja nicht.
>
> Ich stehe irgendwie mächtig auf dem Schlauch, die anderen
> Aufgaben hab ich gut hinbekommen, aber diese scheint
> irgendwie verzwickt.
Gruß
MathePower
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