Gauß'sche Zahlenebene < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:03 Di 04.01.2005 | | Autor: | zero125 |
Hallo,
ich soll für eine Arbeit einen Überblick über die Möglichkeiten geben,geometrische Kurven als Punktmengen der Gauß'schen Zahlenebene darzustellen,weis jedoch nicht wie ich dies tun kann.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:46 Di 04.01.2005 | | Autor: | Paulus |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Lieber zero125
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Ich denke, du kannst einfach die bekannten Methoden, die du vom normalen kartesischen Koordinatensystem kennst (also mit senkrecht zueinander stehenden x- und y-Achsen), auf die Gausssche Zahlenebene übertragen!
Ueblicherweise bezeichnet man dann die komplexe Zahl mit $z_$, die zugehörige konjugiert komplexe Zahl mit $\overline{z}$
Zu beachten ist dann noch, dass gilt: $z*\overline{z}=|z|^2$
Für diese Umsetzung kannst du eifach die Beziehungen verwenden:
$x:=\bruch{z+\overline{z}}{2}$ (das ist der Realteil von $z_$)
$y:=\bruch{z-\overline{z}}{2i}$ (das ist der Imaginärteil von $z_$)
Im kartesischen Koordinatensystem kennst du ja im Wesentlichen die beiden Möglichkeiten:
I) Angabe einer Beziehungsgleichung zwischen x und y
Beispiel 1: Kreis mit Radius r um den Punkt M(u,v)
$(x-u)^2+(y-v)^2=r^2$
Beispiel 2: Normalparabel
$y=x^2$
II) Parameterdarstellung, also
$x=f(t)_$ und
$y=g(t)_$
Wobei f und g reelle Funktionen sind.
Beispiel 1: Kreis mit Radius r um den Punkt M(u,v)
$x=u+r*\cos(t)$
$y=v+r*\sin(t)$
Beispiel 2: Normalparabel
$x=t_$
$y=t^2$
Ich setze mal Beispiel 1 in beiden Varianten um:
Variante Gleichung: $(x-u)^2+(y-v)^2=r^2$
dabei bezeichen ich M(u,v) mit der komplexen Zahl m, es ist also zu setzen:
$x:=\bruch{z+\overline{z}}{2}$ (das ist der Realteil von $z_$)
$y:=\bruch{z-\overline{z}}{2i}$ (das ist der Imaginärteil von $z_$)
$u:=\bruch{m+\overline{m}}{2}$ (das ist der Realteil von $m_$)
$v:=\bruch{m-\overline{m}}{2i}$ (das ist der Imaginärteil von $m_$)
Das führt zu:
$(\bruch{z+\overline{z}}{2}-\bruch{m+\overline{m}}{2})^2+(\bruch{z-\overline{z}}{2i}-\bruch{m-\overline{m}}{2i})^2=r^2$
Jetzt folgt einfach eine wüste Rechnerei:
$\bruch{1}{4}((z+\overline{z})-(m+\overline{m}))^2-\bruch{1}{4}((z-\overline{z})-(m-\overline{m}))^2=r^2$
$((z+\overline{z})-(m+\overline{m}))^2-((z-\overline{z})-(m-\overline{m}))^2=4r^2$
$(z+\overline{z})^2-2(z+\overline{z})(m+\overline{m})+(m+\overline{m})^2-(z-\overline{z})^2+2(z-\overline{z})(m-\overline{m})-(m-\overline{m})^2 =4r^2$
$4z\overline{z}+4m\overline{m}-4z\overline{m}+4\overline{z}m=4r^2$
$z\overline{z}+m\overline{m}-z\overline{m}+\overline{z}m=r^2$
$(z-m)(\overline{z}-\overline{m})=r^2$
$(z-m)\overline{(z-m)}=r^2$
$|z-m|^2=r^2$
$|z-m|=r_$
Das stellt also den Kreis mit Zentrum m und Radius r dar! 
Variante Parameterdarstellung:
$x=u+r*\cos(t)$
$y=v+r*\sin(t)$
$\bruch{z+\overline{z}}{2}=\bruch{m+\overline{m}}{2}+r*\cos(t)$
$\bruch{z-\overline{z}}{2i}=\bruch{m-\overline{m}}{2i}+r*\sin(t)$
$z+\overline{z}=m+\overline{m}+2r*\cos(t)$
$z-\overline{z}=m-\overline{m}}+2ir*\sin(t)$
Jetzt einfach beide Gleichungen addieren:
$2z=2m+2r\cos(t)+2ir\sin(t)$
$z=m+r\cos(t)+ir\sin(t)$
Das ist also eine Parameterdarstellung eines Kreisis um den Punkt m mit Radius r. t ist natürlich eine reelle Zahl (es stammt ja schliesslich von der Parameterdarstellung im kartesischen Koordinatensystem)
Ach ja: falls ihr die berühmte Formel von Gauss schon kennt:
$e^{it}=\cos(t)+i*\sin(t)$
kannst du natürlich die Kreisgleichung in Parameterdarstellung auch noch so schreiben:
$z=m+r*e^{it}$
Ende der Beispiele.
Du siehst also: im Prinzip lässt sich so jede beliebige Kurve aus dem Reellen in die Gausssche Zahlenebene Uebertragen! Manchmal ist halt etwas Rechenarbeit dabei, was aber am Prinzip nichts ändert!
Vielleicht nimmst du einfach noch als weitere Beispiele Ursprungsgeraden, Geraden, die nicht durch den Ursprung gehen, normale Hyperbel.
Das sollte dann für deine Arbeit ausreichen! 
Mit lieben Grüssen
Paul
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