Gaussche Zahlen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:28 Fr 25.05.2012 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | Sei [mm] \IZ[i] [/mm] = [mm] \{ x + iy | x,y \in \IZ \}
[/mm]
[mm] N(x+iy)=x^2 [/mm] + [mm] y^2
[/mm]
N: [mm] \IZ[i] [/mm] -> [mm] \IZ
[/mm]
Zeige: Wenn [mm] \beta [/mm] | [mm] \alpha [/mm] (in [mm] \IZ[i]) [/mm] dann [mm] N(\beta) [/mm] | [mm] N(\alpha) [/mm] (in [mm] \IZ)
[/mm]
Und zeige dass [mm] \IZ[i] [/mm] nullteiler frei ist. |
[mm] \beta [/mm] | [mm] \alpha
[/mm]
[mm] \exists \gamma \in \IZ[i] [/mm] : [mm] \beta [/mm] * [mm] \gamma [/mm] = [mm] \alpha
[/mm]
[mm] \beta [/mm] = x+iy
[mm] \gamma [/mm] = a+ ib
[mm] \beta [/mm] * [mm] \gamma [/mm] = ax - yb + i *(xb + ay)
ich weiß nicht wie ich das machen sollte.
> Und zeige dass [mm] \IZ[i] [/mm] nullteiler frei ist.
dh. es ist unmöglich dass [mm] \alpha \beta [/mm] =0 wen [mm] \alpha, \beta \not= [/mm] 0
Hilft mir nun dass: [mm] N(\alpha)*N( \beta) [/mm] = [mm] N(\alpha \beta) [/mm] (schon bewiesen)
Da bräuchte ich auch einne tipp wie ich das mache ;)
Liebe grüße
|
|
| |
|
Guten Morgen
Zum ersten Teil:
Schreib das doch einmal komplett auf
[mm] $\alpha |\beta$ [/mm] also es gibt dieses [mm] $\gamma$ [/mm] mit
[mm] $(\alpha_1+i\alpha_2)(\gamma_1+i\gamma_2)=\beta_1+i\beta_2$
[/mm]
Du brauchst das doch nur so hinbiegen, dass
[mm] $(\alpha_1^2+\alpha_2^2)*irgendwas=\beta_1^2+\beta_2^2$
[/mm]
Ist.
Welche Eigenschaften kennst du von der Norm?
(in Bezug auf Multipl.)
Zum zweiten Teil:
Wann ist denn die Norm=0?
Gruß
Wieschoo
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:55 Fr 25.05.2012 | | Autor: | quasimo |
$ [mm] (\alpha_1+i\alpha_2)(\gamma_1+i\gamma_2)=\beta_1+i\beta_2 [/mm] $
[mm] N(\beta) [/mm] = [mm] N(\alpha \gamma [/mm] ) = N [mm] (\alpha)* N(\gamma)
[/mm]
[mm] \beta_1^2 [/mm] + [mm] \beta_2^2 [/mm] = [mm] (\alpha_1^2 [/mm] + [mm] \alpha_2^2)* (\gamma_1^2 [/mm] + [mm] \gamma_2^2)
[/mm]
Passt es so?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:01 Fr 25.05.2012 | | Autor: | fred97 |
$ [mm] \beta [/mm] $ | $ [mm] \alpha [/mm] $ (in $ [mm] \IZ[i]) [/mm] $ bedeutet: es gibt ein [mm] \gamma \in \IZ[i] [/mm] mit:
[mm] \alpha= \gamma* \beta
[/mm]
Jetzt lass auf dies Gleichung N los.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:10 Fr 25.05.2012 | | Autor: | quasimo |
Ja ich habe es nur umgedreht weil es wieschoo umgedreht hat, hat mich eh gewundert.
ABer sonst hat es gepasst?
> [mm] \IZ[i] [/mm] nullteilerfrei
Die Norm ist 0 wenn ich 0 + 0i habe.
[mm] N(\alpha \beta) [/mm] = N(0+0i) =0
[mm] \alpha *\beta [/mm] = 0 + 0i
[mm] (\alpha_1 [/mm] + i [mm] \alpha_2 [/mm] ) [mm] (\beta_1 [/mm] + i [mm] \beta_2)
[/mm]
[mm] (\alpha_1 \beta_1 [/mm] - [mm] \alpha_2 \beta_2 [/mm] ) + [mm] i*(\alpha_1 \beta_2 [/mm] + [mm] \alpha_2 \beta_1)
[/mm]
[mm] \alpha_1 \beta_1 [/mm] - [mm] \alpha_2 \beta_2 [/mm] =0
[mm] \alpha_1 \beta_2 [/mm] + [mm] \alpha_2 \beta_1=0
[/mm]
Wie mache ich weiter?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:15 Fr 25.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ja ich habe es nur umgedreht weil es wieschoo umgedreht
> hat, hat mich eh gewundert.
> ABer sonst hat es gepasst?
Ja
>
> > [mm]\IZ[i][/mm] nullteilerfrei[/i][/mm]
> [mm][i] Die Norm ist 0 wenn ich 0 + 0i habe.[/i][/mm]
> [mm][i] [mm]N(\alpha \beta)[/mm] = N(0+0i) =0[/i][/mm]
> [mm][i] [/i][/mm]
> [mm][i][mm]\alpha *\beta[/mm] = 0 + 0i[/i][/mm]
> [mm][i] [mm](\alpha_1[/mm] + i [mm]\alpha_2[/mm] ) [mm](\beta_1[/mm] + i [mm]\beta_2)[/mm][/i][/mm]
> [mm][i] [mm](\alpha_1 \beta_1[/mm] - [mm]\alpha_2 \beta_2[/mm] ) + [mm]i*(\alpha_1 \beta_2[/mm] [/i][/mm]
> [mm][i]+ [mm]\alpha_2 \beta_1)[/mm][/i][/mm]
> [mm][i] [/i][/mm]
> [mm][i][mm]\alpha_1 \beta_1[/mm] - [mm]\alpha_2 \beta_2[/mm] =0[/i][/mm]
> [mm][i] [mm]\alpha_1 \beta_2[/mm] + [mm]\alpha_2 \beta_1=0[/mm][/i][/mm]
> [mm][i] Wie mache ich [/i][/mm]
> [mm][i]weiter? [/i][/mm]
Wozu die Rechnerei ?
Sei [mm] 0=\alpha* \beta. [/mm] Dann ist
[mm] 0=N(\alpha)*N(\beta)
[/mm]
Ist [mm] \IZ [/mm] nullteilerfrei ?
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:29 Fr 25.05.2012 | | Autor: | quasimo |
Hallo
Ja [mm] \IZ [/mm] ist nullteilerfrei.
Ah also kann man die Nullteilerfreiheit auf [mm] \IZ[i] [/mm] auf die Nullteilerfreiheit auf den Ganzen zahlen zurückführen.
danke
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:29 Fr 25.05.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ja [mm]\IZ[/mm] ist nullteilerfrei.
Genau.
> Ah also kann man die Nullteilerfreiheit auf [mm]\IZ[i][/mm] auf die [/i][/mm]
> [mm][i]Nullteilerfreiheit auf den Ganzen zahlen zurückführen.[/i][/mm]
Exakt.
Alternativ kannst du auch wie folgt vorgehen: [mm] $\IZ[i]$ [/mm] ist ein Unterring von [mm] $\IC$. [/mm] Da [mm] $\IC$ [/mm] als Koerper nullteilerfrei ist, so ist auch [mm] $\IZ[i]$ [/mm] nullteilerfrei.
LG Felix
|
|
|
|
