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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:41 So 17.04.2011 | | Autor: | Random |
| Aufgabe | Für welche Werte des Parameters [mm] \lambda\in\IR [/mm] besitzt das Gleichungssystem
[mm] x_1-2x_2-2x_3=0
[/mm]
[mm] x_1+x_2+\lambda*x_3=2
[/mm]
[mm] 2x_1+(\lambda [/mm] - [mm] 1)*x_2-2x_3=2
[/mm]
(1) kein, (2) genau eine, (3) mehrere Lösungen. Bestimmen Sie gegebenfalls alle Lösungen in Abhängigkeit von Lambda. |
Hallo Matheraum =)
Ich habe zuerst die Matrix aufgestellt:
[mm] \pmat{ 1 & -2 & -2 \\ 1 & 1 & \lambda \\ 2 & (\lambda - 1) & -2 } \vmat{ 0 \\ 2 \\ 2} [/mm]
(Konnte leider nicht die richtige Schreibweise ausfinding machen)
Ich habe dan versucht die Matrix auf die passende Form zu bringen.
Zuerst habe ich von der ersten Zeile die zweite abgezogen:
[mm] \pmat{ 1 & -2 & -2 \\ 0 & -3 & -2-\lambda \\ 2 & (\lambda - 1) & -2 } \vmat{ 0 \\ -2 \\ 2} [/mm]
Dann hab ich von der doppelten ersten Zeile die dritte abgezogen:
[mm] \pmat{ 1 & -2 & -2 \\ 0 & -3 & -2-\lambda \\ 0 & -4-(\lambda - 1) & -2 } \vmat{ 0 \\ -2 \\ -2} [/mm]
Ab hier komme ich nicht weiter... ich muss vielleicht mit irgendwas erweitern, aber ich komm nicht druf.
Ausserdem weiss ich nicht wie ich das anstellen soll dass es keine genau eine und mehrere Lösungen geben soll.
Vielen Dank im Voraus für eure Hilfe =)
LG Ilya
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Hallo Random,
> Für welche Werte des Parameters [mm]\lambda\in\IR[/mm] besitzt das
> Gleichungssystem
>
> [mm]x_1-2x_2-2x_3=0[/mm]
> [mm]x_1+x_2+\lambda*x_3=2[/mm]
> [mm]2x_1+(\lambda[/mm] - [mm]1)*x_2-2x_3=2[/mm]
>
>
> (1) kein, (2) genau eine, (3) mehrere Lösungen. Bestimmen
> Sie gegebenfalls alle Lösungen in Abhängigkeit von
> Lambda.
> Hallo Matheraum =)
>
> Ich habe zuerst die Matrix aufgestellt:
>
> [mm]\pmat{ 1 & -2 & -2 \\ 1 & 1 & \lambda \\ 2 & (\lambda - 1) & -2 } \vmat{ 0 \\ 2 \\ 2}[/mm]
>
> (Konnte leider nicht die richtige Schreibweise ausfinding
> machen)
>
> Ich habe dan versucht die Matrix auf die passende Form zu
> bringen.
>
> Zuerst habe ich von der ersten Zeile die zweite abgezogen:
>
> [mm]\pmat{ 1 & -2 & -2 \\ 0 & -3 & -2-\lambda \\ 2 & (\lambda - 1) & -2 } \vmat{ 0 \\ -2 \\ 2}[/mm]
>
> Dann hab ich von der doppelten ersten Zeile die dritte
> abgezogen:
>
>
> [mm]\pmat{ 1 & -2 & -2 \\ 0 & -3 & -2-\lambda \\ 0 & -4-(\lambda - 1) & -2 } \vmat{ 0 \\ -2 \\ -2}[/mm]
>
[mm]ok[/mm]
>
> Ab hier komme ich nicht weiter... ich muss vielleicht mit
> irgendwas erweitern, aber ich komm nicht druf.
Jetzt hast Du zwei Fälle:
i) [mm]-4-\left(\lambda-1\right) \not= 0[/mm]
ii)[mm]-4-\left(\lambda-1\right) = 0[/mm]
Diese musst Du jetzt untersuchen.
>
> Ausserdem weiss ich nicht wie ich das anstellen soll dass
> es keine genau eine und mehrere Lösungen geben soll.
>
> Vielen Dank im Voraus für eure Hilfe =)
>
> LG Ilya
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:03 So 17.04.2011 | | Autor: | Random |
Hallo Mathepower!
Vielen Dnak für deine Antwort.
Leider verstehe ich nicht warum ich die zwei Fälle untersuchen muss bzw. wie ich darauf komme.
Ich dachte ausserdem, dass ich zuerst die Matrix auf die Form
[mm] \pmat{ a & b & c \\ 0 & d & e \\ 0 & 0 & f } \vmat{ g \\ h \\ i} [/mm]
bringen muss.
LG Ilya
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Hallo Random,
> Hallo Mathepower!
>
> Vielen Dnak für deine Antwort.
>
> Leider verstehe ich nicht warum ich die zwei Fälle
> untersuchen muss bzw. wie ich darauf komme.
Um eine Elimination der 3. Zeile mit der 2. Zeile durchführen
zu können, muß [mm]-4-\left(\lambda-1\right) \not= 0[/mm] sein.
>
> Ich dachte ausserdem, dass ich zuerst die Matrix auf die
> Form
>
> [mm]\pmat{ a & b & c \\ 0 & d & e \\ 0 & 0 & f } \vmat{ g \\ h \\ i}[/mm]
>
> bringen muss.
Ja, das soll auch erreicht werden.
Im Fall [mm]-4-\left(\lambda-1)=0[/mm] hast Du diese Form schon erreicht.
Während im Fall [mm]-4-\left(\lambda-1) \not=0[/mm] ein weiterer
Eliminationsschritt durchgeführt werden muß,
um diese Form zu erreichen.
>
> LG Ilya
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:01 So 17.04.2011 | | Autor: | Random |
Ich denke ichversehe.
Für (i) hab ich [mm] \lambda\not=-3
[/mm]
Für (ii) hab ich [mm] \lambda=-3
[/mm]
Wenn ich jetzt den Fall (ii) untersuche erhalte ich für [mm] \lambda=-3 [/mm] eine passende Form und kann die einzelnen Lösungen ausrechnen.
Wie untersuche ich den ersten Fall (i)? Muss ich dann mit irgendwas erweiter damit der Ausdruck mit Lambda in der untersten Zeiel rausfällt ?
Was sagt mir der Fall (ii)? Heisst es dann wenn ich [mm] \lambda=-3 [/mm] wähle erhalte ich mehrere Lösungen?
Vielen Dank im Voraus,
Ilya
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Hallo Random,
> Ich denke ichversehe.
>
> Für (i) hab ich [mm]\lambda\not=-3[/mm]
> Für (ii) hab ich [mm]\lambda=-3[/mm]
>
> Wenn ich jetzt den Fall (ii) untersuche erhalte ich für
> [mm]\lambda=-3[/mm] eine passende Form und kann die einzelnen
> Lösungen ausrechnen.
>
> Wie untersuche ich den ersten Fall (i)? Muss ich dann mit
> irgendwas erweiter damit der Ausdruck mit Lambda in der
> untersten Zeiel rausfällt ?
Ja.
>
> Was sagt mir der Fall (ii)? Heisst es dann wenn ich
> [mm]\lambda=-3[/mm] wähle erhalte ich mehrere Lösungen?
Das hängt von dem Wert des 3. Diagonalelements ab,
dem Wert des Elements in der 3. Zeile, 3. Spalte.
Ist dies verschieden von Null, so erhältst Du
eine eindeutige Lösung.
>
> Vielen Dank im Voraus,
>
> Ilya
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:22 Mo 18.04.2011 | | Autor: | Random |
Okay ich galube ich hab es fast =)
Also für [mm] \lambda=-3 [/mm] erhalten wir eine eindeutige Lösung
Durch eine Nebenrechnung und Umformung erhielt ich: [mm] -\lambda^2+\lambda [/mm] =0
Und somit: [mm] \lambda=\wurzel{\lambda}
[/mm]
Also für [mm] \lambda= [/mm] 0 = 1 gibt es keine Lösung? Hab ich das richtig verstanden?
Wie zeige ich wann es mehrere Lösungen gibt?
Vielen Dank im Voraus!
LG Ilya
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Hallo Ilya,
> Okay ich galube ich hab es fast =)
>
> Also für [mm]\lambda=-3[/mm] erhalten wir eine eindeutige Lösung
Ja, der Fall ist m.E. auch gar nicht spannend ...
Ich schreibe nochmal die Matrix hin, soweit sie stand, multipliziere aber noch in den Zeilen 2 und 3 mit (-1) durch ...
[mm]\pmat{1&-2&-2&\mid&0\\
0&3&\lambda+2&\mid&2\\
0&\lambda+3&2&\mid&2}[/mm]
Nun kannst du unabh. davon, ob nun [mm]\lambda=-3[/mm] ist oder nicht, wie folgt rechnen:
Addiere das [mm](\lambda+3)[/mm]-fache der 2.Zeile auf das [mm](-3)[/mm]-fache der 3.Zeile.
Das darfst du tun, denn Addition eines bel. Vielfachen einer Zeile auf eine andere Zeile (bzw. auf ein nicht Nullfaches einer anderen Zeile) ist eine der drei elementaren ZUF
Das ergibt:
[mm]\pmat{1&-2&-2&\mid&0\\
0&3&\lambda+2&\mid&2\\
0&0&\lambda(\lambda+5)&\mid&2\lambda}[/mm]
Und hier kannst du die Lösbarkeit in Abh. von [mm]\lambda[/mm] doch ablesen.
Wenn [mm]\lambda\neq 0,-5[/mm] ist, ist alles wunderbar, du kannst dann in Zeile 3 durch [mm]\lambda(\lambda+5)[/mm] teilen und erhältst im weiteren eine eind. Lösung!
Falls [mm]\lambda=0[/mm] ist, steht in der letzten Zeile [mm]0=0[/mm] und du bekommst um weiteren unendlich viele Lösungen.
Ist schließlich noch [mm]\lambda=-5[/mm], so sieht's mit der Lösbarkeit schlecht aus, in der letzten Zeile steht [mm]0=-10[/mm] ERROR!
>
> Durch eine Nebenrechnung und Umformung erhielt ich:
> [mm]-\lambda^2+\lambda[/mm] =0
>
> Und somit: [mm]\lambda=\wurzel{\lambda}[/mm]
>
> Also für [mm]\lambda=[/mm] 0 = 1 gibt es keine Lösung? Hab ich das
> richtig verstanden?
Nein, ich verstehe gar nicht recht, was du machst, um ehrlich zu sein ...
> Wie zeige ich wann es mehrere Lösungen gibt?
>
> Vielen Dank im Voraus!
>
> LG Ilya
Gruß
schachuzipus
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