Gaußklammer < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | An welchen Stellen ist die folgende Funktion stetig bzw. unstetig?
f: [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR, f(x)=\begin{cases} x*[1/x], & \mbox{für } x \mbox{nicht 0} \\ 1, & \mbox{für } x \mbox{= 0} \end{cases}
[/mm]
[] sollen Gaußklammern (zum abrunden auf ganze Zahlen) sein |
Hallo!
generell: wie findet bzw beweist man stetige und unstetige stellen in dieser funktion?
ich habe gesehen, dass für x [mm] \le [/mm] -1 und x>1 die Funktion stetig ist (einmal streng monoton fallend, einmal konstant). Aber dazwischen gibt es ein großes Durcheinander bei dem ich nicht weiß, wie man da generell sagen kann, was da passiert!
Ich hatte den Gedanken mit der Grenzwertberechnung von links und rechts, aber das wäre hier ja viel zu aufwendig, oder?
Kann mir da jemand helfen?
Grüßle, Lily
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:38 Fr 16.12.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> An welchen Stellen ist die folgende Funktion stetig bzw.
> unstetig?
>
> f: [mm]\IR[/mm] -> [mm]\IR, f(x)=\begin{cases} x*[1/x], & \mbox{für } x \mbox{nicht 0} \\ 1, & \mbox{für } x \mbox{= 0} \end{cases}[/mm]
>
> [] sollen Gaußklammern (zum abrunden auf ganze Zahlen)
> sein
> Hallo!
> generell: wie findet bzw beweist man stetige und unstetige
> stellen in dieser funktion?
> ich habe gesehen, dass für x [mm]\le[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
-1 und x>1 die Funktion
> stetig ist (einmal streng monoton fallend, einmal
> konstant).
genau. Aber strenge Monotonie alleine impliziert noch nicht Stetigkeit. Schreib' das doch mal auf, was Du sagst:
1.: Berechne $f(x)=x*[1/x]\,$ für $x \le -1\,.$ (Beachte: $x \le -1 \Rightarrow |x| > 1 \Rightarrow 1/x \in [-1,0[ \text{ da ja zudem }x <0\,.$ Was ist daher $[1/x]\,$ für $x \le 1$?)
Du solltest als Ergebnis erhalten: $f(x)=-x\,$ auf $]-\infty,-1]\,.$ Daher ist $f\,$ auf $]-\infty,-1]$ sicher stetig (Du kannst es aber auch gerne noch beweisen, wenn Du magst!).
2.: Analog: $x > 1 \Rightarrow 1/x \in [0,1] \text{ unter Beachtung von }x > 0\,.$ Was ist daher $[1/x]\,$ für $x > 1\,$?
3. Du kannst hier schonmal die Stetigkeit von $f\,$ an der Stelle $x=1\,$ untersuchen. Denn es ist ja $f(x)=0$ für $x > 1\,,$ aber $f(1)=1*[1/1]=1*1=1\,.$ Ist $f\,$ an der Stelle $x=1\,$ (rechts-)stetig?
> Aber dazwischen gibt es ein großes
> Durcheinander bei dem ich nicht weiß, wie man da generell
> sagen kann, was da passiert!
> Ich hatte den Gedanken mit der Grenzwertberechnung von
> links und rechts, aber das wäre hier ja viel zu aufwendig,
> oder?
Es gilt nun, das Durcheinander zu kontrollieren. Dazu musst Du eigentlich erstmal nur $[1/x]\,$ "verstehen", um zu verstehen, wie (der Graph von) $f\,$ auf $]-1,1]\,$ "verläuft".
Du weißt aber: Ist $y \in \IR$ und $z \in \IZ$ mit $y \in [z,z+1[\,,$ so ist
$$[y]=z\,.$$
Jetzt ist daher die Frage: Wie finde ich zu $1/x=y\,$ "das passende $z=[y]=[1/x]\,$"?
Drehe mal die Frage um:
Wenn $z \in \IZ$ und wir (alle) $y=1/x \in [z,z+1[\,$ mit $x \not=0$ beschreiben wollen (also $z=[y]\,$ ist): Wie sehen dann die zugehörigen $x \not=0\,$ mit $1/x=y\,$ aus?
Dann siehst Du:
$$z \le y=1/x < z+1\;\;(z \in \IZ\setminus \{0\})$$
$$\gdw
$$\text{falls } y > 0: \frac{1}{z+1} < x \le \frac{1}{z} \text{ oder falls }y<0: \frac{1}{z+1} < x \le \frac{1}{z}\,.$$
Deswegen:
Um $f\,$ auf $]-1,0[\,$ untersuchen zu können, betrachte das Intervall als die disjunkte Vereinigung
$$]-1,0[=\bigcup_{\substack{z \in \IZ\\z \le -2}}\underbrace{\left]\frac{1}{z+1},\frac{1}{z}\right]}_{=:I_z}\,.$$
(Einfacher geschrieben: $]-1,0[=\left]\frac{1}{-1},\;\frac{1}{-2}\right] \cup\left]\frac{1}{-2},\;\frac{1}{-3}\right]\cup\left]\frac{1}{-3},\;\frac{1}{-4}\right]\cup\left]\frac{1}{-4},\;\frac{1}{-5}\right] \cup \ldots$)
Auf jedem Intervall $I_z \setminus \{1/z\}$ ist $f\,$ stetig, allerdings unstetig an den $1/z$-Stellen.
Analog, um $f\,$ auf $]0,1[$ zu untersuchen, betrachte $]0,1]\,$ als folgende disjunkte Vereinigung
$$]0,1]=\bigcup_{n \in \IN_{\ge 2}}\underbrace{\left]\frac{1}{n+1},\frac{1}{n}\right]}_{=:I_n}\;\;\;\left(=\left]1/2,\;1/1] \;\;\cup\;\; ]1/3,\;1/2] \;\;\cup\;\; ]1/4,\;1/3] \;\;\cup\;\; ]1/5,\;1/4] \;\;\cup\;\; \ldots\right)\,,$$
und untersuche $f\,$ auf den $I_n\,.$ Ist $f\,$ stetig an den $1/(n+1)$-Stellen?
Was dann noch bleibt, ist die Frage, ob $f\,$ stetig an $x=0\,$ ist. Das kannst Du dann mit Rechts- und Linksstetigkeitsprüfung an der Stelle $x=0\,$ machen:
So gilt etwa für $0 < x \le 1:\,$
Für diese $x\,$ ist $[1/x] \le 1/x < [1/x]+1\,,$ also
$$\frac{1}{[1/x]+1} < x \le \frac{1}{[1/x]}\,,$$
also
$$\frac{[1/x]}{[1/x]+1} < x*[1/x] \le 1\,.$$
Was passiert nun mit
$$\frac{[1/x]}{[1/x]+1}$$
bei $0 < x \to 0\,$?
Analog zeigst Du die Linksstetigkeit an der Stelle $x=0\,,$ und siehst damit, dass $f\,$ stetig an $x=0\,$ ist.
Gruß,
Marcel
P.S.:
Falls Dir das mit den Intervallen oben alles noch "zu formelmäßig" aufgeschrieben ist, gehe es halt "langsam(er)" an:
Betrachte $f\,$ mal für alle $x\,$ mit $1/2 < x \le 1\,.$
Dann betrachte $f\,$ für alle $x\,$ mit $1/3 < x \le 1/2\,.$
Dann betrachte $f\,$ für alle $x\,$ mit $1/4 < x \le 1/3\,.$
.
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.
Somit untersuchst Du ("Schritt für Schritt") das Intervall $]0,1]\;.$ Und siehst, dass die $1/n\,$-Stellen dort die einzigen Unstetigkeitsstellen sind.
Danach:
Betrachte $f\,$ mal für alle $x\,$ mit $-1 < x \le -1/2\,.$
Dann betrachte $f\,$ für alle $x\,$ mit $-1/2 < x \le -1/3\,.$
Dann betrachte $f\,$ für alle $x\,$ mit $-1/3 < x \le -1/4\,.$
.
.
.
Somit untersuchst Du das Intervall $]-1,0[\;.$ Was sind hier die Unstetigkeitsstellen?
Wie es nun mit der Stetigkeit an der Stelle $0 \in \{0\}=]-1,1] \setminus (]-1,0[ \cup ]0,1])\,$ aussieht, habe ich oben (gegen Ende) geschrieben.
Gruß,
Marcel
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DANKE erstmal! Du hast mir echt um einiges weiter geholfen!
Aber ein paar Sachen sind mir immernoch nicht klar:
> 3. Du kannst hier schonmal die Stetigkeit von [mm]f\,[/mm] an der
> Stelle [mm]x=1\,[/mm] untersuchen. Denn es ist ja [mm]f(x)=0[/mm] für [mm]x > 1\,,[/mm]
> aber [mm]f(1)=1*[1/1]=1*1=1\,.[/mm] Ist [mm]f\,[/mm] an der Stelle [mm]x=1\,[/mm]
> (rechts-)stetig?
Mit dem Begriff "rechtsstetig" habe ich meine Probleme: Wie soll ich das denn zeigen?
> Dann siehst Du:
> [mm]z \le y=1/x < z+1\;\;(z \in \IZ\setminus \{0\})[/mm]
> [mm][/mm][mm] \gdw[/mm]
>
> [mm]\text{falls } y > 0: \frac{1}{z+1} < x \le \frac{1}{z} \text{ oder falls }y<0: \frac{1}{z+1} < x \le \frac{1}{z}\,.[/mm]
Da es keinen Unterschied macht, ob y>0 oder y<0 ist, kann man doch auch einfach x [mm] \not= [/mm] 0 schreiben, oder?
>
> Deswegen:
> Um [mm]f\,[/mm] auf [mm]]-1,0[\,[/mm] untersuchen zu können, betrachte das
> Intervall als die disjunkte Vereinigung
> [mm]]-1,0[=\bigcup_{\substack{z \in \IZ\\z \le -2}}\underbrace{\left]\frac{1}{z+1},\frac{1}{z}\right]}_{=:I_z}\,.[/mm]
>
> (Einfacher geschrieben:
> [mm]]-1,0[=\left]\frac{1}{-1},\;\frac{1}{-2}\right] \cup\left]\frac{1}{-2},\;\frac{1}{-3}\right]\cup\left]\frac{1}{-3},\;\frac{1}{-4}\right]\cup\left]\frac{1}{-4},\;\frac{1}{-5}\right] \cup \ldots[/mm])
>
> Auf jedem Intervall [mm]I_z \setminus \{1/z\}[/mm] ist [mm]f\,[/mm] stetig,
> allerdings unstetig an den [mm]1/z[/mm]-Stellen.
Wie könnte ich hier denn mit der [mm] \epsilon [/mm] - [mm] \delta [/mm] - Definition die Stetigkeit beweisen, bzw die Nicht-Stetigkeit an den 1/z -Stellen?
(Definition für Stetigkeit:
Die Funktion f: D -> [mm] \IR^{m} [/mm] heißt stetig im Punkt [mm] x_{0} \in [/mm] D, falls es zu jedem [mm] \epsilon [/mm] >0 ein [mm] \delta [/mm] >0 gibt, sd. gilt: | f(x) - [mm] f(x_{0}) [/mm] | < [mm] \epsilon \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] D mit |x - [mm] x_{0}| [/mm] < [mm] \delta [/mm] )
Ich müsste ja für das Umformen von f(x) bzw [mm] f(x_{0} [/mm] irgendwie das Intervall [mm] I_{z} [/mm] verwenden können, oder?
> Was dann noch bleibt, ist die Frage, ob [mm]f\,[/mm] stetig an [mm]x=0\,[/mm]
> ist. Das kannst Du dann mit Rechts- und
> Linksstetigkeitsprüfung an der Stelle [mm]x=0\,[/mm] machen:
> So gilt etwa für [mm]0 < x \le 1:\,[/mm]
> Für diese [mm]x\,[/mm] ist [mm][1/x] \le 1/x < [1/x]+1\,,[/mm] also
> [mm]\frac{1}{[1/x]+1} < x \le \frac{1}{[1/x]}\,,[/mm]
> also
> [mm]\frac{[1/x]}{[1/x]+1} < x*[1/x] \le 1\,.[/mm]
>
> Was passiert nun mit
> [mm]\frac{[1/x]}{[1/x]+1}[/mm]
> bei [mm]0 < x \to 0\,[/mm]?
für x->0 würde 1/x nach 1 streben, aber [1/x] immernoch nach 0, oder?
Und dann würde der gesamte Bruch nach 0 streben, oder?
Aber was sagt mir das?
Und wieder der Begriff der Rechtsstetigkeit: was muss ich da machen?
Wäre super, wenn du (oder jemand anders) mir nochmal helfen könnte!
Grüßle, Lily
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:06 So 18.12.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> DANKE erstmal! Du hast mir echt um einiges weiter
> geholfen!
> Aber ein paar Sachen sind mir immernoch nicht klar:
>
> > 3. Du kannst hier schonmal die Stetigkeit von [mm]f\,[/mm] an der
> > Stelle [mm]x=1\,[/mm] untersuchen. Denn es ist ja [mm]f(x)=0[/mm] für [mm]x > 1\,,[/mm]
> > aber [mm]f(1)=1*[1/1]=1*1=1\,.[/mm] Ist [mm]f\,[/mm] an der Stelle [mm]x=1\,[/mm]
> > (rechts-)stetig?
> Mit dem Begriff "rechtsstetig" habe ich meine Probleme:
> Wie soll ich das denn zeigen?
wenn ihr den Begriff noch nicht hattet, ist das nicht so wichtig. Rechtsstetigkeit an [mm] $x_0$ [/mm] heißt, dass es zu dem [mm] $x_0$ [/mm] und zu jedem [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ ein [mm] $\delta [/mm] > 0$ so gibt, dass [mm] $|f(x)-f(x_0)| [/mm] < [mm] \epsilon$ [/mm] für alle [mm] $|x-x_0|< \delta$ [/mm] mit $x > [mm] x_0\,.$ [/mm] Also grob gesagt: Die Abschätzung [mm] $|f(x)-f(x_0)| [/mm] < [mm] \epsilon$ [/mm] gilt zumindest für [mm] $\delta$-nahen [/mm] an [mm] $x_0$ [/mm] gelegenen [mm] $x\,\,,$ [/mm] die "rechts" von [mm] $x_0$ [/mm] liegen.
Oben zeigt die "Nicht-Rechtsstetigkeit" an [mm] $x_0=1$ [/mm] auch die Unstetigkeit an [mm] $x_0=1\,.$ [/mm] Aber dazu musst Du den Begriff "rechtsstetig" aber noch nichtmal kennen. Du zeigst es einfach so:
Sei [mm] $\delta [/mm] > [mm] 0\,.$ [/mm] Sei [mm] $\epsilon:=0.5\,.$ [/mm] Für [mm] $x=x_\delta:=1+\delta/2$ [/mm] liegt [mm] $x\,$ [/mm] sicher in der [mm] $\delta$-Umgebung [/mm] von [mm] $1\,,$ [/mm] aber wegen [mm] $f(x_\delta)=f(x)=0$ [/mm] folgt
$$|f(x)-f(1)|=|0-1|=1 > [mm] 0.5=\epsilon\,.$$
[/mm]
Da [mm] $\delta [/mm] > 0$ beliebig war: Was sehen wir somit?
> > Dann siehst Du:
> > [mm]z \le y=1/x < z+1\;\;(z \in \IZ\setminus \{0\})[/mm]
> >[mm][/mm][mm] \gdw[/mm]
>
> >
> > [mm]\text{falls } y > 0: \frac{1}{z+1} < x \le \frac{1}{z} \text{ oder falls }y<0: \frac{1}{z+1} < x \le \frac{1}{z}\,.[/mm]
>
> Da es keinen Unterschied macht, ob y>0 oder y<0 ist, kann
> man doch auch einfach x [mm]\not=[/mm] 0 schreiben, oder?
Du meinst $y [mm] \not=0\,.$ [/mm] Ja, das kannst Du hier. Kontrolliere es aber nochmal, nicht, dass ich mich da vertan habe.
> > Deswegen:
> > Um [mm]f\,[/mm] auf [mm]]-1,0[\,[/mm] untersuchen zu können, betrachte
> das
> > Intervall als die disjunkte Vereinigung
> > [mm]]-1,0[=\bigcup_{\substack{z \in \IZ\\z \le -2}}\underbrace{\left]\frac{1}{z+1},\frac{1}{z}\right]}_{=:I_z}\,.[/mm]
>
> >
> > (Einfacher geschrieben:
> > [mm]]-1,0[=\left]\frac{1}{-1},\;\frac{1}{-2}\right] \cup\left]\frac{1}{-2},\;\frac{1}{-3}\right]\cup\left]\frac{1}{-3},\;\frac{1}{-4}\right]\cup\left]\frac{1}{-4},\;\frac{1}{-5}\right] \cup \ldots[/mm])
>
> >
> > Auf jedem Intervall [mm]I_z \setminus \{1/z\}[/mm] ist [mm]f\,[/mm] stetig,
> > allerdings unstetig an den [mm]1/z[/mm]-Stellen.
> Wie könnte ich hier denn mit der [mm]\epsilon[/mm] - [mm]\delta[/mm] -
> Definition die Stetigkeit beweisen, bzw die
> Nicht-Stetigkeit an den 1/z -Stellen?
> (Definition für Stetigkeit:
> Die Funktion f: D -> [mm]\IR^{m}[/mm] heißt stetig im Punkt [mm]x_{0} \in[/mm]
> D, falls es zu jedem [mm]\epsilon[/mm] >0 ein [mm]\delta[/mm] >0 gibt, sd.
> gilt: | f(x) - [mm]f(x_{0})[/mm] | < [mm]\epsilon \forall[/mm] x [mm]\in[/mm] D mit
> |x - [mm]x_{0}|[/mm] < [mm]\delta[/mm] )
> Ich müsste ja für das Umformen von f(x) bzw [mm]f(x_{0}[/mm]
> irgendwie das Intervall [mm]I_{z}[/mm] verwenden können, oder?
Du musst immer beachten, dass Du für ein [mm] $x_0\,$ [/mm] aus einem Intervall [mm] $I_z$ [/mm] dann auch [mm] $\delta [/mm] > 0$ zum einen "für die [mm] $\epsilon$-Abschätzung" [/mm] "klein genug" wählst, zum anderen am besten auch zugleich zudem so klein, dass die betrachteten [mm] $x\,$ [/mm] dann auch im Intervall [mm] $I_z$ [/mm] liegen (mach' Dir das am besten mal wieder für ein speziell gewähltes Intervall [mm] $I_z$ [/mm] klar - d.h. wähle $z [mm] \in \IZ$ [/mm] und $z [mm] \le [/mm] -2$ und betrachte dann das zugehörige Intervall [mm] $I_z$ [/mm] - und dann beweise die Stetigkeit von [mm] $f\,$ [/mm] dort - d.h. wenn man [mm] $f\,$ [/mm] auf dieses [mm] $I_z \setminus \{1/z\}$ [/mm] eingeschränkt betrachtet).
Und für Nichtstetigkeit an [mm] $1/z\,$-Stellen [/mm] gehst Du ähnlich vor wie oben. Probier' halt mal, wie weit Du kommst. Es ist nicht ganz trivial, aber auch nicht ganz kompliziert. Betrachte halt erstmal [mm] $f\,$ [/mm] etwa an der Stelle [mm] $x=-1/2\,.$...
[/mm]
> > Was dann noch bleibt, ist die Frage, ob [mm]f\,[/mm] stetig an
> [mm]x=0\,[/mm]
> > ist. Das kannst Du dann mit Rechts- und
> > Linksstetigkeitsprüfung an der Stelle [mm]x=0\,[/mm] machen:
> > So gilt etwa für [mm]0 < x \le 1:\,[/mm]
> > Für diese [mm]x\,[/mm] ist [mm][1/x] \le 1/x < [1/x]+1\,,[/mm] also
> > [mm]\frac{1}{[1/x]+1} < x \le \frac{1}{[1/x]}\,,[/mm]
> > also
> > [mm]\frac{[1/x]}{[1/x]+1} < x*[1/x] \le 1\,.[/mm]
> >
> > Was passiert nun mit
> > [mm]\frac{[1/x]}{[1/x]+1}[/mm]
> > bei [mm]0 < x \to 0\,[/mm]?
> für x->0 würde 1/x nach 1
> streben,
??? Es ist $1/x [mm] \to \infty$ [/mm] bei $0 < x [mm] \to 0\,.$ [/mm] Aber:
Wir hatten doch gesehen, dass
$$ [mm] \frac{[1/x]}{[1/x]+1} [/mm] < [mm] x\cdot{}[1/x] \le 1\,,$$
[/mm]
für alle $0 < x < [mm] 1\,.$ [/mm] Hier ist doch $[1/x]$ eine natürliche Zahl, nenne sie meinetwegen [mm] $n\,.$ [/mm] Wegen $1/x [mm] \to \infty$ [/mm] bei $0 < x [mm] \to [/mm] 0$ hat
[mm] $$\frac{[1/x]}{[1/x]+1}$$
[/mm]
das "gleiche Grenzwertverhalten" wie
[mm] $$\frac{n}{n+1}$$
[/mm]
bei $n [mm] \to \infty\,.$ [/mm] Also?
> aber [1/x] immernoch nach 0, oder?
Nein: $[1/x] [mm] \to \infty$ [/mm] bei $0 < x [mm] \to 0\,.$ [/mm] Und $[1/x]$ würde "monoton wachsend" gegen [mm] $\infty$ [/mm] streben, wenn $x [mm] \to [/mm] 0$ "monoton fallend" streben würde.
> Und dann würde der gesamte Bruch nach 0 streben, oder?
> Aber was sagt mir das?
> Und wieder der Begriff der Rechtsstetigkeit: was muss ich
> da machen?
Wie gesagt: Der Begriff ist noch nicht so wichtig.
> Wäre super, wenn du (oder jemand anders) mir nochmal
> helfen könnte!
> Grüßle, Lily
Achja, eine kleine Sache noch: Ich selber würde nicht die Stetigkeit etwa von [mm] $f\,$ [/mm] eingeschränkt auf [mm] $I_z \setminus\{1/z\}$ [/mm] mit dem [mm] $\epsilon-\delta$-Kriterium [/mm] beweisen. Es ergibt sich dort deshalb, weil die Einschränkung von [mm] $f\,$ [/mm] auf [mm] $I_z \setminus \{1/z\}$ [/mm] offensichtlich selbst eine stetige Funktion ist. Nur, wenn ihr derartiges nicht benutzen dürft, würde ich es direkt über die Definition machen.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:45 Fr 23.12.2011 | | Autor: | Mathe-Lily |
Ich danke dir von ganzem Herzen! 
Hab jetzt mal richtig was kapiert ^^
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