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Guten Tag
Wenn ich eine Brownsche Bewegung $W$ habe, möchte ich nun zeigen, dass folgende Prozesse Gaussprozesse sind. Ich weiss, dass $W$ ein Gaussprozess ist.
Nun will ich zeigen, dass $-W$ und [mm] $W_{t+s}-W_s$ [/mm] für [mm] $\ge [/mm] 0$ Gaussprozesse sind.
Also sei [mm] $t_1,\dots,t_n$ [/mm] Zeitpunkte, dann muss ich zeigen, dass [mm] $(-W_{t_1},\dots,-W_{t_2})$ [/mm] n-dimensionale Normalverteilung ist. Da dieser Vektor durch eine lineare Abbildung des Vektors [mm] $(-(W_{t_1}-W_0),\dots,-(W_{t_n}-W_{t_{n-1}}))$ [/mm] ensteht und letzterer klarerweise ein Gaussprozess ist, ist auch klar, dass $-W$ ein Gaussprozess ist. Wie mache ich aber das nun mit [mm] $W_{t+s}-W_s$? [/mm]
Ebenso würde ich gerne wissen, wieso [mm] $(W_t)$ [/mm] und [mm] $(tW_{1/t})$ [/mm] dieselben endlichen Randverteilungen haben. Kann mir das jemand erklären?
Ich danke euch!
Liebe Grüsse
Marianne88
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Hiho,
> Also sei [mm]t_1,\dots,t_n[/mm] Zeitpunkte, dann muss ich zeigen,
> dass [mm](-W_{t_1},\dots,-W_{t_2})[/mm] n-dimensionale
> Normalverteilung ist. Da dieser Vektor durch eine lineare
> Abbildung des Vektors
> [mm](-(W_{t_1}-W_0),\dots,-(W_{t_n}-W_{t_{n-1}}))[/mm] ensteht und
> letzterer klarerweise ein Gaussprozess ist, ist auch klar,
> dass [mm]-W[/mm] ein Gaussprozess ist. Wie mache ich aber das nun
> mit [mm]W_{t+s}-W_s[/mm]?
Wie auch immer du darauf kommst, da diese Linearkombination für zu verwenden...... das ist doch gar nicht nötig (und zielführend!!)
Nach Voraussetzung ist W Gaußprozess und damit gilt:
[mm] $\left(W_{t_1},\ldots,W_{t_n}\right) \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma)$
[/mm]
Daher folgt:
[mm] $\left(-W_{t_1},\ldots,-W_{t_n}\right) [/mm] = - [mm] \left(W_{t_1},\ldots,W_{t_n}\right) \sim \mathcal{N}(-\mu,\sigma)$
[/mm]
d.h. -W ist Gaußprozess.
Beim Beweis zu [mm] $W_{t+s} [/mm] - [mm] W_s$ [/mm] betrachte mal Folgendes:
Was weißt du über den Zusammenhang zwischen [mm] $\left(X_{t_1},\ldots,X_{t_n}\right)$ [/mm] und [mm] $\sum_{k=1}^n a_k*X_{t_k}$ [/mm] wenn X ein Gaußprozess ist?
Betrachte das dann mal für den Prozess [mm] $W_{t+s} [/mm] - [mm] W_s$ [/mm] und nutze [mm] $W_s$ [/mm] ist unabhängig von [mm] $W_{t+s}$ [/mm] für alle t>0
> Ebenso würde ich gerne wissen, wieso [mm](W_t)[/mm] und [mm](tW_{1/t})[/mm] dieselben endlichen Randverteilungen haben. Kann mir das jemand erklären?
W ist Brownsche Bewegung und X mit [mm] $X_t [/mm] = [mm] t*W_{\bruch{1}{t}}$ [/mm] ebenso.
Nach Definition sind sie also gleich verteilt.
MFG,
Gono.
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Guten Tag Gonozal
>
>
> Nach Voraussetzung ist W Gaußprozess und damit gilt:
>
> [mm]\left(W_{t_1},\ldots,W_{t_n}\right) \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma)[/mm]
>
> Daher folgt:
>
> [mm]\left(-W_{t_1},\ldots,-W_{t_n}\right) = - \left(W_{t_1},\ldots,W_{t_n}\right) \sim \mathcal{N}(-\mu,\sigma)[/mm]
>
>
> d.h. -W ist Gaußprozess.
>
Das wäre einfacher gewesen! Danke für den Hinweis.
> Beim Beweis zu [mm]W_{t+s} - W_s[/mm] betrachte mal Folgendes:
>
> Was weißt du über den Zusammenhang zwischen
> [mm]\left(X_{t_1},\ldots,X_{t_n}\right)[/mm] und [mm]\sum_{k=1}^n a_k*X_{t_k}[/mm]
> wenn X ein Gaußprozess ist?
Es gilt eine genau dann wenn Beziehung. $X$ ist ein Gaussprozess genau dann wenn jede Linearkombination eine eindimensionale Normalverteilung ist.
>
> Betrachte das dann mal für den Prozess [mm]W_{t+s} - W_s[/mm] und
> nutze [mm]W_s[/mm] ist unabhängig von [mm]W_{t+s}[/mm] für alle t>0
>
Mir ist schon klar, dass [mm] $W_{t+s}-W_s$ [/mm] eine Linearkombination ist und ausserdem Normalverteilt, da sie unabhängig sind. Aber dies ist doch nicht die Definition von einer Gaussprozess. Müsste ich nicht Zeitpunkte [mm] $t_1,\dots,t_n$ [/mm] nehmen und folgendes betrachten:
[mm] $$\sum_{i=1}^na_i (W_{t_i+s}-W_s)$$
[/mm]
Und dies müsste normalverteilt sein?
> W ist Brownsche Bewegung und X mit [mm]X_t = t*W_{\bruch{1}{t}}[/mm]
> ebenso.
> Nach Definition sind sie also gleich verteilt.
>
Das Problem ist, dass ich genau zeigen will, dass beide eine Brownsche Bewegung sind. Für das brauche ich, dass sie beide diesselbe Randverteilung haben. Kannst du mir zeigen, wieso dies gilt?
Danke für deine Hilfe
Liebe Grüsse
Marianne
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Hiho,
> Es gilt eine genau dann wenn Beziehung. [mm]X[/mm] ist ein
> Gaussprozess genau dann wenn jede Linearkombination eine
> eindimensionale Normalverteilung ist.
jede endliche Linearkombination von beliebigen Stützstellen!
> Mir ist schon klar, dass [mm]W_{t+s}-W_s[/mm] eine Linearkombination
> ist und ausserdem Normalverteilt, da sie unabhängig sind.
Ja, das solltest du aber gar nicht.
> Aber dies ist doch nicht die Definition von einer
> Gaussprozess. Müsste ich nicht Zeitpunkte [mm]t_1,\dots,t_n[/mm]
> nehmen und folgendes betrachten:
>
> [mm]\sum_{i=1}^na_i (W_{t_i+s}-W_s)[/mm]
Genau, das solltest du tun!
> Und dies müsste normalverteilt sein?
Genau! Und diesen Ansatz solltest du verfolgen und dafür meine Hinweise nutzen. Und nun überleg mal, wieso es das ist, ich schreibs dir mal ein bisschen schöner:
[mm]\sum_{i=1}^n a_i (W_{t_i+s}-W_s) = \left(\sum_{i=1}^n a_i W_{t_i+s}\right) - \left(\sum_{i=1}^n a_i \right)W_s [/mm]
Nun substituieren wir den Spaß ein bisschen um mit:
$b := [mm] -\left(\sum_{i=1}^n a_i \right)$
[/mm]
Sowie [mm] $k_i [/mm] := [mm] t_i [/mm] + s$ (und beachte, die [mm] k_j [/mm] sind nun auch wieder endlich viele Stützstellen mit [mm] $k_i [/mm] > s$), dann steht da:
[mm] $\left(\sum_{i=1}^n a_i W_{k_i}\right) [/mm] + [mm] bW_s$
[/mm]
Na und nun überleg mal:
Was weißt du über
[mm] $\left(\sum_{i=1}^n a_i W_{k_i}\right)$ [/mm] und über [mm] $bW_s$ [/mm] ?
> > W ist Brownsche Bewegung und X mit [mm]X_t = t*W_{\bruch{1}{t}}[/mm] > ebenso.
Zeige, beides ist ein Gaußprozess mit [mm] $Cov(X_t,X_s) [/mm] = s [mm] \wedge [/mm] t$
Daraus folgt, dass [mm] X_t [/mm] eine Brownsche Bewegung ist.
Um zu zeigen, dass X ein Gaußprozess ist, verfährst du ebenso wie oben:
Nimm dir einen endlichen Zufallsvektor und betrachte eine beliebige Linearkombination. Zeige unter dem Wissen, dass W Gaußprozess ist, dass dann auch diese Linerkombination normalverteilt ist.
MFG,
Gono.
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Guten Abend Gonozal
Danke für deine schnelle Antwort.
> Was weißt du über
>
> [mm]\left(\sum_{i=1}^n a_i W_{k_i}\right)[/mm] und über [mm]bW_s[/mm] ?
>
>
Ich weiss, dass alle Summanden Normalverteilt sind. Den Punkt den ich wohl nicht verstehe ist, wieso sie unabhängig sind. Ich weiss ja (per Definition), dass für [mm] $t_1<\dots
> > > W ist Brownsche Bewegung und X mit [mm]X_t = t*W_{\bruch{1}{t}}[/mm]
> > ebenso.
>
> Zeige, beides ist ein Gaußprozess mit [mm]Cov(X_t,X_s) = s \wedge t[/mm]
>
> Daraus folgt, dass [mm]X_t[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
eine Brownsche Bewegung ist.
>
> Um zu zeigen, dass X ein Gaußprozess ist, verfährst du
> ebenso wie oben:
>
> Nimm dir einen endlichen Zufallsvektor und betrachte eine
> beliebige Linearkombination. Zeige unter dem Wissen, dass W
> Gaußprozess ist, dass dann auch diese Linerkombination
> normalverteilt ist.
>
Genau gleiches Problem wie oben: $(cW_{\frac{t_1}{c^2},\dots,cW_{\frac{t_n}{c^2}}$
Betrachte $\sum_{i=1}^n a_i cW_{\frac{t_i}{c^2}=c\sum_{i=1}^n a_i W_{\frac{t_i}{c^2}$
Wenn ich weiss, dass $W_{\frac{t_i}{c^2}}$ für $i=1,\dots,n$ unabhängig sind, dass ist diese Linearkombination Normalverteilt und somit ein Gaussprozess.
Ich danke dir für deine Hilfe.
Liebe Grüsse
Marianne
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Hiho,
> Ich weiss, dass alle Summanden Normalverteilt sind.
Nö, nicht notwendigerweise.
> Den Punkt den ich wohl nicht verstehe ist, wieso sie unabhängig sind.
Sind sie im Allgemeinen auch nicht, also nicht alle Summanden.
Du interessierst dich ja aber auch nicht für die Einzelsummanden, sondern es reicht dir ja, wenn das insgesamt normalverteilt ist.
Also betrachten wir uns mal nur zwei Summanden, nämlich (wie vorhin schon erwähnt):
$ [mm] \left(\sum_{i=1}^n a_i W_{k_i}\right) [/mm] $
und
$ [mm] bW_s [/mm] $
Nun weißt du: $ [mm] \left(\sum_{i=1}^n a_i W_{k_i}\right) [/mm] $ ist nach Voraussetzung normalverteilt (warum?)
Und $ [mm] bW_s [/mm] $ ist normalverteilt (warum?) und unabhängig von $ [mm] \left(\sum_{i=1}^n a_i W_{k_i}\right) [/mm] $ (warum?)
> Genau gleiches Problem wie oben:
> [mm](cW_{\frac{t_1}{c^2},\dots,cW_{\frac{t_n}{c^2}}[/mm]
>
> Betrachte [mm]\sum_{i=1}^n a_i cW_{\frac{t_i}{c^2}=c\sum_{i=1}^n a_i W_{\frac{t_i}{c^2}[/mm]
erstens: Achte doch bitte auf die Formatierung.
zweitens: Wieso steht jeweils nen c bei dir vorn?
Du willst doch den Vektor:
[mm] $\left(X_{t_1}, \ldots, X_{t_n}\right) [/mm] = [mm] \left(t_1W_{\bruch{1}{t_1}}, \ldots, t_nW_{\bruch{1}{t_n}}\right)$ [/mm]
untersuchen. Die Vorgehensweise ist allerdings die Gleiche.... aber achte drauf sauber das aufzuschreiben, was du eigentlich zeigen willst.
Du scheinst nämlich verschiedene Aufgaben zu vermischen!!
Du hast gezeigt, das [mm] $Y_t [/mm] = [mm] c*W_{\bruch{t}{c^2}}$ [/mm] ein Gaußprozess ist.
Das stimmt zwar, ist aber nicht das, was du eigentlich gefragt hast!
MFG,
Gono.
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> Hiho,
>
> > Ich weiss, dass alle Summanden Normalverteilt sind.
>
> Nö, nicht notwendigerweise.
>
Da bin ich mir aber ziemlich sicher: [mm] $W_t$ [/mm] ist normalverteilt, da [mm] $W_t=W_t-W_0$ [/mm] und letzteres normalverteilt ist. Multiplikation mit einer konstanten ergibt nur eine neue Varianz, also ist [mm] $a_iW_{k_i}$ [/mm] normalverteilt.
> Also betrachten wir uns mal nur zwei Summanden, nämlich
> (wie vorhin schon erwähnt):
>
> [mm]\left(\sum_{i=1}^n a_i W_{k_i}\right)[/mm]
>
> und
>
> [mm]bW_s[/mm]
>
> Nun weißt du: [mm]\left(\sum_{i=1}^n a_i W_{k_i}\right)[/mm] ist
> nach Voraussetzung normalverteilt (warum?)
>
Entschuldige meine Unwissenheit, aber ich sehe nicht ein, wieso dis gilt? Wie gesagt, jedes [mm] $a_i W_{k_i}$ [/mm] ist normalverteilt aber wieso die Summe Normalverteilt ist, weiss ich nicht.
> Und [mm]bW_s[/mm] ist normalverteilt (warum?) und unabhängig von
> [mm]\left(\sum_{i=1}^n a_i W_{k_i}\right)[/mm] (warum?)
Normalverteilt ist klar, mit dem gleichen Argument wie oben. Unabhängigkeit leuchtet mir, wie oben, nicht ein.
>
> erstens: Achte doch bitte auf die Formatierung.
> zweitens: Wieso steht jeweils nen c bei dir vorn?
> Du willst doch den Vektor:
>
Entschuldige! Das ist mir peinlich. Ich bin tatsächlich verrutscht.
> [mm]\left(X_{t_1}, \ldots, X_{t_n}\right) = \left(t_1W_{\bruch{1}{t_1}}, \ldots, t_nW_{\bruch{1}{t_n}}\right)[/mm]
>
>
Ich betrachte also die Summe:
[mm] $$\sum_{i=1}^na_i W_{\frac{1}{t_i}}$$
[/mm]
wobei [mm] $a_i:= a_i'\cdot t_i$ [/mm] ist. Wiederum glaube ich, dass [mm] $a_iW_{\frac{1}{t_i}}$ [/mm] normalverteilt ist. Wenn sie unabhängig sind, dann ist auch die Summe normalverteilt. Wieso Unabhängigkeit gelten soll, verstehe ich aber nicht.
Ich möchte mich wirklich bei dir bedanken und nochmals entschuldigen für meine Unwissenheit. Du hilfst mir sehr!
Liebe Grüsse
Marianne
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Hiho,
> > > Ich weiss, dass alle Summanden Normalverteilt sind.
> >
> > Nö, nicht notwendigerweise.
> >
> Da bin ich mir aber ziemlich sicher: [mm]W_t[/mm] ist
> normalverteilt, da [mm]W_t=W_t-W_0[/mm] und letzteres normalverteilt
> ist. Multiplikation mit einer konstanten ergibt nur eine
> neue Varianz, also ist [mm]a_iW_{k_i}[/mm] normalverteilt.
Ja, das stimmt. Ich dachte du meinst auch alle möglichen Summationsmöglichkeiten.
> > Nun weißt du: [mm]\left(\sum_{i=1}^n a_i W_{k_i}\right)[/mm] ist
> > nach Voraussetzung normalverteilt (warum?)
> >
> Entschuldige meine Unwissenheit, aber ich sehe nicht ein,
> wieso dis gilt? Wie gesagt, jedes [mm]a_i W_{k_i}[/mm] ist
> normalverteilt aber wieso die Summe Normalverteilt ist, weiss ich nicht.
Ja, dafür bräuchtest du allgemein die Unabhängigkeit.
Aber wir wissen ja noch mehr, nämlich dass W eine Brownsche Bewegung und damit Gaußprozess ist.
Damit gilt für jeden Zufallsvektor [mm] $\left(W_{k_1},\ldots,W_{k_n} \right)$ [/mm] was?
> Unabhängigkeit leuchtet mir, wie oben, nicht ein.
Oh, da hatte ich einen Denkfehler, da hast du recht.
Daher ist mein Ansatz nicht zielführend.
Dazu poste ich später nochmal was.
> Entschuldige! Das ist mir peinlich. Ich bin tatsächlich verrutscht.
macht nix.
> > [mm]\left(X_{t_1}, \ldots, X_{t_n}\right) = \left(t_1W_{\bruch{1}{t_1}}, \ldots, t_nW_{\bruch{1}{t_n}}\right)[/mm]
> >
> >
> Ich betrachte also die Summe:
>
> [mm]\sum_{i=1}^na_i W_{\frac{1}{t_i}}[/mm]
> wobei [mm]a_i:= a_i'\cdot t_i[/mm] ist.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Wiederum glaube ich, dass [mm]a_iW_{\frac{1}{t_i}}[/mm] normalverteilt ist.
Ja, brauchst du aber auch hier nicht.
> Wenn sie unabhängig sind, dann ist auch die Summe normalverteilt.
Ja, sind sie aber im Allgemeinen nicht 
> Wieso Unabhängigkeit gelten soll, verstehe ich aber nicht.
Tut sie auch nicht. Setze wieder [mm] $k_i [/mm] = [mm] \bruch{1}{t_i}$ [/mm] dann steht da?
Voraussetzung dass W Gaußprozess ist, liefert dir?
MFG,
Gono.
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Guten Tag Gonozal
Ich glaube ich weiss jetzt warum [mm] $W_{t+s}-W_s$ [/mm] ein Gaussprozess ist:
Wie bereits gesehen haben wir: [mm] $\sum_{i=1}^na_i W_{k_i}$ [/mm] und [mm] $bW_s$ [/mm] wobei $ [mm] k_i [/mm] := [mm] t_i [/mm] + s $ und $ b := [mm] -\left(\sum_{i=1}^n a_i \right) [/mm] $.
Da $W$ ein Gaussprozess ist, ist [mm] $\sum_{i=1}^na_i W_{k_i}$ [/mm] normalverteilt, ebenso [mm] $bW_s$.
[/mm]
Nun brauche ich:
[mm] $(W_{k_1},\dots,W_{k_n})$ [/mm] kann als affine Transformation von [mm] $(W_{k_1}-W_0,\dots,W_{k_n}-W_{k_{n-1}})$ [/mm] geschrieben werden. Alle diese Inkremente sind unabhängig von [mm] $W_s$, [/mm] also auch der erste Vektor (Hier bin ich mir nicht so sicher, ob daraus folgt, dass auch der erste Vektor unabhängig ist). Damit ist [mm] $\sum_{i=1}^na_i W_{k_i}+bW_s$ [/mm] ebenfalls normalverteilt. Stimmt dies?
Liebe Grüss
marianne88
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Mi 15.08.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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