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Hallo zusammen.
Habe ein Problem mit den tollen komplexen Zahlen.
Die Aufgabenstellung lautet:
2x² + 1 = x + 3i
Ermitteln Sie die Lösungsmenge und tragen Sie die Elemente in die Gaußsche Zahlenebene ein.
Mein Vorwissen zu den komplexen Zahlen ist eigentlich gar nicht wenig, trotzdem bin ich aufgeschmissen. Kenne eigentlich nur Aufgaben die wie folgt lauten: z = 4 + i
Wäre sehr dankbar über eine STarthilfe was ich tun muss.
Gruß Jens
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:32 So 27.02.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Jens!
Dies ist doch einfach eine quadratische Gleichung. Bringe alles auf eine Seite:
[mm] $2x^2 [/mm] -x + 1-3i=0$
und löse diese Gleichung mit den üblichen Methoden (z.B. p-q-Formel). Gehe also genauso vor als wenn du eine Gleichung mit reellen Koeffizienten hättest (aber rechne dabei mit komplexen Zahlen). Du erhältst zwei Lösungen. Dies kannst du einfach in die Gaußsche Zahlenebene eintragen.
Melde dich bitte wieder, wenn du damit nicht zurechtkommst, aber am besten mal mit einem eigenen Lösungsvorschlag, in dem du meine obigen Hinweise versuchst umzusetzen. Wir helfen dir dann auf jeden Fall weiter. 
Liebe Grüße
Stefan
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Also an der pq Formel solls nun auch nicht scheitern:
2x² - x + 1 - 3i = 0
x² - x/2 + 1/2 -3/2i = 0
p = -1/2 q = 1/2 - 3/2i
oder wie solls jetzt sein? Bin hier bei q unsicher
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:29 So 27.02.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Ja, das ist schon richtig.
Du erhältst also:
[mm] $x_{1,2} [/mm] = [mm] \frac{1}{4} \pm \sqrt{\frac{1}{16} - \frac{1}{2} + \frac{3}{2}i} [/mm] = [mm] \frac{1}{4} \pm \sqrt{- \frac{7}{16} + \frac{3}{2}i}$.
[/mm]
Weißt du, wie man jetzt die komplexe Wurzel berechnet?
Hast du schon einmal etwas von Polarkoordinaten gehört?
Liebe Grüße
Stefan
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Ist mit komplexer Wurzel das hier gemeint?:
i = [mm] \wurzel{-1} [/mm] ??
Polarkoordinaten sind doch Koordinaten die vom Nullpunkt des Koordinatensystems an gezählt werden. Relative wären weiterführend ohne Bezug zum Nullpunkt meine ich in Erinnerung zu haben.
Wie muss ich denn jetzt weiter machen? Die Wurzel -1 steht mir als nächstes im Wege.
Aber schonmal danke für deine Hilfe.
Gruß Jens
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:23 So 27.02.2005 | | Autor: | Stefan |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo!
Also, ich will es einmal erklären, wie man die Wurzel einer komplexen Zahl $z=x+iy$ bestimmt:
Zunächst einmal schreibt man $z$ in Polarkoordinaten, also:
$z=r \cdot e^{i\varphi} = r \cdot (\cos(\varphi) + i \sin(\varphi))$,
mit
$r=\sqrt{x^2+y^2}$
und
$\varphi = \left\{ \begin{array}{cccl} \arctan\left(\frac{y}{x} \right) & , & \mbox{wenn} & x>0,\\[5pt] \arctan \left( \frac{y}{x} \right) + \pi & , & \mbox{wenn} & x<0 \quad \mbox{und} \quad y \ge 0,\\[5pt] \arctan \left( \frac{y}{x} \right) - \pi & , & \mbox{wenn} & x<0 \quad \mbox{und} \quad y<0,\\[5pt] \frac{\pi}{2} & , & \mbox{wenn} & x=0 \quad \mbox{und} \quad y>0,\\[5pt] - \frac{\pi}{2} & , & \mbox{wenn} & x=0 \quad \mbox{und} \quad y<0,\\[5pt] 0 & , & \mbox{wenn} & x=0 \quad \mbox{und} \quad y=0. \end{array} \right.$.
Dann sind
$z_{1,2} = \pm \sqrt{r} \cdot e^{i\frac{\varphi}{2}} = \pm \sqrt{r} \cdot \left (\cos\left( \frac{\varphi}{2} \right) + i \sin\left( \frac{\varphi}{2} \right) \right)$
die beiden komplexen Wurzeln von $z$.
Versuche jetzt bitte mit diesem Rechenmuster die beiden komplexen Wurzeln von $-\frac{7}{16} + \frac{3}{2}i$ zu berechnen.
Liebe Grüße
Stefan
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Habe das jetzt so verstanden:
Realteil = -7/16
Imaginärteil = 3/2i
Eingetragen in die Gaußsche Zahlenebene , dabei bildet sich ein Zeiger im 2. Quadrant.
Winkel beträgt 106,26° (bzw. -73,74°)
r = 1,5625
Ist das soweit richtig, oder bin ich grad aufm Holweg? Weil mich irritiert, dass bisher die 1/4 von der pq Formel nirgens einbezogen sind.
Und noch eine Frage: Warum ist der Winkel geteilt durch 2 in der trigonmetrischen Darstellung die ich im letzten Beitrag fand?
Gruß Jens
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:45 So 27.02.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Die Werte stimmen.
Um die Wurzel zu bestimmen, musst du jetzt die Wurzel des Radius nehmen und den Winkel halbieren.
Der entstehende Ausdruck ist dann der Wurzelterm in der p-q-Formel, ich nenne ihn jetzt mal $w$. Dann berechnest du deine beiden Lösungen gemäß:
[mm] $x_{1,2} [/mm] = [mm] \frac{1}{4} \pm [/mm] w$.
Warum der Winkel halbiert wird?
Wenn man zwei komplexe Zahlen multipliziert, dann multiplizieren sich die Radien und addieren sich die Winkel, im Sinne einer Drehstreckung. Wenn man eine Zahl mit sich selber multipliziert, verdoppelt sich daher der Winkel. Beim umgekehrten Schritt, dem Wurzelziehen, muss man dementsprechend den Winkel halbieren.
Viele Grüße
Stefan
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Hallo,
2 Fragen sind noch offen.
1:
Nun verstehe ich nicht wozu ich die Wurzel von r nehmen muss. Hätte jetzt einfach meine Werte soweit ich sie weiß, in die trigonometrische Darstellung eingesetzt.
2:
Wie geht es weiter? Es gibt doch sicher noch eine zweite Lösung oder?
Muss für heute leider Feierabend machen, morgen bin ich wieder mit mehr Zeit dabei.
Gruß und Dank
Jens
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:15 So 27.02.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Noch einmal:
Wir wollen so etwas wie
[mm] $\frac{1}{4} \pm \sqrt{z_0}$,
[/mm]
mit [mm] $z_0 [/mm] := - [mm] \frac{7}{16} [/mm] + [mm] \frac{3}{2}i$,
[/mm]
berechnen. Die Darstellung von [mm] $z_0$ [/mm] in Polarkoordinaten hast du angegeben. Wenn man von [mm] $z_0$ [/mm] die Wurzel ziehen will, muss man die Wurzel des Radius nehmen und den Winkel halbieren (eben deswegen, weil sich beim Multiplizieren zweier komplexer Zahlen die Radien multiplizieren und die Winkel addieren und wir hier den Vorgang umkehren, speziell bei der Multiplikation einer Zahl mit sich selbst).
Macht man das, bekommt man eine neue komplexe Zahl, nämlich [mm] $w=\sqrt{z_0}$.
[/mm]
Nun berechnest du deine beiden Lösungen gemäß
[mm] $x_{1,2} [/mm] = [mm] \frac{1}{4} \pm [/mm] w$,
also:
[mm] $x_1= \frac{1}{4} [/mm] + w$,
[mm] $x_2 [/mm] = [mm] \frac{1}{4} [/mm] - w$.
Das sind doch zwei Lösungen.
Wie sehen sie aus?
Viele Grüße
Stefan
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[mm] x_{1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{4} [/mm] + [mm] (\bruch{-7}{16} [/mm] + [mm] \bruch{3}{2}i)
[/mm]
[mm] x_{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{4} [/mm] - [mm] (\bruch{-7}{16} [/mm] + [mm] \bruch{3}{2}i)
[/mm]
[mm] x_{1} [/mm] = [mm] \bruch{-3}{16} [/mm] + [mm] \bruch{3}{2}i
[/mm]
[mm] x_{1} [/mm] = [mm] \bruch{11}{16} [/mm] - [mm] \bruch{3}{2}i
[/mm]
Haben nun die beiden Ergebnisse in meine Gaußsche Zahlenebene eingetragen.
r1= 1,51
r2= 1,65
Die zugehörigen Winkel sind bei mir:
[mm] \phi [/mm] = 97,13°
[mm] \phi [/mm] = 294,62°
Wenn das so jetzt alles richtig ist (hoffe ich) , bin ich dann nun fertig?
Gruß Jens
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:41 Mi 02.03.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
> [mm]x_{1}[/mm] = [mm]\bruch{1}{4}[/mm] + [mm](\bruch{-7}{16}[/mm] +
> [mm]\bruch{3}{2}i)
[/mm]
>
> [mm]x_{2}[/mm] = [mm]\bruch{1}{4}[/mm] - [mm](\bruch{-7}{16}[/mm] +
> [mm]\bruch{3}{2}i)
[/mm]
>
Du hast die Wurzel nicht berechnet wie Stefan gesagt hat, sondern einfach den Radikant hingeschrieben.
Ausserdem kannst du dein Ergebnis doch in die Ausgangsgleichung einsetzen und feststellen, dass es falsch ist. also probiers mit dem Wurzelziehen und setz dein Ergebnis in die Ausgangsgleichung ein
Zum Halbieren der Winkel: Nimm die fertige Formel fuer das Wurzelziehen,quadrier sie und verwend die Additionstheoreme, dannsiehst du dass es richtig ist!
>
>
> [mm]x_{1}[/mm] = [mm]\bruch{-3}{16}[/mm] + [mm]\bruch{3}{2}i
[/mm]
>
> [mm]x_{1}[/mm] = [mm]\bruch{11}{16}[/mm] - [mm]\bruch{3}{2}i
[/mm]
>
>
> Haben nun die beiden Ergebnisse in meine Gaußsche
> Zahlenebene eingetragen.
>
> r1= 1,51
> r2= 1,65
>
> Die zugehörigen Winkel sind bei mir:
>
> [mm]\phi[/mm] = 97,13°
> [mm]\phi[/mm] = 294,62°
>
> Wenn das so jetzt alles richtig ist (hoffe ich) , bin ich
> dann nun fertig?
Leider nicht!
Gruss leduart
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