Gaußsche zahle, division < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:22 Fr 25.05.2012 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | [mm] \IZ[i]={x+iy:x,y\in \IZ}
[/mm]
[mm] N(x+iy)=x^2+y^2
[/mm]
Zeige für alle [mm] \alpha, \beta \in \IZ[i] [/mm] mit [mm] \beta \not= [/mm] 0 gibt es [mm] \gamma ,\rho \in \IZ[i], [/mm] die [mm] \alpha [/mm] = [mm] \gamma \beta [/mm] + [mm] \rho [/mm] und N(p) < [mm] N(\beta) [/mm] erfüllen |
[mm] \alpha/\beta [/mm] = r + is (mit r ,s [mm] \in \IQ)
[/mm]
Die rationalen zahlen sind max 1/2 von einer ganzen Zahl entfernt
|r-x|<=1/2
|s-y| <=1/2
x,y [mm] \in \IZ
[/mm]
Nun setzte ich [mm] \gamma [/mm] = x+ iy
die ganzen zahlen x.y, die am nähesten an r,s dran sind
Rest:
[mm] \rho= \alpha [/mm] - [mm] \gamma \beta [/mm]
[mm] N(\rho) [/mm] = [mm] N(\alpha [/mm] - [mm] \gamma \beta [/mm] ) = [mm] N(\beta*(\alpha/\beta [/mm] - [mm] \gamma [/mm] )) = [mm] N(\beta) [/mm] * [mm] N(\alpha/\beta [/mm] - [mm] \gamma)
[/mm]
Die Norm ist aber nicht additiv sonder nur multiplikativ
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:00 Sa 26.05.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> [mm]\IZ[i]={x+iy:x,y\in \IZ}[/mm][/i][/mm]
> [mm][i] [mm]N(x+iy)=x^2+y^2[/mm][/i][/mm]
> [mm][i] Zeige für alle [mm]\alpha, \beta \in \IZ[i][/mm] mit [mm]\beta \not=[/mm] 0 [/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i]gibt es [mm]\gamma ,\rho \in \IZ[i],[/mm] die [mm]\alpha[/mm] = [mm]\gamma \beta[/mm] + [/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i][mm][i][mm]\rho[/mm] und N(p) < [mm]N(\beta)[/mm] erfüllen[/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i][mm][i] [mm]\alpha/\beta[/mm] = r + is (mit r ,s [mm]\in \IQ)[/mm][/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i][mm][i] Die rationalen [/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i][mm][i]zahlen sind max 1/2 von einer ganzen Zahl entfernt[/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i][mm][i] |r-x|<=1/2[/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i][mm][i] |x-y| <=1/2[/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i][mm][i] x,y [mm]\in \IZ[/mm][/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i][mm][i] [/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i][mm][i]Nun setzte ich [mm]\gamma[/mm] = x+ iy[/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i][mm][i] die ganzen zahlen x.y, die am nähesten an r,s dran sind[/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i][mm][i] [/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i][mm][i]Rest:[/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i][mm][i] [mm]\rho= \alpha[/mm] - [mm]\gamma \beta[/mm] [/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i][mm][i][mm]N(\rho)[/mm] = [mm]N(\alpha[/mm] - [mm]\gamma \beta[/mm] ) = [/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i][mm][i][mm]N(\beta*(\alpha/\beta[/mm] - [mm]\gamma[/mm] )) = [mm]N(\beta)[/mm] * [/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i][mm][i][mm]N(\alpha/\beta[/mm] - [mm]\gamma)[/mm][/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i][mm][i] [/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i][mm][i]Die Norm ist aber nicht additiv sonder nur multiplikativ[/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i][mm][i] [/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm]
Genau, das ist sie nicht. Aber du weisst doch: [mm] $\alpha/\beta [/mm] - [mm] \gamma$ [/mm] ist von der Form $a + b i$ mit $|a|, |b| [mm] \le \frac{1}{2}$. [/mm] Damit kannst du [mm] $N(\alpha/beta [/mm] - [mm] \gamma)$ [/mm] nach oben abschaetzen.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:11 So 27.05.2012 | | Autor: | quasimo |
> $ [mm] N(\alpha/beta [/mm] - [mm] \gamma) [/mm] $ nach oben abschaetzen.
$ [mm] N(\alpha/beta [/mm] - [mm] \gamma) [/mm] $ [mm] <=1/2^2 [/mm] + [mm] 1/2^2 [/mm] = 2/4 = 1/2
$ [mm] \rho= \alpha [/mm] $ - $ [mm] \gamma \beta [/mm] $
[mm] \frac{\rho}{ \beta} [/mm] = [mm] \alpha/ \beta [/mm] - [mm] \gamma
[/mm]
[mm] N(\frac{\rho}{ \beta}) [/mm] < 1/2
[mm] N(\rho) [/mm] < 1/2 N [mm] (\beta) [/mm] < [mm] N(\beta)
[/mm]
so?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:20 So 27.05.2012 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > [mm]N(\alpha/beta - \gamma)[/mm] nach oben abschaetzen.
> [mm]N(\alpha/beta - \gamma)[/mm] [mm]<=1/2^2[/mm] + [mm]1/2^2[/mm] = 2/4 = 1/2
>
>
> [mm]\rho= \alpha[/mm] - [mm]\gamma \beta[/mm]
> [mm]\frac{\rho}{ \beta}[/mm] = [mm]\alpha/ \beta[/mm]
> - [mm]\gamma[/mm]
>
> [mm]N(\frac{\rho}{ \beta})[/mm] < 1/2
Das solltest du noch ein kleines wenig besser begruenden. Vor allem warum du $<$ anstelle [mm] $\le$ [/mm] herausbekommst. (Das stimmt naemlich nicht.)
> [mm]N(\rho)[/mm] < 1/2 N [mm](\beta)[/mm] < [mm]N(\beta)[/mm]
Das waer dann (mehr oder weniger, siehe oben) ok.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:30 So 27.05.2012 | | Autor: | quasimo |
Wir haben abgeschätzt : [mm] N(\alpha/\beta [/mm] - [mm] \gamma)<=1/2 [/mm]
[mm] \frac{\rho}{\beta}= \alpha/\beta -\gamma [/mm]
[mm] N(\frac{\rho}{\beta})=N(\alpha/\beta -\gamma [/mm] )<=1/2
Nun [mm] N(\frac{\rho}{\beta}) =N(\rho)*N(1/\beta)<=1/2
[/mm]
Nun wenn ich mir da nochmals anschaue frage ich mich wie man jetzt zu:
[mm] N(\rho)
da wir ja [mm] N(1/\beta) [/mm] haben, wa ich vorher übersehen habe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:48 So 27.05.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Wir haben abgeschätzt : [mm]N(\alpha/\beta[/mm] - [mm]\gamma)<=1/2[/mm]
> [mm]\frac{\rho}{\beta}= \alpha/\beta -\gamma[/mm]
> [mm]N(\frac{\rho}{\beta})=N(\alpha/\beta -\gamma[/mm] )<=1/2
>
> Nun [mm]N(\frac{\rho}{\beta}) =N(\rho)*N(1/\beta)<=1/2[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Nun wenn ich mir da nochmals anschaue frage ich mich wie
> man jetzt zu:
> [mm]N(\rho)
>
> da wir ja [mm]N(1/\beta)[/mm] haben, wa ich vorher übersehen habe.
Verwende [mm] $N(1/\beta) [/mm] = [mm] 1/N(\beta)$. [/mm] Das folgt aus [mm] $N(\beta) N(1/\beta) [/mm] = N(1) = 1$.
LG Felix
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