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Forum "Lineare Abbildungen" - Gaußscher Algorithmus
Gaußscher Algorithmus < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Gaußscher Algorithmus: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:03 So 09.11.2008
Autor: blueberrystick

Aufgabe
Bestimmen Sie für die unten angegebenen linearen Gleichungssysteme A*x=b den Nullraum N(A) (durch Angabe einer Basis) und die Lösungsmenge L(A,b) mit Hilfe des Gaußschen Algorithmus

[mm] x_{1} [/mm] + [mm] 2*x_{2} [/mm] - [mm] 3*x_{3} [/mm] = 2
[mm] x_{1} [/mm] + 4* [mm] x_{2} [/mm] + [mm] x_{3} [/mm]   = 4
[mm] x_{1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{5}*x_{2} [/mm] - [mm] 2*x_{3} [/mm] =  [mm] \bruch{5}{2} [/mm]
[mm] x_{1} [/mm] + [mm] 3*x_{2} [/mm] - [mm] x_{3} [/mm]   = 3

Lösungsansatz:


1 2 3 | 2
1 4 1 | 4
1 [mm] \bruch{1}{5} [/mm] 2 | [mm] \bruch{5}{2} [/mm]     || Z.2 minus Z.4
1 3 1 | 3


1 2 3 | 2
0 1 0 | 1
1 [mm] \bruch{1}{5} [/mm] 2| [mm] \bruch{5}{2} [/mm]
1 3 1 | 3                                              || Z.4 minus 3* Z.2


1 2 3 | 2                                               || Z.1 minus 2* Z.2
0 1 0 | 1                                              
1 [mm] \bruch{1}{5} [/mm] 2 | [mm] \bruch{5}{2} [/mm]
1 0 1 | 0


1 0 3 | 0
0 1 0 | 1
1 [mm] \bruch{1}{5} [/mm] 2 | [mm] \bruch{5}{2} [/mm]      || Z.3 minus Z.1
1 0 1 | 0


1 0 3 | 0                                              || Z.1 minus Z.4
0 1 0 | 1
0 [mm] \bruch{1}{5} [/mm] 1 | [mm] \bruch{5}{2} [/mm]
1 0 1 | 0


0 0 2 | 0
0 1 0 | 1
0 [mm] \bruch{1}{5} [/mm] 1 | [mm] \bruch{5}{2} [/mm]        || *10   || Z.3 minus 5*Z.1
1 0 1 | 0


0 0 2 | 0
0 1 0 | 1              
0 2 0 | 25                                              || Z.3 minus 2*Z.2
1 0 1 | 0


0 0 2 | 0                                                 || * 0.5
0 1 0 | 1
0 0 0 | 23
1 0 1 | 0                                                 || Z.4 minus Z. 1


0 0 1 | 0
0 1 0 | 1                                                 || Z.3 mit Z.4 vertauschen
0 0 0 | 23
1 0 0 | 0


0 0 1 | 0                                                || Z.1 mit Z.3 vertauschen
0 1 0 | 1
1 0 0 | 0
0 0 0 | 23


1 0 0 | 0
0 1 0 | 1
0 0 1 | 0
0 0 0 |23





so die L(A,b) = leere Menge

ist das bis hier hin korrekt?


aber wie bestimme ich nun den Nullraum? wäre echt voll lieb, wenn mir das einer erklären könntne!


Liebe Grüße!!!









        
Bezug
Gaußscher Algorithmus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:39 So 09.11.2008
Autor: MathePower

Hallo blueberrystick,

> Bestimmen Sie für die unten angegebenen linearen
> Gleichungssysteme A*x=b den Nullraum N(A) (durch Angabe
> einer Basis) und die Lösungsmenge L(A,b) mit Hilfe des
> Gaußschen Algorithmus
>
> [mm]x_{1}[/mm] + [mm]2*x_{2}[/mm] - [mm]3*x_{3}[/mm] = 2
>  [mm]x_{1}[/mm] + 4* [mm]x_{2}[/mm] + [mm]x_{3}[/mm]   = 4
>  [mm]x_{1}[/mm] + [mm]\bruch{1}{5}*x_{2}[/mm] - [mm]2*x_{3}[/mm] =  [mm]\bruch{5}{2}[/mm]
>  [mm]x_{1}[/mm] + [mm]3*x_{2}[/mm] - [mm]x_{3}[/mm]   = 3
>  Lösungsansatz:
>  
>
> 1 2 3 | 2
>  1 4 1 | 4
>  1 [mm]\bruch{1}{5}[/mm] 2 | [mm]\bruch{5}{2}[/mm]     || Z.2 minus Z.4
>  1 3 1 | 3
>  


Da sind beim Abschreiben ein paar Fehler unterlaufen:

[mm]+1 \ +2 \ \red{-}3 \left\right| \ +2[/mm]
[mm]+1 \ +4 \ +1 \left\right| \ +4[/mm]
[mm] +1 \ +\bruch{1}{5} \ \red{-}2 \left\right| \ +\bruch{5}{2}[/mm]
[mm] +1 \ +3 \ \red{-}1 \left\right| \ +3[/mm]


>
> 1 2 3 | 2
>  0 1 0 | 1
>  1 [mm]\bruch{1}{5}[/mm] 2| [mm]\bruch{5}{2}[/mm]
>  1 3 1 | 3                                              ||
> Z.4 minus 3* Z.2
>  
>
> 1 2 3 | 2                                               ||
> Z.1 minus 2* Z.2
>  0 1 0 | 1                                              
> 1 [mm]\bruch{1}{5}[/mm] 2 | [mm]\bruch{5}{2}[/mm]
>  1 0 1 | 0
>  
>
> 1 0 3 | 0
>  0 1 0 | 1
>  1 [mm]\bruch{1}{5}[/mm] 2 | [mm]\bruch{5}{2}[/mm]      || Z.3 minus Z.1
>  1 0 1 | 0
>  
>
> 1 0 3 | 0                                              ||
> Z.1 minus Z.4
>  0 1 0 | 1
>  0 [mm]\bruch{1}{5}[/mm] 1 | [mm]\bruch{5}{2}[/mm]
>  1 0 1 | 0
>  
>
> 0 0 2 | 0
>  0 1 0 | 1
>  0 [mm]\bruch{1}{5}[/mm] 1 | [mm]\bruch{5}{2}[/mm]        || *10   || Z.3
> minus 5*Z.1
> 1 0 1 | 0
>  
>
> 0 0 2 | 0
>  0 1 0 | 1              
> 0 2 0 | 25                                              ||
> Z.3 minus 2*Z.2
>  1 0 1 | 0
>  
>
> 0 0 2 | 0                                                
> || * 0.5
>  0 1 0 | 1
>  0 0 0 | 23
>  1 0 1 | 0                                                
> || Z.4 minus Z. 1
>  
>
> 0 0 1 | 0
>  0 1 0 | 1                                                
> || Z.3 mit Z.4 vertauschen
>  0 0 0 | 23
>  1 0 0 | 0
>  
>
> 0 0 1 | 0                                                ||
> Z.1 mit Z.3 vertauschen
>  0 1 0 | 1
>  1 0 0 | 0
>  0 0 0 | 23
>  
>
> 1 0 0 | 0
>  0 1 0 | 1
>  0 0 1 | 0
>  0 0 0 |23
>  
>
>
>
>
> so die L(A,b) = leere Menge
>  
> ist das bis hier hin korrekt?
>  


Siehe oben.

Das mußt nochmal nachrechnen.



>
> aber wie bestimme ich nun den Nullraum? wäre echt voll
> lieb, wenn mir das einer erklären könntne!
>  
>
> Liebe Grüße!!!


Gruß
MathePower

Bezug
        
Bezug
Gaußscher Algorithmus: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:24 So 09.11.2008
Autor: blueberrystick

1 2 -3 | 2
1 4 1 | 4     ||Z.2 minus Z.4
1 [mm] \bruch{1}{5} [/mm] -2 | [mm] \bruch{5}{2} [/mm]    
1 3 -1 | 3


1 2 -3 | 2     | Z.1 plus Z.2
0 1  2 | 1
1 [mm] \bruch{1}{5} [/mm] -2 | [mm] \bruch{5}{2} [/mm]
1 3 -1 | 3


1 3 -1 | 3
0 1  2 | 1
1 [mm] \bruch{1}{5} [/mm] -2 | [mm] \bruch{5}{2} [/mm]
1 3 -1 | 3     | Z.4 minus Z.1


1 3 -1 | 3
0 1  2 | 1
1 [mm] \bruch{1}{5} [/mm] -2 | [mm] \bruch{5}{2} [/mm]
0 0  0 | 0


bis hier hin komme ich weiter und dann fehlt mir irgendwie die idee, um den Term zu lösen.


Ich hoffe Du oder kmd anders kann mir dabei helfen!


Bezug
                
Bezug
Gaußscher Algorithmus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:43 So 09.11.2008
Autor: MathePower

Hallo blueberrystick,

> 1 2 -3 | 2
>  1 4 1 | 4     ||Z.2 minus Z.4
>  1 [mm]\bruch{1}{5}[/mm] -2 | [mm]\bruch{5}{2}[/mm]    
> 1 3 -1 | 3
>
>
> 1 2 -3 | 2     | Z.1 plus Z.2
>  0 1  2 | 1
>  1 [mm]\bruch{1}{5}[/mm] -2 | [mm]\bruch{5}{2}[/mm]
> 1 3 -1 | 3
>  
>
> 1 3 -1 | 3
>  0 1  2 | 1
>  1 [mm]\bruch{1}{5}[/mm] -2 | [mm]\bruch{5}{2}[/mm]
>  1 3 -1 | 3     | Z.4 minus Z.1
>  
>
> 1 3 -1 | 3
>  0 1  2 | 1
>  1 [mm]\bruch{1}{5}[/mm] -2 | [mm]\bruch{5}{2}[/mm]
>  0 0  0 | 0
>  
>
> bis hier hin komme ich weiter und dann fehlt mir irgendwie
> die idee, um den Term zu lösen.


Zunächst mußt Du die 1 in der 3.Zeile eliminieren.

Dann hast Du in der 1. Spalte eine 1 und sonst lauter Nullen stehen.

Mit den verbliebenen Gleichungen verfährst Du ähnlich.


>  
>
> Ich hoffe Du oder kmd anders kann mir dabei helfen!
>  


Gruß
MathePower

Bezug
                        
Bezug
Gaußscher Algorithmus: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:01 So 09.11.2008
Autor: blueberrystick

ich komme irgendwie nicht wirklich weiter! Könntest du mir den Lösungsschritt bitte aufschreiben, das wäre echt nett von Dir!


Liebe Grüße!

Bezug
                                
Bezug
Gaußscher Algorithmus: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:27 So 09.11.2008
Autor: blueberrystick

ich habe noch einen Versuch gestartet, der hoffentlich erfolgreich ist!


1 3 -1 | 3
0 1  2 | 1
1 [mm] \bruch{1}{5} [/mm] -2 | [mm] \bruch{5}{2} [/mm]     | Z.3 minus Z.1
0 0  0 | 0

1 3 -1 |3
0 1  2 |1      | Z.2 plus 2* Z.3
0 [mm] 2\bruch{4}{5} [/mm] -1 | - [mm] \bruch{1}{2} [/mm]
0 0  0 | 0

1 3 -1 | 3
0 [mm] 6\bruch{3}{5} [/mm] 0 | 0     | / [mm] 6\bruch{3}{5} [/mm]
0 [mm] 2\bruch{4}{5} [/mm] -1 | - [mm] \bruch{1}{2} [/mm]    | Z.3 minus [mm] 2\bruch{4}{5} [/mm] * Z.2
0 0 0 | 0

1 3 -1 | 3
0 1  0 | 0
0 0 -1 | - [mm] \bruch{1}{2} [/mm]     | *-1
0 0 0 | 0


1 3 -1 | 3     |Z.1 minus 3*Z.2     | Z.1 plus Z.3
0 1  0 | 0
0 0  1 | [mm] \bruch{1}{2} [/mm]
0 0  0 | 0

1 0 0 | [mm] 3\bruch{1}{2} [/mm]
0 1  0 | 0
0 0  1 | [mm] \bruch{1}{2} [/mm]
0 0  0 | 0

soweit richtig?

Bezug
                                        
Bezug
Gaußscher Algorithmus: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:46 So 09.11.2008
Autor: MathePower

Hallo blueberrystick,

> ich habe noch einen Versuch gestartet, der hoffentlich
> erfolgreich ist!
>  
>
> 1 3 -1 | 3
>  0 1  2 | 1
>  1 [mm]\bruch{1}{5}[/mm] -2 | [mm]\bruch{5}{2}[/mm]     | Z.3 minus Z.1
>  0 0  0 | 0
>  
> 1 3 -1 |3
>  0 1  2 |1      | Z.2 plus 2* Z.3
>  0 [mm]2\bruch{4}{5}[/mm] -1 | - [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>  0 0  0 | 0
>  
> 1 3 -1 | 3
>  0 [mm]6\bruch{3}{5}[/mm] 0 | 0     | / [mm]6\bruch{3}{5}[/mm]
>  0 [mm]2\bruch{4}{5}[/mm] -1 | - [mm]\bruch{1}{2}[/mm]    | Z.3 minus
> [mm]2\bruch{4}{5}[/mm] * Z.2
>  0 0 0 | 0
>  
> 1 3 -1 | 3
>  0 1  0 | 0
>  0 0 -1 | - [mm]\bruch{1}{2}[/mm]     | *-1
>  0 0 0 | 0
>  
>
> 1 3 -1 | 3     |Z.1 minus 3*Z.2     | Z.1 plus Z.3
>  0 1  0 | 0
>  0 0  1 | [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>  0 0  0 | 0
>  
> 1 0 0 | [mm]3\bruch{1}{2}[/mm]
>  0 1  0 | 0
>  0 0  1 | [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>  0 0  0 | 0
>  
> soweit richtig?


Perfekt. [ok]

Gruß
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Gaußscher Algorithmus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:44 So 09.11.2008
Autor: MathePower

Hallo blueberrystick,

> ich komme irgendwie nicht wirklich weiter! Könntest du mir
> den Lösungsschritt bitte aufschreiben, das wäre echt nett
> von Dir!


Wir haben bis jetzt folgendes System:

[mm]\left\begin{matrix}1 & 3 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & \bruch{1}{5} & -2 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right| \begin{matrix}3 \\ 1 \\ \bruch{5}{2} \\ 0\end{matrix}[/mm]

Nun addieren wir zur 3. Zeile das (-1)-fache der 1. Zeile und erhalten:

[mm]\left\begin{matrix}1 & 3 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & -\bruch{14}{5} & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right| \begin{matrix}3 \\ 1 \\ -\bruch{1}{2} \\ 0\end{matrix}[/mm]

Jetzt kannst Du sicher auch dafür sorgen, daß die [mm]-\bruch{14}{5}[/mm] verschwindet.


>  
>
> Liebe Grüße!


Gruß
MathePower

Bezug
                                        
Bezug
Gaußscher Algorithmus: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:51 So 09.11.2008
Autor: blueberrystick

Ich wollte Dir nur noch einmal für deine Gedult und Hilfe danken!!!



Liebe Grüße!

Bezug
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