Gaußscher Integralsatz < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:31 Mo 23.06.2008 | | Autor: | Agora |
| Aufgabe | Berechnen Sie [mm] \integral_{S}^{}{F(x)dS} [/mm] für
[mm] [/F]=3xy^{2}i+3x^{2}yj+z^{3}k [/mm] . S ist die Oberfläche der Einheitskugel.
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Hallo zusammen ,
ich muss diese Aufabe lösen .
Meine lösung lautet :
S ist der Rand eines Bereiches [mm] \Omega [/mm] ,der definiert ist durch
[mm] x^{2}+y^{2}+z^{2}\le [/mm] 1 .
Nach dem Gaußschen Sat gilt :
[mm] \integral_{S}^{}{F(x) dS} =\integral_{\Omega}^{}{(divf(x)) dV} [/mm] und
außerdem
[mm] \integral_{\Omega}^{}{(divf(x) )dV}=3\integral_{\Omega}^{}{( x^{2}+y^{2}+z^{2}) dV}
[/mm]
Dann weiß ich nicht mehr , wie weiter gehen soll . Kann mir jemand helfen .
Lg , Kelby
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:50 Mo 23.06.2008 | | Autor: | Merle23 |
Ich geb' mal n paar Möglichkeiten an.... hab sie nicht durchgerechnet, also keine Ahnung welche die leichteste ist.
Das [mm] \Omega [/mm] ist ja der Einheitsball. Du könntest [mm] x^2+y^2+z^2=c [/mm] setzen für ein [mm]c\in [0,1][/mm]. Dann würdest du ja über die Sphäre mit Radius [mm] \wurzel{c} [/mm] integrieren (und zwar die Konstante c) und dann müsstest du das Ergebnis dieser Integration von 0 bis 1 integrieren, also du spaltest sozusagen das eine Integral in zwei auf.
Einfacher würde es gehen, wenn ihr 'nen Satz zur Integration rotationssymmetrischer Funktionen habt. Ich habe ihn mal irgendwo hier in 'nem Thread mal abgetippt. Link.
Du könntest auch versuchen das ganze in ![[]](/images/popup.gif) Kugelkoordinaten zu integrieren.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:45 Di 24.06.2008 | | Autor: | Agora |
Hallo Merle23 ,
vielen Dank für deine Hilfe . Werde jetzt nochmal versuchen .
Kelby
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