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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:21 Mo 25.05.2009 | | Autor: | Theta |
| Aufgabe | Zeigen Sie:
1. Konvexe Mengen sind Wegezusammenhängend.
2. Wegezusammenhängende Mengen sind zusammenhängend.
3. Die Umkehrung von 2 gilt im Allgemeinen nicht.
4. Gebiete sind genau dann wegezusammenhängend, wenn sie zusammenhängend sind. |
Hallo,
wir haben kürzlich Gebiete eingeführt und haben jetzt obigen Beweis zu führen. Ich habe mir dazu bereits folgendes Überlegt:
Die erste Aussage ist trivial. Für konvexe Mengen gilt, dass es zwischen zwei Punkten x,y der Menge eine Verbindungsgerade gibt, sodass alle Punkte der Gerade (zwischen x und y) in der konvexen Menge liegen. Wegezusammenhängend hingegen bedeutet, dass es zwischen je zwei Punkten x,y der wegezusammenhängenden Menge eine Kurve (stetige Funktion von einem Intervall in einen Vektorraum) gibt, sodass alle Punkte der Kurve (zwischen x und y) in der wegezusammenhängenden Menge liegen.
Gibt es also eine Verbindungsgerade, so ist diese insbesondere eine Kurve und die Menge somit Wegezusammenhängend.
Für die Dritte Aussage bin ich beim Blättern in einigen Büchern auf ein Gegenbeispiel gestoßen. Man betrachtet:
[mm] (\{(0,i) \in \mathbb{R}^2 | -1 \leq i \leq 1\} \cup \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y=sin(\frac{1}{x})\}) [/mm] =:U
Diese Menge ist zusammenhängend, da die Menge der Sinus-Punkte unendlich nah an die Achsenpunkte heran kommen und man dadurch keine offenen Mengen V,W finden kann mit:
[mm] (U\cap V)\cap(U\cap [/mm] W)= [mm] \empty
[/mm]
[mm] (U\cap V)\cup(U\cap [/mm] W)= U
Für die vierte Aussage habe ich mir überlegt, einen Indirekten Beweis zu führen. Ich habe also angenommen das Gebiet sei nicht wegezusammenhängend und hoffe dann zeigen zu können, dass es dann auch nicht zusammenhängend sein kann.
Wenn das Gebiet nicht wegezusammenhängend ist gibt es keine Kurve [mm] \gamma [/mm] zwischen x,y des Gebiets sodass alle Punkte von [mm] \gamma [/mm] im Gebiet liegen. Die bedeutet, dass es mindestens einen Punkt auf [mm] \gamma [/mm] gibt, welcher nicht im Gebiet liegt. Jetzt müsste ich aus diesem Punkt die Mengen V und W wie oben beschrieben konstruieren, bekomme das aber nicht hin. Habt ihr dazu vielleicht einen Tipp? Oder ist mein Ansatz schlecht und mit einem anderen Ansatz geht es viel einfacher?
Zur zweiten Aussage fällt mir auch nichts schlaues ein. Wie schon gesagt bedeutet wegezusammenhängend ja, dass man je zwei Punkte x,y der Menge mit einer Kurve verbinden kann, sodass alle Punkte der Kurve zwischen den Punkten x,y auch in der Menge liegen. Wenn diese Bedingung für alle Punkte x,y gilt, dann ist mir anschaulich klar, dass die Menge zusammenhängend ist, aber wie ich es beweisen kann weiß ich nicht. Kann man hier vielleicht annehmen die Menge wäre nicht zusammenhängend und dann einen Widerspruch zu Wegezusammenhängend herleiten? Wäre auch hier für einen Hinweis dankbar.
Ich hoffe auf baldige Antwort und wünsche einen schönen Tag,
Theta
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum und auf keiner anderen Internetseite gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Sa 30.05.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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