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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:35 Sa 09.07.2011 | | Autor: | yuppi |
| Aufgabe | Gegeben sei die Menge V= ( (x,y,z) Element [mm] R^3 [/mm] | [mm] x^2 +y^2 +z^2 \le [/mm] 9, [mm] x^2+y^2 \le [/mm] 3)
Berechnen Sie das Volumen von V. |
Hallo Zusammen,
ich sitze mindesten schon 2 Stunden an dieser Aufgabe und verstehe nicht wie ich auf die Grenzen kommen kann.
Ich finde die Aufgabe zu komisch.
[mm] x^2+y^2 [/mm] kann man doch durch [mm] r^2 [/mm] ersetzen.
Also meine Versuche:
[mm] r^2 \le [/mm] 9 [mm] -z^2
[/mm]
Aus der anderen Gleichung bekomme ich:
[mm] r^2\le [/mm] 3
Da beide kleiner Gleich sind habe ich sozusagen nicht die untere Grenze !
Jetzt brauche ich noch die Grenze für z:
[mm] z^2\le [/mm] 9 [mm] -r^2
[/mm]
z [mm] \le 3\wurzel{-r^2}
[/mm]
Aber so habe ich auch nur eine Grenze.
Ich hab einfach kein Plan. Wenn mir einer zeigt, wäre ich ihm unheimlich dankbar. Gebietsintegrale sind gar nicht mein Ding.
Gruß yuppi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:32 So 10.07.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast doch das Innere einer Kugel mit dem Radius R=3 auserdem 2 Breitenkreise mit Radius [mm] r=\wurzel{3} [/mm] du sollst den Teil des Kugelvolumens ausrechnen, bei dem die Breiten kreise einen radius [mm] \lw [/mm] r haben. das sind 2 Kugelkappen+ 1 Zylinder. Zeichne mal nen Querschnitt und rechne mit Kugelkoordinaten.
warum hast du in den 2 stunden nicht eine zeichnung genmacht, oder dir nen ball gesucht, um das klar zu kriegen? und dass kugel unüberhörbar nach kugelkoordinaten schreit, müßtest du eigentlich hören.
Und [mm] \wurzel{-r^2} [/mm] zu schreiben ist schon bestürzend.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:05 So 10.07.2011 | | Autor: | yuppi |
Das sind ja die z Grenzen die du erwähnt hast. Also von o bis [mm] \wurzel{3} [/mm] Kann man ja sozusagen aus der Skizze ablesen. Aber wie ermitte ich die x und y Grenzen. Ich kann mir das nicht vorstellen.
Würde mich über eine Antwort sehr freuen, damit ich voran komme...
gruß yuppi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:31 So 10.07.2011 | | Autor: | yuppi |
Ich meine von der x-Achse. Aber wie ermittelt man die restlichen ?
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Hallo yuppi,
zuerst nochmals zur Geometrie des gesuchten Körpers:
| Aufgabe | Gegeben sei die Menge V= ( (x,y,z) Element $ [mm] R^3 [/mm] $ | $ [mm] x^2 +y^2 +z^2 \le [/mm] $ 9, $ [mm] x^2+y^2 \le [/mm] $ 3)
Berechnen Sie das Volumen von V. |
Die erste Ungleichung beschreibt die Vollkugel um den Ursprung mit Radius R=3.
Die zweite Ungleichung beschreibt einen Vollzylinder mit Radius [mm] r=\sqrt{3}.
[/mm]
Es ist wichtig, zwischen diesen beiden Radien zu unterscheiden.
V ist das Schnittgebilde der beiden Körper. Wollte man das
Volumen von V mit den in Frage kommenden stereometrischen
Formeln berechnen, so könnte man V in einen Zylinder und
zwei (identische) Kugelsegmente zerlegen.
Für die Berechnung durch Integration würde ich jedenfalls
von Kugelkoordinaten abraten.
LG Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:43 So 10.07.2011 | | Autor: | yuppi |
> Hallo yuppi,
>
> zuerst nochmals zur Geometrie des gesuchten Körpers:
>
> Gegeben sei die Menge V= ( (x,y,z) Element [mm]R^3[/mm] | [mm]x^2 +y^2 +z^2 \le[/mm]
> 9, [mm]x^2+y^2 \le[/mm] 3)
>
> Berechnen Sie das Volumen von V.
>
>
> Die erste Ungleichung beschreibt die Vollkugel um den
> Ursprung mit Radius R=3.
> Die zweite Ungleichung beschreibt einen Vollzylinder mit
> Radius [mm]r=\sqrt{3}.[/mm]
> Es ist wichtig, zwischen diesen beiden Radien zu
> unterscheiden.
>
> V ist das Schnittgebilde der beiden Körper. Wollte man
> das
> Volumen von V mit den in Frage kommenden stereometrischen
> Formeln berechnen, so könnte man V in einen Zylinder und
> zwei (identische) Kugelsegmente zerlegen.
>
Danke dir für deine Antwort. Das hört sich sehr logisch an.
Ich würde somit, die Gleichung die die Vollkugel beschreibt, nach der Variable z umformen.
Das ergebe ja: [mm] z^2\le 9-(x^2+y^2) [/mm] Wenn ich allerdings die Wurzel ziehe, ist die untere Grenze dann das negative oder 0 ? Das ist mir nie so wirklich klar.
Aus welcher Gleichung würde ich nun die Grenze vom y ermitteln ?
Von der Gleichung des Vollzylinders, da es mathematisch leichter ist. Es müsste allerdings einen geometrischen Grund haben.
Vielleicht vom Vollzylinder, da wir sozusagen das Schnittgebilde integrieren. Und das wird ja in der y-Achse durch [mm] \wurzel{3} [/mm] begrenzt.
Also die Grenze wären dann:
[mm] y^2=3-x^2
[/mm]
[mm] y=\wurzel{3-x^2} [/mm] Die untere Grenze wäre dann das negative.
Habe ich sozusagen durch die Grenzen V in einen Zylinder und
zwei (identische) Kugelsegmente zerlegt ?
Es wäre nett wenn du auf meine Verständnisprobleme eingehen könntest. Ich danke dir im Voraus.
Gruß yuppi
Dann habe ich
> Für die Berechnung durch Integration würde ich
> jedenfalls
> von Kugelkoordinaten abraten.
>
> LG Al-Chwarizmi
>
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> > Hallo yuppi,
> >
> > zuerst nochmals zur Geometrie des gesuchten Körpers:
> >
> > Gegeben sei die Menge V= ( (x,y,z) Element [mm]R^3[/mm] | [mm]x^2 +y^2 +z^2 \le[/mm]
> > 9, [mm]x^2+y^2 \le[/mm] 3)
> >
> > Berechnen Sie das Volumen von V.
> >
> >
> > Die erste Ungleichung beschreibt die Vollkugel um den
> > Ursprung mit Radius R=3.
> > Die zweite Ungleichung beschreibt einen Vollzylinder
> mit
> > Radius [mm]r=\sqrt{3}.[/mm]
> > Es ist wichtig, zwischen diesen beiden Radien zu
> > unterscheiden.
> >
> > V ist das Schnittgebilde der beiden Körper. Wollte man
> > das
> > Volumen von V mit den in Frage kommenden
> stereometrischen
> > Formeln berechnen, so könnte man V in einen Zylinder
> und
> > zwei (identische) Kugelsegmente zerlegen.
> >
>
> Danke dir für deine Antwort. Das hört sich sehr logisch
> an.
>
> Ich würde somit, die Gleichung die die Vollkugel
> beschreibt, nach der Variable z umformen.
>
> Das ergebe ja: [mm]z^2\le 9-(x^2+y^2)[/mm] Wenn ich allerdings
> die Wurzel ziehe, ist die untere Grenze dann das negative
> oder 0 ? Das ist mir nie so wirklich klar.
Schau dir wieder den Körper an, der ja so ungefähr wie
ein Warmwasserspeicher aussieht. Er ist bezüglich der
x-y-Ebene symmetrisch. Deshalb würde ich zuerst das
halbe Volumen berechnen, durch Integration von z=0
bis zu [mm] \sqrt{9-x^2-y^2}, [/mm] und dann das Ergebnis verdoppeln.
Wenn du gerne ausgiebig mit Vorzeichen jonglierst,
kannst du natürlich von [mm] -\sqrt{9-x^2-y^2} [/mm] bis [mm] \sqrt{9-x^2-y^2} [/mm]
integrieren ...
> Aus welcher Gleichung würde ich nun die Grenze vom y
> ermitteln ?
Nachdem die innerste Integration (über z) klar ist, können
wir die dritte Dimension (z) mal beiseite lassen und uns
den Grundriss von V in der x-y-Ebene anschauen. Das ist
die Kreisscheibe mit dem Radius [mm] r=\sqrt{3}.
[/mm]
Um diese "durchzuscannen", müssen wir die äußerste
Integrationsvariable x von [mm] -\sqrt{3} [/mm] bis [mm] +\sqrt{3} [/mm] laufen lassen,
und für jeden solchen x-Wert muss y die Sehne des Kreises
durchlaufen, die diesen an der Stelle x von unten nach
oben durchquert.
Auch dabei kann man sich natürlich wieder die Symmetrie
zunutze machen.
> Von der Gleichung des Vollzylinders, da es mathematisch
> leichter ist. Es müsste allerdings einen geometrischen
> Grund haben.
>
> Vielleicht vom Vollzylinder, da wir sozusagen das
> Schnittgebilde integrieren. Und das wird ja in der y-Achse
> durch [mm]\wurzel{3}[/mm] begrenzt.
>
> Also die Grenze wären dann:
> [mm]y^2=3-x^2[/mm]
>
> [mm]y=\wurzel{3-x^2}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Die untere Grenze wäre dann das negative.
> Habe ich sozusagen durch die Grenzen V in einen Zylinder
> und
> zwei (identische) Kugelsegmente zerlegt ?
Um eine solche Zerlegung muss man sich gar nicht
kümmern. Die Grenzen für z sorgen automatisch dafür,
dass wir die gewölbten Flächen oben und unten
korrekt mit ins Spiel gebracht haben.
> Es wäre nett wenn du auf meine Verständnisprobleme
> eingehen könntest. Ich danke dir im Voraus.
LG
Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:25 So 10.07.2011 | | Autor: | yuppi |
Hallo Al-Chwarizmi,
ich danke dir für deine Antwort. Habe nun vieles mehr verstanden, dementsprechend sind erneut viele neue Fragen aufgetaucht.
> > > Hallo yuppi,
> > >
> > > zuerst nochmals zur Geometrie des gesuchten Körpers:
> > >
> > > Gegeben sei die Menge V= ( (x,y,z) Element [mm]R^3[/mm] | [mm]x^2 +y^2 +z^2 \le[/mm]
> > > 9, [mm]x^2+y^2 \le[/mm] 3)
> > >
> > > Berechnen Sie das Volumen von V.
> > >
> > >
> > > Die erste Ungleichung beschreibt die Vollkugel um den
> > > Ursprung mit Radius R=3.
> > > Die zweite Ungleichung beschreibt einen Vollzylinder
> > mit
> > > Radius [mm]r=\sqrt{3}.[/mm]
> > > Es ist wichtig, zwischen diesen beiden Radien zu
> > > unterscheiden.
> > >
> > > V ist das Schnittgebilde der beiden Körper. Wollte man
> > > das
> > > Volumen von V mit den in Frage kommenden
> > stereometrischen
> > > Formeln berechnen, so könnte man V in einen
> Zylinder
> > und
> > > zwei (identische) Kugelsegmente zerlegen.
> > >
> >
> > Danke dir für deine Antwort. Das hört sich sehr logisch
> > an.
> >
> > Ich würde somit, die Gleichung die die Vollkugel
> > beschreibt, nach der Variable z umformen.
> >
> > Das ergebe ja: [mm]z^2\le 9-(x^2+y^2)[/mm] Wenn ich allerdings
> > die Wurzel ziehe, ist die untere Grenze dann das negative
> > oder 0 ? Das ist mir nie so wirklich klar.
>
> Schau dir wieder den Körper an, der ja so ungefähr wie
> ein Warmwasserspeicher aussieht. Er ist bezüglich der
> x-y-Ebene symmetrisch.
Woran machst du es fest, das der Körper bezüglich der x-y Ebene symmetrisch ist. Ich hätte gedacht er ist entlang der z Achse symmetrisch.
Aber ich glaub, das ist schwer zu erklären...
Deshalb würde ich zuerst das
> halbe Volumen berechnen, durch Integration von z=0
> bis zu [mm]\sqrt{9-x^2-y^2},[/mm] und dann das Ergebnis
> verdoppeln.
> Wenn du gerne ausgiebig mit Vorzeichen jonglierst,
> kannst du natürlich von [mm]-\sqrt{9-x^2-y^2}[/mm] bis
> [mm]\sqrt{9-x^2-y^2}[/mm]
> integrieren ...
>
> > Aus welcher Gleichung würde ich nun die Grenze vom y
> > ermitteln ?
>
> Nachdem die innerste Integration (über z) klar ist,
> können
> wir die dritte Dimension (z) mal beiseite lassen und uns
> den Grundriss von V in der x-y-Ebene anschauen. Das ist
> die Kreisscheibe mit dem Radius [mm]r=\sqrt{3}.[/mm]
> Um diese "durchzuscannen", müssen wir die äußerste
> Integrationsvariable x von [mm]-\sqrt{3}[/mm] bis [mm]+\sqrt{3}[/mm] laufen
> lassen,
> und für jeden solchen x-Wert muss y die Sehne des
> Kreises
> durchlaufen, die diesen an der Stelle x von unten nach
> oben durchquert.
> Auch dabei kann man sich natürlich wieder die Symmetrie
> zunutze machen.
Muss ich hier auch mit den Faktor 2 multiplizieren. ? Mir wäre allerdings nicht wirklich klar wieso nur mal 2.
>
> > Von der Gleichung des Vollzylinders, da es mathematisch
> > leichter ist. Es müsste allerdings einen geometrischen
> > Grund haben.
> >
> > Vielleicht vom Vollzylinder, da wir sozusagen das
> > Schnittgebilde integrieren. Und das wird ja in der y-Achse
> > durch [mm]\wurzel{3}[/mm] begrenzt.
Da ist ein Daumen hoch von dir, also stimmt meine Begründung ?
Hätte ich die Gleichung der Kugel nach y umgeformt.
Also: [mm] y^2 \le [/mm] 9 [mm] -x^2+z^2 [/mm]
Was hätte ich dann sozusagen gemacht ? Hätte ich dann sozusagen die äußere Fläche, also vom Zylinder weg und bis zum Ende der Kugel integriert ? So stell ich mir das vor. Also in y Betrachtung alles andere außer das Schnittgebilde in y Richtung.
> >
> > Also die Grenze wären dann:
> > [mm]y^2=3-x^2[/mm]
> >
> > [mm]y=\wurzel{3-x^2}[/mm]
> > Die untere Grenze wäre dann das negative.
>
>
> > Habe ich sozusagen durch die Grenzen V in einen Zylinder
> > und
> > zwei (identische) Kugelsegmente zerlegt ?
>
> Um eine solche Zerlegung muss man sich gar nicht
> kümmern. Die Grenzen für z sorgen automatisch dafür,
> dass wir die gewölbten Flächen oben und unten
> korrekt mit ins Spiel gebracht haben.
>
> > Es wäre nett wenn du auf meine Verständnisprobleme
> > eingehen könntest. Ich danke dir im Voraus.
>
Letzte Frage:
Wenn ich bei allen die Symetrie ausnutze, also jeweils 2*, dann kann ich sozusagen vor den drei Integralen die Zahl 8 hinschreiben. (2*2*2)
Ich habe, wie ich eben bemerkt habe, Probleme mit dem Sehen der Symmetrie. Kann man irgendwie in der Klausur sicher gehen, dass es wirklich symmetrisch ist, durch einsetzten von Werte in die Grenze oder so ? Ich sah das nicht wirklich immer..
Lg yuppi
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> Hallo Al-Chwarizmi,
>
> ich danke dir für deine Antwort. Habe nun vieles mehr
> verstanden, dementsprechend sind erneut viele neue Fragen
> aufgetaucht.
>
>
> > > > Hallo yuppi,
> > > >
> > > > zuerst nochmals zur Geometrie des gesuchten Körpers:
> > > >
> > > > Gegeben sei die Menge V= ( (x,y,z) Element [mm]R^3[/mm] | [mm]x^2 +y^2 +z^2 \le[/mm]
> > > > 9, [mm]x^2+y^2 \le[/mm] 3)
> > > >
> > > > Berechnen Sie das Volumen von V.
> > > >
> > > >
> > > > Die erste Ungleichung beschreibt die Vollkugel um den
> > > > Ursprung mit Radius R=3.
> > > > Die zweite Ungleichung beschreibt einen
> Vollzylinder
> > > mit
> > > > Radius [mm]r=\sqrt{3}.[/mm]
> > > > Es ist wichtig, zwischen diesen beiden Radien zu
> > > > unterscheiden.
> > > >
> > > > V ist das Schnittgebilde der beiden Körper. Wollte man
> > > > das
> > > > Volumen von V mit den in Frage kommenden
> > > stereometrischen
> > > > Formeln berechnen, so könnte man V in einen
> > Zylinder
> > > und
> > > > zwei (identische) Kugelsegmente zerlegen.
> > > >
> > >
> > > Danke dir für deine Antwort. Das hört sich sehr logisch
> > > an.
> > >
> > > Ich würde somit, die Gleichung die die Vollkugel
> > > beschreibt, nach der Variable z umformen.
> > >
> > > Das ergebe ja: [mm]z^2\le 9-(x^2+y^2)[/mm] Wenn ich allerdings
> > > die Wurzel ziehe, ist die untere Grenze dann das negative
> > > oder 0 ? Das ist mir nie so wirklich klar.
> >
> > Schau dir wieder den Körper an, der ja so ungefähr wie
> > ein Warmwasserspeicher aussieht. Er ist bezüglich der
> > x-y-Ebene symmetrisch.
>
> Woran machst du es fest, das der Körper bezüglich der x-y
> Ebene symmetrisch ist. Ich hätte gedacht er ist entlang
> der z Achse symmetrisch.
> Aber ich glaub, das ist schwer zu erklären...
Der Körper hat [mm] \infty [/mm] verschiedene Symmetrieebenen: die x-y-Ebene
und jede Ebene, die die z-Achse enthält.
Bezüglich der z-Achse ist V rotationssymmetrisch. Man könnte
auch diese Rotationssymmetrie für die Volumenberechnung nutzen.
Damit käme man auf eine andere Integration - man könnte dabei
mit einem Einfach-Integral auskommen.
> Deshalb würde ich zuerst das
> > halbe Volumen berechnen, durch Integration von z=0
> > bis zu [mm]\sqrt{9-x^2-y^2},[/mm] und dann das Ergebnis
> > verdoppeln.
> > Wenn du gerne ausgiebig mit Vorzeichen jonglierst,
> > kannst du natürlich von [mm]-\sqrt{9-x^2-y^2}[/mm] bis
> > [mm]\sqrt{9-x^2-y^2}[/mm]
> > integrieren ...
> >
> > > Aus welcher Gleichung würde ich nun die Grenze vom y
> > > ermitteln ?
> >
> > Nachdem die innerste Integration (über z) klar ist,
> > können
> > wir die dritte Dimension (z) mal beiseite lassen und
> uns
> > den Grundriss von V in der x-y-Ebene anschauen. Das ist
> > die Kreisscheibe mit dem Radius [mm]r=\sqrt{3}.[/mm]
> > Um diese "durchzuscannen", müssen wir die äußerste
> > Integrationsvariable x von [mm]-\sqrt{3}[/mm] bis [mm]+\sqrt{3}[/mm]
> laufen
> > lassen,
> > und für jeden solchen x-Wert muss y die Sehne des
> > Kreises
> > durchlaufen, die diesen an der Stelle x von unten nach
> > oben durchquert.
> > Auch dabei kann man sich natürlich wieder die
> Symmetrie
> > zunutze machen.
>
> Muss ich hier auch mit den Faktor 2 multiplizieren. ? Mir
> wäre allerdings nicht wirklich klar wieso nur mal 2.
> Da ist ein Daumen hoch von dir, also stimmt meine
> Begründung ?
Ja.
> Hätte ich die Gleichung der Kugel nach y umgeformt.
> Also: [mm]y^2 \le[/mm] 9 [mm]-x^2+z^2[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
(Klammer- bzw. Vorzeichenfehler)
> Was hätte ich dann sozusagen gemacht ? Hätte ich dann
> sozusagen die äußere Fläche, also vom Zylinder weg und
> bis zum Ende der Kugel integriert ? So stell ich mir das
> vor. Also in y Betrachtung alles andere außer das
> Schnittgebilde in y Richtung.
(da komme ich nicht recht mit ...)
> > > Also die Grenze wären dann:
> > > [mm]y^2=3-x^2[/mm]
> > >
> > > [mm]y=\wurzel{3-x^2}[/mm]
> > > Die untere Grenze wäre dann das negative.
> >
> >
> > > Habe ich sozusagen durch die Grenzen V in einen Zylinder
> > > und
> > > zwei (identische) Kugelsegmente zerlegt ?
> >
> > Um eine solche Zerlegung muss man sich gar nicht
> > kümmern. Die Grenzen für z sorgen automatisch
> dafür,
> > dass wir die gewölbten Flächen oben und unten
> > korrekt mit ins Spiel gebracht haben.
> Letzte Frage:
>
> Wenn ich bei allen die Symmetrie ausnutze, also jeweils 2*,
> dann kann ich sozusagen vor den drei Integralen die Zahl 8
> hinschreiben. (2*2*2)
Ja. Du kannst dir ja anschaulich klar machen, dass man V
in 8 zueinander kongruente Stücke teilen kann. Eines davon
liegt im Oktanten mit x≥0 , y≥0 , z≥0 .
> Ich habe, wie ich eben bemerkt habe, Probleme mit dem Sehen
> der Symmetrie. Kann man irgendwie in der Klausur sicher
> gehen, dass es wirklich symmetrisch ist, durch einsetzten
> von Werte in die Grenze oder so ? Ich sah das nicht
> wirklich immer..
Das ist bestimmt auch Übungssache. Ich denke aber, dass
die häufig auftretenden Gleichungen wie für Kreise und
Kugeln um den Ursprung, gerade und ungerade Polynom-
funktionen zum Grundrepertoire gehören sollten, bei
denen man auch die Symmetrie bedenken sollte.
Oft wird die Symmetrie erst nach einer geeigneten
Verschiebung deutlich. Wie weit man die Symmetrie dann
für eine vereinfachte Aufgabenlösung verwenden kann,
liegt aber an allen geometrischen Elementen, die dabei
eine Rolle spielen.
> Lg yuppi
Gruß Al-Chw.
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