Gebietsintegral über xy < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:35 Fr 17.11.2006 | | Autor: | Drno |
| Aufgabe | Gegen sei ein Gebiet
G:= {(x,y)|0<y<x<2-y}
Man berechne das Integral:
[mm] \integral_{}^{}{\integral_{G}^{}{xy dx dy}} [/mm] |
Ich habe Probleme, bzw. weiß nicht, wie ich die Fläche ausrechnen soll.
Wäre das Integral [mm] \integral_{}^{}{\integral_{G}{x dx dy}} [/mm] würde es so aussehen:
[mm] \integral_{0}^{1}{\integral_{y}^{2-y}{x dx dy}}
[/mm]
Leider weiß ich nicht, wie ich das über den Integranden xy mache muss.
Der Fächeninhalt ist =1. Die eingeschlossene Fläche ist ein gleichschenkliges Dreieck mit der längsten Seite auf der x-Achse (0<x<2) und der Höhe 1.
Wie muss ich die Grenzen also für den Integranden xy wählen?
Danke schonmal für alle Antworten!
MFG Moritz
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Bei deinem Ansatz läuft die Integration im inneren Integral über [mm]x[/mm]. Relativ dazu ist [mm]y[/mm] konstant und kann vor das Integral gezogen werden:
[mm]\iint_G~xy~\mathrm{d}x \, \mathrm{d}y = \int_0^1~\left( \int_y^{2-y}~xy~\mathrm{d}x \right)~\mathrm{d}y = \int_0^1~y \cdot \left( \int_y^{2-y}~x~\mathrm{d}x \right)~\mathrm{d}y[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:16 Fr 17.11.2006 | | Autor: | Drno |
Danke für die Antwort.
Bei der Integration kommt nur leider nich das selbe (also 1) raus.
Ist das nich wichtig/zwingend?!
Gruß Moritz
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Da kommt in der Tat nicht 1 heraus. Aber warum sollte da auch 1 herauskommen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:30 Fr 17.11.2006 | | Autor: | Drno |
Der Flächeninhalt des Gebietes ist doch =1.
Oder spielt das hier keine Rolle?
Muss nicht bei einem Gebietsintegral die Fläche des Gebietes rauskommen oder gilt das nur für den Integranden x oder y, nicht aber für xy?
Gruß Moritz
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:59 Fr 17.11.2006 | | Autor: | Walde |
Hi drno,
> Der Flächeninhalt des Gebietes ist doch =1.
> Oder spielt das hier keine Rolle?
> Muss nicht bei einem Gebietsintegral die Fläche des
> Gebietes rauskommen
Das gilt nur, wenn du über eine Funktion integrierst, die konstant=1 ist.
L G walde
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:21 Fr 17.11.2006 | | Autor: | Drno |
OK, danke, dass war mir nicht klar.
Also einfach so wie Leopold_Gast hier:https://matheraum.de/read?i=199055 geschrieben hat integrieren, ja?
Danke für eure Hilfe.
Moritz
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 So 19.11.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:47 Fr 17.11.2006 | | Autor: | Ltd83 |
also das [mm]/int_G xdxdy\ [/mm] ist doch in jedem falle erstmal [mm]1/2*x^2*y[/mm] über dem Gebiet, oder irre ich mich jetzt? das ist natürlich der Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Schenkeln [mm]x,y[/mm]. und wenn das jetzt auch noch 1 sein soll, wo ist dein Problem?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:57 Fr 17.11.2006 | | Autor: | Drno |
Das stimmt, in der Aufgabe steht allerdings, dass ich das Integral mit dem Integrand xy lösen soll.
Leider ist mir da nicht klar, wie man das machen soll.
Gruß Moritz
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Dir ist, wie ich inzwischen glaube, nicht klar, was das Integral mit [mm]xy[/mm] als Integrand berechnet. Man kann den Integralwert folgendermaßen deuten:
[mm]z = f(x,y) = xy[/mm]
beschreibt eine gekrümmte Fläche im dreidimensionalen Raum. Zu jedem vorgegebenen [mm](x,y)[/mm] in der [mm]xy[/mm]-Ebene berechnest du das zugehörige [mm]z[/mm], z.B. ist [mm]z=6[/mm] für [mm]x=2, y=3[/mm]. So bekommst du einen Punkt [mm](x,y,z)[/mm] (hier [mm](2,3,6)[/mm]). Und da über jedem [mm](x,y)=(x,y,0)[/mm] solch ein Punkt [mm](x,y,z)[/mm] liegt, erhältst du eben eine Fläche im dreidimensionalen Raum. (Vielleicht kannst du dich an die Analytische Geometrie in der Schule erinnern. Da beschreibt z.B. [mm]z = f(x,y) = 2x + 3y - 4[/mm] oder äquivalent [mm]2x + 3y - z = 4[/mm] eine Ebene.)
Das Gebiet [mm]G[/mm] ist nun ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck in der [mm]xy[/mm]-Ebene. Und das Integral
[mm]V = \iint_G~xy~\mathrm{d}x \, \mathrm{d}y[/mm]
berechnet das Volumen des Körpers, der zwischen dem Dreieck und der Fläche [mm]z=f(x,y)[/mm] liegt. Man geht sozusagen von jedem Punkt des Dreiecks in [mm]z[/mm]-Richtung senkrecht hoch, bis man auf der gekrümmten Fläche auftrifft. Alle Punkte, die so erreicht werden, bilden diesen Körper. (Übrigens ergibt sich ein negatives Volumen, wenn die Fläche unterhalb der [mm]xy[/mm]-Ebene liegt.)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Sa 18.11.2006 | | Autor: | Drno |
Danke für die Erklärung, nein, mir war tatsächlich nicht klar, was genau das Integral beschreibt.
Gruß Moritz
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Diese Einlassung verstehe ich nicht. Wie kann der Integralwert die Integrationsvariablen enthalten?
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