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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:36 Fr 06.05.2005 | | Autor: | ilse |
Hallo,
ich habe wieder mal eine aufgabe bei der ich gar nicht weiss was ich anfangen soll:
Sei v [mm] \in C^{1}( \IR^{3}) [/mm] und f [mm] \in C^{1}( \IR^{3}) [/mm] beliebig, derartig div v und v verschwindet auf dem Rand eines geschlossenen Gebietes B. Zeigen Sie:
[mm] \integral_{B}^{} [/mm] (div f)vdV=0
[mm] \integral_{B}^{} {v_{i}dV}=0
[/mm]
Das erste Problem was ich hab, ich frage mich ob f nun ein Vektor ist oder ein skalar, denn auf unserem Angabenblatt sind Vektoren immer fett gedruckt und f ist nicht fett gedruckt, was soll dann allerdings f [mm] \in C^{1}( \IR^{3})?
[/mm]
Auserdem versteh ich die Angabe nicht wirklich, was soll zum Beispiel "div v und v verschwindet auf dem Rand eines geschlossenen Gebietes B." das hier bedeuten?
Wäre nett wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
Liebe Grüße
Ilse
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Hallo,
> Das erste Problem was ich hab, ich frage mich ob f nun ein
> Vektor ist oder ein skalar, denn auf unserem Angabenblatt
> sind Vektoren immer fett gedruckt und f ist nicht fett
> gedruckt, was soll dann allerdings f [mm]\in C^{1}( \IR^{3})?[/mm]
die Divergenz macht aus einem Vektorfeld ein Skalar.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:43 Sa 07.05.2005 | | Autor: | ilse |
ja schon, das problem ist nur, dass da nicht wirklich div steht sondern so ein umgedrehtes dreieck (das ich leider nicht im Formeleditor finden konnte), was ja auch "grad" bei einem skalar sein kann. Ich hab jetzt allerdings nochmal genau in meinen Angaben geschaut und glaube, da zwischen diesem Zeichen und dem f kein punkt ist, handelt es sich bei f wohl doch um einen skalar und das mit dem [mm] \IR^{3} [/mm] ist falsch, also kurzum die aufgabe müsste dann eigentlich heißen:
Sei [mm] \vec{v} \in C^{1}( \IR^{3}) [/mm] und f [mm] \in C^{1}( \IR) [/mm] beliebig, derartig div [mm] \vec{v} [/mm] und [mm] \vec{v} [/mm] verschwindet auf dem Rand eines geschlossenen Gebietes B. Zeigen Sie:
[mm] \integral_{B}^{} [/mm] (grad [mm] f)\circ\vec{v}dV=0
[/mm]
[mm] \integral_{B}^{} {v_{i}dV}=0 [/mm]
sorry für die ganze verwirrung
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Hallo Ilse,
> ja schon, das problem ist nur, dass da nicht wirklich div
> steht sondern so ein umgedrehtes dreieck (das ich leider
> nicht im Formeleditor finden konnte), was ja auch "grad"
> bei einem skalar sein kann. Ich hab jetzt allerdings
> nochmal genau in meinen Angaben geschaut und glaube, da
> zwischen diesem Zeichen und dem f kein punkt ist, handelt
> es sich bei f wohl doch um einen skalar und das mit dem
> [mm]\IR^{3}[/mm] ist falsch, also kurzum die aufgabe müsste dann
> eigentlich heißen:
Das umgekehrte Dreieck [mm]\nabla [/mm] ist der sogenannte Nabla-Operator.
Der Nabla-Operator macht aus einem Skalar ein Vektorfeld.
>
> Sei [mm]\vec{v} \in C^{1}( \IR^{3})[/mm] und f [mm]\in C^{1}( \IR)[/mm]
> beliebig, derartig div [mm]\vec{v}[/mm] und [mm]\vec{v}[/mm] verschwindet auf
> dem Rand eines geschlossenen Gebietes B. Zeigen Sie:
>
> [mm]\integral_{B}^{}[/mm] (grad [mm]f)\circ\vec{v}dV=0[/mm]
>
> [mm]\integral_{B}^{} {v_{i}dV}=0[/mm]
Hat das etwas mit dem Stokeschen Integralsatz im [mm]\IR^{3}[/mm] zu tun?
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:06 So 08.05.2005 | | Autor: | ilse |
hallo mathepower
> Hat das etwas mit dem Stokeschen Integralsatz im [mm]\IR^{3}[/mm]
> zu tun?
ja mit diesem Integralsatz kann das schon irgendwie zusammen hängen, die frage ist nur WIE.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:36 So 08.05.2005 | | Autor: | MathePower |
Hallo Ilse,
das Integral schreibt sich ja so:
[mm]\int\limits_{\partial\mathfrak{B}} {\nabla f\; \bullet \;v\;dV\left( {x,\;y} \right)} \; = \;\int\limits_{\partial\mathfrak{B}} {f_{\widetilde x} \;v_{1} \; + \;f_{\widetilde y} \;v_{2} \; + \;f_{\widetilde z} \;v_{3} \;dV\left( {x,\;y} \right)} [/mm]
Betrachtet man die Differentialform [mm]\omega \; = \;f_{\widetilde x} \;d\widetilde x\; + \;f_{\widetilde y} \;d\widetilde y\; + \;f_{\widetilde z} \;d\widetilde z[/mm]. so schreibt sich das Integral auch so:
[mm]\int\limits_{\partial \mathfrak{B}} {\omega \; = \;\int\limits_\mathfrak{B} {\left[ {d\; \wedge \;\omega } \right]} } [/mm]
wobei
[mm]\begin{gathered}
\widetilde x\; = \;h_{1} \left( {x,\;y} \right) \hfill \\
\widetilde y\; = \;h_{2} \left( {x,\;y} \right) \hfill \\
\widetilde z\; = \;h_{3} \left( {x,\;y} \right) \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
sowie
[mm]\begin{gathered}
v_{1} \;: = \;\frac{{\delta \left( {h_{2} ,\;h_{3} } \right)}}
{{\delta \left( {x,\;y} \right)}} \hfill \\
v_{2} \;: = \;\frac{{\delta \left( {h_{3} ,\;h_{1} } \right)}}
{{\delta \left( {x,\;y} \right)}} \hfill \\
v_{3} \;: = \;\frac{{\delta \left( {h_{1} ,\;h_{2} } \right)}}
{{\delta \left( {x,\;y} \right)}} \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Da [mm]\omega [/mm] ein vollständiges Differential darstellt, gilt:
[mm]{\left[ {d\; \wedge \;\omega } \right]}[/mm] = 0.
Wendet man außerdem noch an, dass es sich um eine geschlossene Kurve handelt, so gilt:
[mm]\int\limits_{\partial \mathfrak{B}} {\omega \; = \;\int\limits_\mathfrak{B} {\left[ {d\; \wedge \;\omega } \right]} } \; = \;0[/mm]
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:13 So 15.05.2005 | | Autor: | ilse |
hallo,
sorry dass ich mich erst jetzt wieder melde, ehrlich gesagt hab ich deine lösung nicht so wirklich verstanden, aber ist egal, mittlerweile hab ich die lösung von unserem übungsleiter und die hab ich verstanden, er löst das mit der kettenregel und dem satz von gauss. aber trotzdem vielen dank für deine bemühungen.
liebe grüße ilse
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