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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:31 So 15.05.2005 | | Autor: | melchen |
Hey ihr Lieben!
Ich habe hier eine Aufgabe, bei der ich nicht weiter komme.. Hoffe ihr könnt mir da ein bisschen weiter helfen..wäre echt lieb!
Also die Aufgabe lautet:
Geben ist die Funktion fk(x)= [mm] \bruch{4}{x²+k} [/mm]
Welches gleichschenklige Dreieck, das seine Spitze im Koordinatenursprung und die anderen Ecken auf dem Graphen der Funktion fk hat, besitz einen möglichst großen oder kleinen Flächeninhalt.
Also der Flächeninhalt eines Dreieck ist ja a= 0.5c*h Das habe ich dann in ein Funktionsschema umgesetzt und erhalte die Flächeninhaltsfunktion: [mm] ax=\bruch{4x}{x²+k} [/mm] Nachdem ich die erste Ableitung davon Null gesetz hatte erhielt ich den Hochpunkt: [mm] HP(\wurzel{k}/ \bruch{2}{ \wurzel{k}})
[/mm]
Damit habe ich den maximalen Flächeninhalt für k>0
Meine Frage ist nun wie ich den Flächeninhalt für k<0 bekomme..
Hoffe ihr könnt mir so schnell wie möglich helfen.. Wäre echt lieb!
Liebe Grüße Melchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:00 So 15.05.2005 | | Autor: | Fugre |
> Hey ihr Lieben!
> Ich habe hier eine Aufgabe, bei der ich nicht weiter
> komme.. Hoffe ihr könnt mir da ein bisschen weiter
> helfen..wäre echt lieb!
> Also die Aufgabe lautet:
>
> Geben ist die Funktion fk(x)= [mm]\bruch{4}{x²+k}[/mm]
> Welches gleichschenklige Dreieck, das seine Spitze im
> Koordinatenursprung und die anderen Ecken auf dem Graphen
> der Funktion fk hat, besitz einen möglichst großen oder
> kleinen Flächeninhalt.
>
> Also der Flächeninhalt eines Dreieck ist ja a= 0.5c*h Das
> habe ich dann in ein Funktionsschema umgesetzt und erhalte
> die Flächeninhaltsfunktion: [mm]ax=\bruch{4x}{x²+k}[/mm] Nachdem ich
> die erste Ableitung davon Null gesetz hatte erhielt ich den
> Hochpunkt: [mm]HP(\wurzel{k}/ \bruch{2}{ \wurzel{k}})[/mm]
> Damit
> habe ich den maximalen Flächeninhalt für k>0
> Meine Frage ist nun wie ich den Flächeninhalt für k<0
> bekomme..
>
> Hoffe ihr könnt mir so schnell wie möglich helfen.. Wäre
> echt lieb!
> Liebe Grüße Melchen
Hallo Melchen,
also du hast ein gleichschenkliges Dreieck, dessen Spitze
im Ursprung liegt. Zunächst einmal würde ich an deiner
Stelle die Symmetrie nutzen.
[Dateianhang nicht öffentlich]
In der Zeichnung erkennst du es.
Du siehst dann, dass die Höhe dieses halben Dreiecks dem
Betrag des Funktionswertes am Eckpunkt entspricht und die
Grundseite dem x-Wert.
Somit gilt:
[mm] $A_{kleines Dreieck}(x;y)=\frac{1}{2}*x*y$
[/mm]
und es gilt natürlich:
[mm] $y=\frac{4}{x^2+k}$
[/mm]
Daraus folgt:
[mm] $A_{kleines Dreieck}(x)=\frac{1}{2}*x*\frac{4}{x^2+k}$
[/mm]
Die Besonderheit liegt jetzt darin, dass der Flächeninhalt des
kleinen (gelben) Dreiecks genau der Hälfte des gesuchten
Flächeninhalts entspricht.
Also [mm] $A(x)=\frac{4x}{x^2+k}$
[/mm]
Das sieht deiner Lösung ja sehr ähnlich, aber leider verstehe ich nicht wie du gerechnet hast, wenn du willst,
dass wir es überprüfen, so poste doch bitte deinen Rechenweg.
Bitte schreibe uns einmal deine Ableitung auf, denn ich komme auf einen anderen Extremwert.
Liebe Grüße
Fugre
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:23 So 15.05.2005 | | Autor: | melchen |
Hey!
Meine Ableitung lautet: a'(x)= [mm] \bruch{-4x²+4k}{(x²+k)²}
[/mm]
und wenn ich die gleich Null setze dann kommt x= [mm] \wurzel{k} [/mm]
Und meine eigentliche Frage war ja wie der maximale flächeninhalt für k<0 ist...
Bye Melchen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:46 So 15.05.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Melchen!
> Meine Ableitung lautet: a'(x)= [mm]\bruch{-4x²+4k}{(x²+k)²}[/mm]
> und wenn ich die gleich Null setze dann kommt x=[mm]\wurzel{k}[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Genauer: [mm] $x_E [/mm] \ = \ [mm] \red{\pm} [/mm] \ [mm] \wurzel{k}$
[/mm]
> Und meine eigentliche Frage war ja wie der maximale
> flächeninhalt für k<0 ist...
Für $k \ < \ 0$ ist das notwendige Kriterium (Nullstellen der 1. Ableitung) nie erfüllt, d.h. es existieren keine Nullstellen der 1. Ableitung.
Das erkennst Du ja daran, daß die Wurzel nur für nicht-negative Zahlen definiert ist.
Eine (mögliche) Extremstelle [mm] $x_E [/mm] \ = \ [mm] \pm \wurzel{k}$ [/mm] existiert also nur für $k \ [mm] \ge [/mm] \ 0$ !!
Wenn du Dir den Kurvenverlauf für ein $k \ < \ 0$ (hier: $k \ = \ -1$) betrachtest, wirst Du sehen, daß es kein oben beschriebenes Dreieck geben wird mit maximaler oder minimaler Fläche, da dieses Dreieck unendlich hoch werden kann und damit auch der Flächeninhalt über alle Grenzen wächst.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Beantwortet das nun Deine Frage?
Gruß
Loddar
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:02 So 15.05.2005 | | Autor: | melchen |
Danke für deine Mühe Loddar!!
Das hilft mir schon sehr weiter..
Bye Melchen
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