Gebrochenrationale Funktion < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:26 Do 02.06.2005 | | Autor: | bourne |
Hallo zusammen!
Ich habe folgendes Problem, und zwar weiß ich bei den Funktionen f(x) und g(x) nicht ob es sich um eine hebbare Lücke handelt oder um eine Polstelle:
f(x)= [mm] \bruch{x^3-2x^2+x}{x^2}
[/mm]
[mm] g(x)=\bruch{9x-x^3}{3x^3+6x^2+3x}
[/mm]
in beiden Funktionen könnte ich x ausklammern bzw. kürzen:
f(x)= [mm] \bruch{x(x^2-2x+1)}{x(x)}
[/mm]
g(x)= [mm] \bruch{x(9-x^2}{x(3x^2+6x+3)}
[/mm]
Die Defintion von einer hebbaren Lücke ist Zähler = 0 und Nenner = 0.
Das sieht man ja auf einen Blick das das bei beiden Gleichungen bei X=0 ist.
Jetzt hab ich aber die beiden Funktionen in ein Programm eingebeben und dabei musste ich feststellen das es sich bei f(x) um eine Polstelle handelt. Ich habe danach in meinem Mathebuch nachgeblättert wo ich dann auch eine Regel für eine hebbare Lücke gefunden habe. Und zwar steht dort: "Diese Regel "(hebbare Lücke Zähler und Nenner = 0) "gilt nur, wenn der Funktionsterm in gekürzter Form vorliegt. z.B.: Für
f(x)= [mm] \bruch{x-2}{(x-2)^2} [/mm] ist N(2) = 0 und Z(2) = 0. Es liegt trotzdem keine hebbare Lücke vor. Nach dem Kürzen ergibt sich:
f(x)= [mm] \bruch{1}{x-2} [/mm] mit N(2) = 0 und Z(2) [mm] \not=0 [/mm] > Polstelle bei x = 2."
Wenn ich diese Regel jetzt auf meine 2 Funktionen anwende dann müsste ich ja beide Fuktionen kürzen, dass würde doch heißen:
f(x)= [mm] \bruch{x^2-2x+1}{x}
[/mm]
Jetzt lässt sich auch leicht erkennen das es eine Polstelle sein muss.
Aber das gleiche muss ich doch auch bei der Funktion g(x) anwenden, die würde doch dann lauten:
g(x)= [mm] \bruch{9-x^2}{3x^2+6x+3}
[/mm]
Jetzt wäre bei dieser Funktion auch keine hebbare Lücke mehr vorhanden nur noch eine Polstelle bei x=-1. Kann mir das mal einer erklären warum das so ist und ob ich jetzt kürzen muss oder nicht. Und wie ich bei den Aufgaben am besten vorgeh.
Danke im Vorraus
|
|
| |
|
Hallo bourne!
Die Vorgehensweise ist ziemlich einfach (behaupte ich jetzt mal  ).
Zunächst bestimmst Du Dir alle Nullstellen des Nenners und erhältst damit alle Definitionslücken.
Egal, was wir jetzt im Anschluß machen, diese Stellen bleiben Definitionslücken, d.h. unsere (Ausgangs-)Funktion ist an diesen Stellen nicht definiert, da wir ja seit Beginn unserer mathematischen Karriere nie durch Null teilen dürfen.
Da wir uns ja nun vergewissert haben, daß wir nicht durch Null teilen, dürfen wir auch mehr oder minder beliebig (nach den allgemeinen Rechenregeln) kürzen.
Nun betrachten wir den Restausdruck (soll heißen: den gekürzten Ausdruck) und untersuchen, ob eine der gekürzten Stellen immer noch Nullstelle des Nenners ist.
Wenn dies eintritt, handelt es sich um eine Polstelle (siehe Deine Funktion $f(x)$ !).
Anderenfalls (wie bei $g(x)$) handelt es sich um eine behebbare Definitionslücke, denn schließlich dürfte ich theoretisch in den gekürzten Ausdruck die Nullstelle des Nenners einsetzen, ohne daß mathematisch etwas "schlimmes passiert".
Aber wie oben bereits erwähnt, darf ich diesen x-Wert ja gar nicht einsetzen, da es sich ja um eine Definitionslücke handelt.
Beim Zeichnen einer solchen Funktion wird eine solche Stelle kaum auffallen, ich muß aber einen kleinen "Kuller" einzeichnen, der mir anzeigt: Achtung! Diese Stelle = "böse Stelle" : für diesen x-Wert ist die Funktion nicht definiert!
Ich hoffe, ich konnte Dir das etwas klarer machen ...
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
|
MatheBank