Gebrochenrationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:59 Mi 09.03.2005 | | Autor: | Tobi15 |
Hallo,
ich soll folgenden Funktion y= x²+3x-10
x²+7x+10
auf Pole, Nullstellen und Lücken untersuchen.
Leider weiss ich nicht genau wie ich an die Aufgabe heran gehen soll.
Vielen Dank im Vorraus
Tobi15
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:07 Mi 09.03.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Tobi!
Bei gebrochenrationalen Funktionen musst du untersuchen, wann der Nenner Null wird, der Zähler aber gleichzeitig von Null verschieden bleibt. Dann nämlich liegt eine Definitionslücke vor, die sich meist in Form eines Poles im Graphen der zu untersuchenden Funktion bemerkbar macht.
Willst du die Funktion auf Nullstellen untersuchen, musst du diejenigen x finden, für die der Zähler, nicht aber der Nenner, Null wird.
Du musst also die Nullstellen von
[mm] $x^2+3x-10$ [/mm]
und
[mm] $x^2+7x+10$
[/mm]
bestimmen.
Hilft dir das?
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:43 Mi 09.03.2005 | | Autor: | Tobi15 |
Vielen Dank für die schnelle Antwort.
Die Sache mit den Nullstellen bzw. den Definitionsbereich habe ich verstanden. Habe wie komme ich dann Nacher mit Hilfe des Limes auf den Graphen, dass ist mir nicht ganz klar?
Als Definitionsbereich habe ich: D=R \ {-2; -5}
Als Nullstellen habe ich: x1=2 und x2=-5;
Gruß
Tobi15
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:28 Mi 09.03.2005 | | Autor: | Tobi15 |
Vielen Dank für ihre Antwort, nun ist mir einiges klarer.
Wenn ich dass richtig verstanden habe, muss ich zur Untersuchung der Asymptote immer den Limes gegen unentlich streben lassen?
Somit wäre die Aufgabe was den rechnerischen Teil betrifft gelöst.
Was mir, wie schon in der 1. Frage gesagt, nicht so ganz klar ist, wie kann man aus diesen Erkenntnissen eine "groben (skizzenhaften)" Graphen zu der Funktion zeichnen.
Gruß
Timon
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:12 Mi 09.03.2005 | | Autor: | Max |
Hallo,
> Wenn ich dass richtig verstanden habe, muss ich zur
> Untersuchung der Asymptote immer den Limes gegen unentlich
> streben lassen?
Ja und nein. Wenn man die waagerechten Asymptoten (bzw. Schmiegekurven) sucht, betrachtet man immer das Verhalten der Funktion für [mm] $|x|\to \infty$. [/mm] Es gibt aber auch senkrechte Asymptoten, z.B. bei allen Polstellen. Ich wähle mal ein einfaches Beispiel: [mm] $f(x)=\frac{x-1}{x}$
[/mm]
1. Die Funktion hat wegen
[mm] $\lim_{x \to \pm \infty}\frac{x-1}{x}=\lim_{x \to \pm \infty}\frac{1-\frac{1}{x}}{1}=\frac{1\pm 0}{1}=1$
[/mm]
die waagerechte Asymptote $y=1$.
2. Die Funktion hat für $x=0$ eine Unstetigkeitsstelle. Es gilt
[mm] $\lim_{x \to \pm 0}\frac{x-1}{x}=\lim_{x \to \pm 0}\left(1 -\frac{1}{x}\right)=\pm \infty$.
[/mm]
D.h. die $y$-Werte werden in der Umgebung von $0$ beliebig groß. Der Graph nähert sich immer mehr der senkrechten Geraden $x=0$.
> Was mir, wie schon in der 1. Frage gesagt, nicht so ganz
> klar ist, wie kann man aus diesen Erkenntnissen eine
> "groben (skizzenhaften)" Graphen zu der Funktion
> zeichnen.
Wenn du das asymptotische Verhalten der Funktion für große $x$-Werte (bzw. in der Nähe von Plostellen) kennst, weißt du, dass der Graph der Funktion sich diesem annähert. Indem man die Asymptoten in der Skizze hinzufügt, kann man den Graph somit leichter zeichen.
Gruß Brackhaus
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Das kann nicht sein.
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