Geburtstagsparadoxon < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:31 Fr 02.10.2009 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | 1) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass von 40 Personen welche am gleichen Tag Geburtstag haben ?
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Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Hallo,
diese Frage kann ich beantworten:
Die Wahrscheinlichkeit, dass alle an einem unterschiedlichen Tag Geburtstag haben ist 10,8768 %.
Also, dass mindestens 1 Doppelgeburtstag vorkommt, ist 89,1232 %.
Meine Frage ist jetzt:
Kann man daraus ableiten, wie gross die Wahrscheinlichkeit ist, dass von diesen 40 Personen mindestens an 2 Tagen gleiche Geburtstage sind ?
Danke, Susanne.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:16 Fr 02.10.2009 | | Autor: | karma |
"Kann man daraus ableiten, wie gross die Wahrscheinlichkeit ist, dass von diesen 40 Personen mindestens an 2 Tagen gleiche Geburtstage sind ?"
Was meinst du damit?
Bitte formuliere die Frage um.
Nichts für ungut.
Schönen Gruß
Karsten
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:52 Fr 02.10.2009 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Karsten,
ich glaube auch, dass die Frage etwas "quer" war.
Ich meinte damit:
Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass an 2 Tagen mindestens 2 Personen Geburtstag haben.
(Also z.B: Von den 40 Personen haben 2 Personen am 1.1. und 2 Personen am 1.12. und alle anderen haben unterschiedliche Geburtstage).
Ich hoffe, das ist verständlicher.
Danke, Susanne.
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Hallo Susanne,
nach Deiner Umformulierung ist die Frage verständlich.
Nein, das kann man nicht unmittelbar aus dem vorliegenden Ergebnis ableiten.
Es bedarf dazu einer eigenen Rechnung, die aber möglich ist.
Auch dazu musst Du noch genauer benennen, was Du eigentlich berechnen willst.
z.B.: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass an mindestens zwei (verschiedenen) Tagen je zwei oder mehr von 40 Personen Geburtstag haben?
(Darunter fiele z.B. auch der Fall, dass es nur drei Geburtstagsdaten gibt, davon höchstens einer mit nur einem "Geburtstagskind". Oder der, dass an zwanzig Tagen je zwei Personen Geburtstag haben. Und viele Fälle mehr...)
Versuchs doch mal. Wenn Du die ursprüngliche Aufgabe konntest, sollte diese (etwas schwerere) durchaus möglich sein.
Grüße
reverend
PS: Nebenbei - wo ist denn das Paradoxon?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:02 Fr 02.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo reverend,
> PS: Nebenbei - wo ist denn das Paradoxon?
das ist einfach nur eine Bezeichnung, die nicht wirklich zutrifft (siehe auch ![[]](/images/popup.gif) hier). Der Name stammt wohl daher, dass es fuer viele ueberraschend ist, dass die Wahrscheinlichkeit fuer Doppeltreffer so (unerwartet) hoch ist. Ein Paradox ist das nicht.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:37 Fr 02.10.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo Felix,
genau darauf wollte ich Anna mit meiner Frage bringen. Es handelt sich weder um ein Parádoxon (Betonung beim Akzent) noch um ein Dilemma, eine Aporie oder Dichotomie. Das einzige Problem ist, dass man die Wahrscheinlichkeit viel niedriger schätzt, als sie wirklich ist.
Nebenbei @Anna: am einfachsten zu berechnen ist die Deutung Deiner Nachfrage, wenn man ermittelt, wie wahrscheinlich es ist, dass an genau zwei Tagen je genau zwei der 40 Personen Geburtstag haben und alle anderen an je verschiedenen Tagen.
Wenn Du magst, rechne doch mal ein Ergebnis vor, aber verrate uns auch, was Du eigentlich berechnest und wie.
Liebe Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:41 Sa 03.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo reverend,
> genau darauf wollte ich Anna mit meiner Frage bringen.
ok :)
> Nebenbei @Anna: am einfachsten zu berechnen ist die Deutung
> Deiner Nachfrage, wenn man ermittelt, wie wahrscheinlich es
> ist, dass an genau zwei Tagen je genau zwei der 40 Personen
> Geburtstag haben und alle anderen an je verschiedenen
> Tagen.
Ich denke, es geht noch einfacher: man hat ja schon die Wahrscheinlichkeit, dass von 40 Personen zwei am gleichen Tag Geburtstag haben. Wenn man von dieser jetzt die Wahrscheinlichkeit abzieht, das genau zwei Personen am gleichen Tag Geburtstag haben, waehrend alle anderen an verschiedenen Tagen Geburtstag haben, dann ist man fertig.
Dazu folgende Ueberlegung:
Wenn man
- zuerst einen Tag des Jahres festlegt (an dem zwei Geburtstag haben),
- dann zwei Personen aus der 40er-Gruppe waehlt,
- und dann aus den restlichen 364 Tagen 38 auswaehlt,
- und die restlichen 38 Personen diesen Tagen zuweist,
hat man alle Moeglichkeiten dafuer abgegrast.
Die Anzahl Moeglichkeiten fuer jeden dieser Punkte lassen sich einfach berechnen, und man muss diese Multiplizieren (da die Punkte unabhaengig sind) um die Gesamtzahl zu bekommen.
Dies geteilt durch die Gesamtzahl der Moeglichkeiten, jeder der 40 Personen irgendeinen Geburtstag im Jahr zuzuordnen, liefert die gesuchte Wahrscheinlichkeit die man abziehen muss.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 04:38 Sa 03.10.2009 | | Autor: | ms2008de |
Hallo,
> Ich denke, es geht noch einfacher: man hat ja schon die
> Wahrscheinlichkeit, dass von 40 Personen zwei am gleichen
> Tag Geburtstag haben. Wenn man von dieser jetzt die
> Wahrscheinlichkeit abzieht, das genau zwei Personen am
> gleichen Tag Geburtstag haben, waehrend alle anderen an
> verschiedenen Tagen Geburtstag haben, dann ist man fertig.
>
> Dazu folgende Ueberlegung:
>
> Wenn man
> - zuerst einen Tag des Jahres festlegt (an dem zwei
> Geburtstag haben),
> - dann zwei Personen aus der 40er-Gruppe waehlt,
> - und dann aus den restlichen 364 Tagen 38 auswaehlt,
> - und die restlichen 38 Personen diesen Tagen zuweist,
> hat man alle Moeglichkeiten dafuer abgegrast.
>
> Die Anzahl Moeglichkeiten fuer jeden dieser Punkte lassen
> sich einfach berechnen, und man muss diese Multiplizieren
> (da die Punkte unabhaengig sind) um die Gesamtzahl zu
> bekommen.
>
> Dies geteilt durch die Gesamtzahl der Moeglichkeiten, jeder
> der 40 Personen irgendeinen Geburtstag im Jahr zuzuordnen,
> liefert die gesuchte Wahrscheinlichkeit die man abziehen
> muss.
Hab ich das nun richtig verstanden, dass du von der Wk, dass mind. 2 der 40 Personen am gleichen Tag Geburtstag haben die Wk, dass genau 2 der 40 Personen am gleichen Tag Geburtstag haben, abziehen willst?
Dann würdest du die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass mind. 3 Leute am gleichen Tag Geburtstag haben und das sagt meiner Meinung nach gar nix drüber aus, ob da nun irgendwo 2mal ein doppelter Geburtstag auftritt oder nicht...
Bei dieser Wahrscheinlichkeit könnten ja 3 oder mehr Leute an nur einem einzigen Tag Geburtstag haben, wo du nun eingebracht hast, dass es 2 verschiedene Tage sein müssen, ist mir ein Rätsel..?
Viele Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:20 Sa 03.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > Ich denke, es geht noch einfacher: man hat ja schon die
> > Wahrscheinlichkeit, dass von 40 Personen zwei am gleichen
> > Tag Geburtstag haben. Wenn man von dieser jetzt die
> > Wahrscheinlichkeit abzieht, das genau zwei Personen am
> > gleichen Tag Geburtstag haben, waehrend alle anderen an
> > verschiedenen Tagen Geburtstag haben, dann ist man fertig.
> >
> > Dazu folgende Ueberlegung:
> >
> > Wenn man
> > - zuerst einen Tag des Jahres festlegt (an dem zwei
> > Geburtstag haben),
> > - dann zwei Personen aus der 40er-Gruppe waehlt,
> > - und dann aus den restlichen 364 Tagen 38 auswaehlt,
> > - und die restlichen 38 Personen diesen Tagen
> zuweist,
> > hat man alle Moeglichkeiten dafuer abgegrast.
> >
> > Die Anzahl Moeglichkeiten fuer jeden dieser Punkte lassen
> > sich einfach berechnen, und man muss diese Multiplizieren
> > (da die Punkte unabhaengig sind) um die Gesamtzahl zu
> > bekommen.
> >
> > Dies geteilt durch die Gesamtzahl der Moeglichkeiten, jeder
> > der 40 Personen irgendeinen Geburtstag im Jahr zuzuordnen,
> > liefert die gesuchte Wahrscheinlichkeit die man abziehen
> > muss.
>
> Hab ich das nun richtig verstanden, dass du von der Wk,
> dass mind. 2 der 40 Personen am gleichen Tag Geburtstag
> haben die Wk, dass genau 2 der 40 Personen am gleichen Tag
> Geburtstag haben, abziehen willst?
Ja. Und es stimmt nicht, da hast du Recht.
> Dann würdest du die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass
> mind. 3 Leute am gleichen Tag Geburtstag haben
Nein, das kommt da nicht raus. Es wird die W'keit berechnet, dass es entweder einen Tag gibt wo mindestens drei Leute Geburtstag haben (alle anderen haben an einem einzelnden Tag Geburtstag), oder das es mindestens zwei Tage gibt wo mehr als eine Person Geburtstag hat.
Man muesste noch mehr abziehen um den ersten Fall loszuwerden.
(Allerdings koennte man mit der gleichen Methode auch die W'keit ausrechnen, dass genau $k$ Leute an einem Tag Geburtstag haben und alle anderen an jeweils einen eigenen Tag: wenn man dies fuer alle $k [mm] \ge [/mm] 2$ zusammenaddiert und von der normalen Geburtstags-Paradoxon-Wahrscheinlichkeit abzieht, erhaelt man das richtige Ergebnis. Oder hab ich wieder was uebersehen? ;) )
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:11 Sa 03.10.2009 | | Autor: | MatheOldie |
Hallo, mal eben dazwischen:
Ich habe eben für 1000 Gruppen von 40 Menschen simulieren lassen und erhalte ...
genau einen gleichen Tag ca. 26%
genau zwei gleiche Tage ca. 29%
genau 3 gleiche Tage knapp 20%
genau 4 gleiche Tage um 9,5%
genau 5 gleiche Tage um 3,4%
genau 6 gleiche Tage knapp 1%
...
Wer also gerne weiter rechnen möchte, hat einen Anhaltspunkt zum Vergleichen.
Gruß, MatheOldie
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:26 So 04.10.2009 | | Autor: | SusanneK |
Lieber reverend, felix, ms2008de und MatheOldie,
VIELEN DANK für eure Hilfe, Erklärungen und Diskussionen !
Ich melde mich so spät, da ich schon nicht mehr mit einer Antwort gerechnet hatte und deshalb ein paar Tage nicht mehr im "Matheraum" war.
Ich habe mir jetzt Folgendes überlegt:
Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 2 von 40 Personen am gleichen Tag Geburtstag haben ist 89,1232 % ([mm] 1-\bruch{365!}{(365-40)!\cdot365^{40}} [/mm])
Für das 2.Paar aus dieser 40'er Gruppe gilt dann, dass nur noch 38 Personen und 364 mögliche Geburtstage zur Verfügung stehen:
[mm] 1-\bruch{364!}{(364-38)! \cdot 364^{38}}=0,864838 [/mm]
Die Wahrscheinlichkeit, dass von 40 Personen an 2 Tagen mindestens 2 Personen Geburtstag haben liegt dann bei [mm] 0,891232 \cdot 0,864838 = 0,77077 [/mm] also bei 77,077 %.
Stimmt das ?
Danke, Susanne.
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Hallo,
> Lieber reverend, felix, ms2008de und MatheOldie,
> VIELEN DANK für eure Hilfe, Erklärungen und Diskussionen
> !
>
> Ich melde mich so spät, da ich schon nicht mehr mit einer
> Antwort gerechnet hatte und deshalb ein paar Tage nicht
> mehr im "Matheraum" war.
>
> Ich habe mir jetzt Folgendes überlegt:
> Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 2 von 40 Personen
> am gleichen Tag Geburtstag haben ist 89,1232 % ([mm] 1-\bruch{365!}{(365-40)!\cdot365^{40}} [/mm])
>
> Für das 2.Paar aus dieser 40'er Gruppe gilt dann, dass nur
> noch 38 Personen und 364 mögliche Geburtstage zur
> Verfügung stehen:
> [mm]1-\bruch{364!}{(364-38)! \cdot 364^{38}}=0,864838[/mm]
>
> Die Wahrscheinlichkeit, dass von 40 Personen an 2 Tagen
> mindestens 2 Personen Geburtstag haben liegt dann bei
> [mm]0,891232 \cdot 0,864838 = 0,77077[/mm] also bei 77,077 %.
>
> Stimmt das ?
Das kann nicht stimmen: Bedenke, wenn du zu allererst berechnest, wie groß die Wk ist, dass mind. 2 von 40 Personen Geburtstag haben, dann fallen darunter auch die Fälle, dass über 2 Leute am gleichen Tag Geburtstag haben.
Von daher kannst du bei deiner 2. Rechnung weder von 38 Personen noch von 364 Tagen ausgehen.
Ich denke die letzte Antwort von felix sollte noch am einfachsten zum Ziel führen.
Viele Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:32 Mo 05.10.2009 | | Autor: | SusanneK |
Hallo ms2008de,
vielen Dank für deine Hilfe !
> Das kann nicht stimmen: Bedenke, wenn du zu allererst
> berechnest, wie groß die Wk ist, dass mind. 2 von 40
> Personen Geburtstag haben, dann fallen darunter auch die
> Fälle, dass über 2 Leute am gleichen Tag Geburtstag
> haben.
> Von daher kannst du bei deiner 2. Rechnung weder von 38
> Personen noch von 364 Tagen ausgehen.
>
> Ich denke die letzte Antwort von felix sollte noch am
> einfachsten zum Ziel führen.
>
Ok, das verstehe ich.
Aber obwohl ich jetzt sehr lange daran herumgeknackt habe, komme ich mit meinen Überlegungen nicht so richtig weiter:
Die Wahrscheinlichkeit, dass genau 2 Personen von 2 nicht am gleichen Tag Geburtstag haben ist [mm] \bruch{364}{365} = 99,726 % [/mm], also haben 2 von 2 Personen mit einer Ws von 0,00227 am gleichen Tag Geburtstag - hier gibt es ja nur diese Variante als "Gegenteil".
Aber wie ich dabei 2 von 40 Personen unterbekomme, kriege ich einfach nicht hin.
Oder ist der ganze Ansatz falsch ?
Danke, Susanne.
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Hallo Susanne,
zuerst eine Vorbemerkung:
ich halte mich hier an die Formulierung der
Aufgabe, wie sie reverend vorgenommen hat:
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass an
mindestens zwei (verschiedenen) Tagen je zwei
oder mehr von 40 Personen Geburtstag haben?
Ich würde das Ganze mit folgender Bezeichnung etwas
übersichtlicher machen:
d:= Anzahl der Tage des Jahres, an welchen mehr
als eine der 40 Personen Geburtstag hat
Du hast schon berechnet:
$P(d=0)\ =\ P(lauter\ versch.\ Geburtst.)\ =\ [mm] \frac{365!}{325!*365^{40}}\approx [/mm] 0.1088$
[mm] $P(d\ge [/mm] 1)\ =\ [mm] 1-P(d=0)\approx [/mm] 0.8912$
Gesucht ist [mm] P(d\ge [/mm] 2). Um dies zu erhalten, müssten
wir zusätzlich nur noch P(d=1) kennen, also die W'keit,
dass es genau einen "Mehrfachgeburtstag" gibt.
Nummerieren wir die Personen von 1 bis 40 durch,
so gibt es für die Geburtstags-Verteilung insgesamt
m=365^40 Möglichkeiten. Nun müssen wir unter diesen
alle jene zählen, an welchen genau ein (aber irgendein)
Tag des Jahres wenigstens zweimal und alle übrigen
364 Tage höchstens einmal vorkommen.
Zuerst legen wir einen der Tage des Jahres als
"Mehrfachgeburtstag" fest. Dazu gibt es 365
mögliche Termine.
An diesem ausgewählten Tag (z.B. dem 16. Mai)
könnten nun 2, 3, 4, .... , k, .....40 der Personen
Geburtstag haben. Alle verbleibenden 40-k
Geburtstage der übrigen Personen müssen auf
die restlichen 364 Tage des Jahres ohne Doppel-
belegungen verteilt werden.
Für den Fall "genau k Personen am 16.Mai" ist die
Anzahl der Möglichkeiten
$\ [mm] g_k\ [/mm] =\ [mm] \pmat{40\\k}*\pmat{364\\40-k}*(40-k)!$
[/mm]
Aus diesem Term kann man einmal (40-k)! heraus-
kürzen. Wenn wir alle möglichen k betrachten, haben wir
insgesamt:
$\ g\ =\ [mm] \summe_{k=2}^{40}g_k\ [/mm] =\ [mm] \summe_{k=2}^{40}\pmat{40\\k}*\pmat{364\\40-k}*(40-k)!$
[/mm]
Für die Wahrscheinlichkeit P(d=1) haben wir damit:
$\ [mm] P(d=1)=\frac{g}{m}=\frac{1}{365^{40}}*\summe_{k=2}^{40}\pmat{40\\k}*\pmat{364\\40-k}*(40-k)!$ [/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
hier ist der Fehler passiert: Faktor 365 vergessen ...
Dies sieht noch nicht nach einer einfachen Rechnung aus.
Es ist jedoch klar, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
viele Personen am 16.Mai Geburtstag haben, winzig klein
ist gegenüber den Möglichkeiten mit vielleicht 2, 3 oder 4
solchen Personen. Bei der Summation kann man sich also
die ersten paar Summanden anschauen und entscheiden,
ab welchem k man die übrigen vernachlässigen darf.
Ein Programm wie Mathematica würde aber wohl auch die
Monstersumme locker schaffen.
Die Lösung der (oben blau notierten) Frage wäre also:
$\ [mm] P(d\ge [/mm] 2)\ =\ 1-P(d=0)-P(d=1)$ ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
$\ [mm] =1-\frac{1}{365^{40}}\left[\frac{365!}{325!}+\red{365*}\summe_{k=2}^{40}\pmat{40\\k}\pmat{364\\40-k}(40-k)!\right]$
[/mm]
(fehlender Faktor rot eingefügt)
LG Al-Chw.
KORREKTUR:
Beim nochmaligen Durchlesen meines Textes habe ich
auch selber gemerkt, dass ich einen blöden Fehler
gemacht habe: Alle Überlegungen waren zwar (eigent-
lich) richtig und stehen auch detailliert da, nur
habe ich vergessen, den zuallererst bestimmten
Faktor 365 für die Auswahl des "Mehrfachgeburtstages"
in der Rechnung auch wirklich mitzunehmen.
Richtig müsste man also dies erhalten:
$\ [mm] P(d\ge [/mm] 2)\ =\ 1-P(d=0)-P(d=1)$
$\ [mm] =1-\frac{1}{365^{39}}\left[\frac{364!}{325!}+\summe_{k=2}^{40}\pmat{40\\k}\pmat{364\\40-k}(40-k)!\right]$
[/mm]
Dabei habe ich jetzt einen Faktor 365 rausgekürzt.
Numerisch gibt dies:
$\ [mm] P(d\ge [/mm] 2)\ [mm] \approx\ [/mm] 0.6206$
Hoffentlich stimmt jetzt alles.
... man ärgert sich ja wirklich über so doofe Fehler !
Gruß Al
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 16:05 Mo 05.10.2009 | | Autor: | ms2008de |
Hallo
> Hallo Susanne,
>
> zuerst eine Vorbemerkung:
> ich halte mich hier an die Formulierung der
> Aufgabe, wie sie reverend vorgenommen hat:
>
> Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass an
> mindestens zwei (verschiedenen) Tagen je zwei
> oder mehr von 40 Personen Geburtstag haben?
>
> Ich würde das Ganze mit folgender Bezeichnung etwas
> übersichtlicher machen:
>
> d:= Anzahl der Tage des Jahres, an welchen mehr
> als eine der 40 Personen Geburtstag hat
>
> Du hast schon berechnet:
>
> [mm]P(d=0)\ =\ P(lauter\ versch.\ Geburtst.)\ =\ \frac{365!}{325!*365^{40}}\approx 0.1088[/mm]
>
> [mm]P(d\ge 1)\ =\ 1-P(d=0)\approx 0.8912[/mm]
>
> Gesucht ist [mm]P(d\ge[/mm] 2). Um dies zu erhalten, müssten
> wir zusätzlich nur noch P(d=1) kennen, also die W'keit,
> dass es genau einen "Mehrfachgeburtstag" gibt.
>
> Nummerieren wir die Personen von 1 bis 40 durch,
> so gibt es für die Geburtstags-Verteilung insgesamt
> m=365^40 Möglichkeiten. Nun müssen wir unter diesen
> alle jene zählen, an welchen genau ein (aber irgendein)
> Tag des Jahres wenigstens zweimal und alle übrigen
> 364 Tage höchstens einmal vorkommen.
>
> Zuerst legen wir einen der Tage des Jahres als
> "Mehrfachgeburtstag" fest. Dazu gibt es 365
> mögliche Termine.
>
> An diesem ausgewählten Tag (z.B. dem 16. Mai)
> könnten nun 2, 3, 4, .... , k, .....40 der Personen
> Geburtstag haben. Alle verbleibenden 40-k
> Geburtstage der übrigen Personen müssen auf
> die restlichen 364 Tage des Jahres ohne Doppel-
> belegungen verteilt werden.
>
> Für den Fall "genau k Personen am 16.Mai" ist die
> Anzahl der Möglichkeiten
>
> [mm]\ g_k\ =\ \pmat{40\\k}*\pmat{364\\40-k}*(40-k)![/mm]
>
> Aus diesem Term kann man einmal (40-k)! heraus-
> kürzen. Wenn wir alle möglichen k betrachten, haben wir
> insgesamt:
>
> [mm]\ g\ =\ \summe_{k=2}^{40}g_k\ =\ \summe_{k=2}^{40}\pmat{40\\k}*\pmat{364\\40-k}*(40-k)![/mm]
>
Also meiner nach ist die Formel falsch: Nehmen wir doch mal an, wir hätten nur 3 Personen und müssten die Wk berechnen, dass genau 2 Personen am gleichen Tag Geburtstag haben. Es gibt hier offensichtlich 3 Möglichkeiten: Person 1 hat mit 2 Geburtstag, Person 2 mit Person 3, Person 1 mit Person 3 und jede dieser Möglichkeiten hat die Wk [mm] \bruch{365*364*1}{365^3}, [/mm] also ist die Wahrscheinlichkeit hierfür: [mm] 3*\bruch{365*364*1}{365^3} [/mm] =0,82%.
Nach deiner Formel aber käme ich auf [mm] \vektor{3 \\ 2}*\vektor{364 \\ 1}*\bruch{1}{365^3}=0,002 [/mm] %.
Vielleicht fehlt da noch ein mal 365, da es ja 365 Tage zur Auswahl gibt, an denen genau k Leute Geburtstag haben könnten?
Meiner Meinung nach müsste die Formel für P(d=1) folgendermaßen lauten:
[mm] \summe_{k=2}^{40}\vektor{40 \\ k}* \bruch{365!}{(365-(40-k+1)!*365^{40}}, [/mm] weil wenn ich k Personen für einen Tag auswähle, haben die 40 Personen an 40-k+1 verschieden Tagen des Jahres Geburtstag und somit käme man auf die Lösung:
P(d [mm] \ge [/mm] 2) = 1- [mm] \bruch{1}{365^{40}}*(\bruch{365!}{325!} +\summe_{k=2}^{40}\vektor{40 \\ k}* \bruch{365!}{(365-(40-k+1)!})
[/mm]
Viele Grüße
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Hallo ms2008de,
natürlich hast du recht. Als ich am Korrigieren des
dummen Fehlers war, erschien deine Fehlermeldung.
Danke und Gruß
Al-Chw.
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> Dies sieht noch nicht nach einer einfachen Rechnung aus.
> Es ist jedoch klar, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
> viele Personen am 16.Mai Geburtstag haben, winzig klein
> ist gegenüber den Möglichkeiten mit vielleicht 2, 3 oder 4
> solchen Personen. Bei der Summation kann man sich also
> die ersten paar Summanden anschauen und entscheiden,
> ab welchem k man die übrigen vernachlässigen darf.
> Ein Programm wie Mathematica würde aber wohl auch die
> Monstersumme locker schaffen.
> Die Lösung der (oben blau notierten) Frage wäre also:
$\ [mm] P(d\ge [/mm] 2)\ =\ 1-P(d=0)-P(d=1)$
$\ [mm] =1-\frac{1}{365^{40}}\left[\frac{365!}{325!}+\red{365*}\summe_{k=2}^{40}\pmat{40\\k}\pmat{364\\40-k}(40-k)!\right]$
[/mm]
Tatsächlich liefert Mathematica auch dafür in
Sekundenschnelle das ellenlange exakte oder das
gerundete Ergebnis:
$\ [mm] P(d\ge [/mm] 2)\ [mm] \approx\ \red{0.62062}$
[/mm]
Die Vermutung, dass man in der obigen Summe,
deren Index von 2 bis 40 läuft, sich ohne weiteres
etwa mit 3 oder 4 statt mit 39 Summanden be-
gnügen kann, lässt sich mit diesem Kraftpaket auch
leicht bestätigen.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:53 Mo 05.10.2009 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Al-Chwarizmi, hallo ms2009de,
VIELEN VIELEN DANK für eure Hilfe und Erklärungen !!
Die ausführliche Erklärung ist einfach sensationell, da ich aber etwas länger brauche, um sie zu verinnerlichen, bedanke ich mich jetzt schon mal dafür.
LG, Susanne.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:13 Mo 05.10.2009 | | Autor: | MatheOldie |
Hallo miteinander,
ich kann zur Analyse passend noch das Ergebnis von 5 Simulationsläufen mit jeweils 1000 Gruppen in % beisteuern: 62,2 62,3 61,6 61,7 62,1
Gruß, MatheOldie
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> Hallo miteinander,
>
> ich kann zur Analyse passend noch das Ergebnis von 5
> Simulationsläufen mit jeweils 1000 Gruppen in %
> beisteuern: 62,2 62,3 61,6 61,7 62,1
>
> Gruß, MatheOldie
Besten Dank, das passt ja ausgezeichnet !
Lieben Gruß
Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:22 Mo 05.10.2009 | | Autor: | SusanneK |
Ich bin beeindruckt über eure Hilfe !!
VIELEN DANK !
Liebe Grüsse, Susanne,
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:51 Mo 05.10.2009 | | Autor: | ms2008de |
Immer wieder gerne, solange dus nun auch verstanden hast.
Obwohl es sicher noch genügend Aufgaben gäbe, bei denen ich dir nicht helfen könnte, zumal ich an der Uni noch gar keine Stochastikvorlesung bisher gehört hab^^.
Viele Grüße
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