Gegenseitige Lage von Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:47 Do 26.06.2008 | | Autor: | Maaadin |
| Aufgabe | | Untersuchen Sie die Lage der beiden Ebenen [mm] $E_1$ [/mm] und [mm] $E_2$ [/mm] zueinander. Bestimmen Sie ggf. die Schnittgerade. |
Hallo Leute,
ich steh grad total auf'm Schlauch.
[mm] $E_1: \vec [/mm] x = [mm] \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}+ r\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] s\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$
[/mm]
[mm] $E_2: \vec [/mm] x = [mm] \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+ r\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] s\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$
[/mm]
Ich weiss, dass ich die Richtungsvektoren irgendwie vergleichen muss, aber wie genau, weiss ich nicht.
Deswegen waere meine Fragen:
Wie muessen die Richtugnsvektoren denn sein, dass 2 Ebenen parallel, aber nicht identisch sind? Und wie, damit sie sich schneiden? Identisch muesste ja dann sein, wenn die Richtugnsvektoren ein vielfaches voneinander sein, oder?
Gruss,
Martin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:56 Do 26.06.2008 | | Autor: | max3000 |
Hi.
Also:
Untersuche die Normalenvektoren [mm] ($u\times [/mm] v$) auf lineare abhängigkeit.
Sind diese linear abhängig, so sind sie entweder parallel oder identisch.
Diese 2 Fälle überprüfst du, indem du untersuchst, ob ein Punkt der Ebene 1 auf der Ebene 2 liegt.
Da kannst du ja den Punkt
[mm] \vektor{2 \\ 5 \\ 3}
[/mm]
in die zweite Ebene einsetzen. Wenn dieser nun noch die Gleichung erfüllt sind die Ebenen identisch, sonst nur parallel. Es bietet sich hier an gleich die Koordinatendarstellung der Ebene anzugeben.
Sind die Normalenvektoren linear unabhängig, so schneiden sich die Ebenen in einer Gerade.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:25 Do 26.06.2008 | | Autor: | Maaadin |
Ahh, jetzt versteh ich.
Ok, laut meiner Rechnung muessten beide Normalenvektoren l.a. sein. Ich hab fuer beide jeweils $ [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] $
JA gut, ich koennte jetzt noch ueberpruefen, ob sie identisch sind, in dem ich, wie Du schon gesagt hast, [mm] $x_1 [/mm] = 2$, [mm] $x_2 [/mm] = 5$ und [mm] $x_3 [/mm] = 3$ einsetze.
Aber vom Prinzip her hab ich es verstanden.
Danke!
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