Gemeinsame Eigenbasis < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:40 Mo 06.03.2006 | | Autor: | qute |
| Aufgabe | Es sind drei Matrizen A,B,C gegeben. Eigenwerte und Eigenvektoren hab ich berechnet. Nun soll ich sagen ob es eine gemeinsame Eigenbasis gibt. Eigenbasis ist doch alle linear unabhängigen Vektoren. Dann heißt gemeinsame Eigenbasis, der Vektor oder die Vektoren die beide bzw. die drei Matrizen haben. Also kann die gemeinsame Eigenbasis auch aus nur einem Vektor bestehen oder? Für A und B gibt es eine gemeinsamen Vektor (Eigenbasis), sie kommutieren auch., für B und c auch (kommu.), für C und A gibt es keine, obwohl sie kommutieren, ist das möglich , denn ich hab irgendwo gelesen dass wenn sie kommutieren, es auch eine gem. Eigenbasis gibt oder war das genau umgekehrt.
Ach ja ich soll noch beantworten ob die Eigenbasis eindeutig bestimmt ist, der Vektor ist der selbe bei beiden Matrizen dann ist der doch eindeutig oder? |
Wär nett wenn jemand antworten würde.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo und guten Nachmittag,
eine Eigenbasis zu einer Matrix A ist wohl eine Basis aus Eigenvektoren von A, oder ?
Dann waere eine gemeinsame Eigenbasis von A,B,C eine Basis aus Vektoren [mm] v_1,\ldots [/mm] , [mm] v_n
[/mm]
(sagen wir: [mm] A,B,C\in\IR^{n\times n}), [/mm] so dass jedes [mm] v_i [/mm] Eigenvektor von A, B und C ist.
Es reicht also nicht, zu A und B einen gemeinsamen Eigenvektor zu finden und zB zu B und C n-1
gemeinsame Eigenvektoren, die mit dem ersten zusammen eine Basis bilden.
Mehr kann man wohl ohne Kenntnis der Matrizen nicht dazu schreiben.
Gruss,
Mathias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:28 Di 07.03.2006 | | Autor: | Ronin |
Wie ist das denn eigentlich mit der eindeutigen Bestimmung der Eigenbasis.
nehmen wir an die Matrix A hat die Eigenvektoren
[mm] \vektor{1\\ 0\\ 1\\ 0} \vektor{1\\ 0\\ -1\\ 0} \vektor{0\\ 1\\ 0\\ 2} \vektor{0\\ 1\\ 0\\ -2} [/mm] und B hat dieselben
Ist dei Eigenbasis nun eindeutig (bis auf die Orientierung) bestimmt????
ich hab mal gehoert dass es nicht so ist da man diese vektoren auf verschiedene weise zu einer Matrix (also der Eigenbasis) zusammenfassen kann (also erst vektor 1 dann 2 dann 3 dann 4 oder 1 dann 3 dann 2 dann 4 usw)
Stimmt das?
ist mit orientierung gemeint dass man den einzelnen vektor mit -1 multiplizieren kann und er dann entgegengesetzt ist?
Danke (auch wenns nicht mein Thread war)
@qute schau mal in deinen personal messages eingang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:40 Do 09.03.2006 | | Autor: | Ronin |
mag / kann das keiner beantworten???
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:02 Do 09.03.2006 | | Autor: | mathiash |
Liebe(r) Ronin,
wo bleibt denn der freundliche Gruss oder die Anrede ? Es ist nun mal so, dass
keines der Mitglieder des MatheRaumes die Verpflichtung eingegangen ist, zu antworten, das
kann also auch schon mal dauern und ist alles freiwillig.
Hoffentlich hilft Dir die jetzt existierende Antwort schon mal weiter.
Ich vergass dort zu schreiben:
Wenn v Eigenvektor zum EW [mm] \lambda [/mm] ist, so ist -v EV zum EW [mm] -\lambda.
[/mm]
Viele Gruesse,
Mathias
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Hallo Ronin,
ich verstehe die Frage nicht so ganz. Natuerlich ist zu jeder Basis [mm] B=\{v_1,\ldots , v_n\}
[/mm]
eines n-dimensionalen Vektorraumes auch jede Menge
[mm] \{\sigma_1\cdot v_1,\ldots , \sigma_n\cdot v_n\}
[/mm]
mit [mm] \sigma_1,\ldots \sigma_n\in\{-1,1\}
[/mm]
eine Basis, und wenn man von einer Basis als von einer Menge von Vektoren spricht, kann
es da wohl kaum um Fragen der Reihenfolge gehen, nicht wahr ?
Viele Gruesse,
Mathias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:40 Fr 10.03.2006 | | Autor: | Ronin |
Hallo
Also die Frage ist eigentlich ganz einfach:
Wann ist eine Eigenbasis (bis auf die Orientierung) eindeutig bestimmt
das ist der letzte teil einer aufgabe mit 3 Matrizen uswusw...(endlose Rechnung)
Und jetzt find ich nirgends was darüber was das heisst!
Also bitte spiel jetzt kein Rätselraten mit mir denn ich will ja keine Lösung zu ner Aufgabe sondern nur ne Aussage "dann ist eine Eigenbasis eindeutig bestimmt"
wenn dir dashier wieder zu unfreundlich klingt dann entschuldige das liegt an der verzweiflung
Ach ja und noch was kann man wenn drei Matrizen dieselbe Eigenbasis haben irgendeine Aussage über die Kommutativität machen???
Danke
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Hallo nochmal,
nichts liegt mir ferner als Raetselraten beim Antwortgeben, das weise ich strikt
von mir, ich moechte doch bitten, solche Unterstellungen in Zukunft zu unterlassen.
Meine Nachfrage in der letzten Antwort war schon ernst gemeint.
Also nochmal:
Meiner Ansicht nach ist eine gemeinsame Eigenbasis - oder wie Ihr das nennt, ich
war mir des Begriffs bis zu dieser Diskussion zumindest nicht bewusst -
nicht notwendig eindeutig bestimmt,
denn sei [mm] v_1,\ldots [/mm] , [mm] v_n [/mm] eine solche, so ist fuer jede Matrix A, zu der [mm] v_i [/mm] ein EV zum EW [mm] \lambda [/mm] ist,
auch [mm] -v_i [/mm] ein EV zum EW [mm] \lambda [/mm] (hatte ich da in der vorherigen Antwort einen Dreher ? Ich werd nachschauen und dort ggf. [mm] -\lambda [/mm] durch
[mm] \lambda [/mm] ersetzen.).
Damit waere dann auch jede Menge
[mm] \sigma_1\cdot v_1,\ldots [/mm] , [mm] \sigma_n\cdot v_n
[/mm]
mit [mm] \sigma_1,\ldots [/mm] , [mm] \sigma_n\in\{-1,1\}
[/mm]
eine Basis von gemeinsamen Eigenvektoren der gegebenen Matrizen
(da das Argument ja fuer jede einzelne Matrix gilt).
Klar soweit ?
Gruss,
Mathias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:14 Fr 10.03.2006 | | Autor: | alexus |
Da les ich mir gerade den Thread durch und mir kommts so vor, als wäre da einer gerade dabei das 2. große Übungsblatt vom Weidl zu machen, sag mir, wenn ich mich irren sollte. Hab heute auch die gleichen Aufgaben gemacht und mir kommts so vor, als wären die Aufgaben falsch gestellt, weil es bei mir zwar immer ne gemeinsame Eigenbasis gibt, jedoch aufgrund der Tatsache, dass man bei Multiplikation mit einem Skalar wieder ne Eigenbasis erhält, wodurch diese nie eindeutig bestimmt ist. Ich glaube, was sie in der Aufgabe fragen wollten, ist ob es eine gemeinsame ONB von Eigenvektoren gibt und ob diese bis auf Orientierung eindeutig bestimmt ist. Das mit dem Kommutieren der Matrizen hab ich zuerst so gemacht, dass ich einfach den Kommutator ma hab drüber laufen lassen, was allerdings über ne halbe DINA4 Seite Rechenarbeit kostet, was eindeutig zu viel ist. Dann ist mir aufgefallen, dass A,B und C ja jeweils symmetrische und somit auch normale Matrizen sind. Dann hatten wir ja den Satz, dass wenn 2 normale Matrizen ne gemeinsame ONB besitzen, sie auch kommutiern. Ich hoff jetzt, dass du überhaupt weißt, wovon ich schreib.
Alex
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:34 Fr 10.03.2006 | | Autor: | Ronin |
> Da les ich mir gerade den Thread durch und mir kommts so
> vor, als wäre da einer gerade dabei das 2. große
> Übungsblatt vom Weidl zu machen, sag mir, wenn ich mich
> irren sollte.
Jo Ähnliches hab ich mir auch gedacht als ich den thread von qute gelesen hab, wollt halt nicht gleich mit namen um mich werfen...
@ alexus: deine ausführungen machen durchaus sinn jedoch vertrau ich unserem prof (und auch seinen mitarbeitern) soweit dass sie solche "schwerwiegenden Fehler nicht machen... (ich weiss das das erste auch nen fehler hatte) Aber ich werd bestimmt nicht anfangen Mathe aufgaben zu Interpretieren sondern werd schoen das tun was drann steht denn das hab ich ja schwarz auf weiss wenn er was anderes wollte nicht mein problem.... so seh ich das. Ich finde die frage auch etwas komisch.... aber naja.
falls es dich oder euch andere aus meinem hm kurs interessiert ich hab auch zur Aufg 5 hier ne frage gestellt muesst n bissle suchen ist aber noch net alt.
@ matiash: man man du nimmst alles ganz schoen schnell persöhnlich... Nunja wollte nochmal danke sagen da ich mir nun sicherer bin, dass das was ich schon dachte auch richtig ist.
Gruss
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