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| Aufgabe | Also ich habe 2 Graphen f(x) = x³ + 1 und g(x) = x² + x .
Diese beiden Graphen sollen sich in einem Punkt berühren.
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Wie kann ich zeigen, dass sich die beiden Graphen in einem Punkt berühren und wie kann ich deren gemeinsame Tangente berechnen ?
Ich habe irgendwie Schwierigkeiten auf den Rechenweg zu kommen.
Ich dachte zunächst vllt an Polynomdivision für den Schnitt punkt und dann mit der pq Formel.
Kann mir bitte einer helfen.
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Hallo Meister!
Damit sich zwei Funktionen (bzw. deren Graphen) an der Stelle [mm] $x_b$ [/mm] berühren, müssen sie sowohl im Funktionswert als auch in der Steigung (= 1. Ableitung) übereinstimmen:
[mm] $f(x_b) [/mm] \ = \ [mm] g(x_b)$
[/mm]
[mm] $f'(x_b) [/mm] \ = \ [mm] g'(x_b)$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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Danke !!!
Das der Funktionswert und die Steigung gleich sein muss war mir bewusst.
Nur wenn ich nun beide Graphen in die 1. Ableitung umwandel und gleichsetzte, wie muss ich dann weiter vorgehen ?
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Hallo Meister!
Durch Gleichsetzen der beiden Ableitungen erhältst Du eine quadratische Gleichung, die Du z.B. mit der  p/q-Formel lösen kannst.
Dabei erhältst Du dann zwei vermeintliche Lösungen, die Du durch Einsetzen in die Funktionsgleichungen $f(x)_$ bzw. $g(x)_$ noch bestätigen musst.
Gruß vom
Roadrunner
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ok danke.
also ich habe die beiden graphen f(x) = x³ + 1 und g(x) = x² + x
in die 1. Ableitung gebracht.
3x² = 2x + 1
3x² - 2x -1 = 0
x² - 2/3 x - 1/3
nun habe ich die pq Formel angewand und bekomme x = - 1 und x = 1/3
daraus würden sich dann die Punkte P( -1 | 0 ) und P( 1/3 | 4/9 )
Nach einsetzen müsste also P ( -1 | 0 ) der richtige punkt sein.
Um nun die Tangente dazu zu berechnen müsste ich nun y = mx + n machen.
Dazu fehlt aber noch m , welches ich noch errechnen muss.
Wenn ich nun durch einsetzten von dem x-Wert die Steigung bei - 1 errechnen will, bekomme ich nun 2 verschiedene Werte.
3*(-1)² = 3 und 2*(-1) +1 = -1
Hab ich irgendwo einen Fehler gemacht ?
Oder hab ich falsch eingesetzt ?
Danke
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Hallo,
deine quadratische Gleichung ist richtig, aber du hast Vorzeichenfehler gemacht: [mm] x_1=1 [/mm] und [mm] x_2=-\bruch{1}{3}
[/mm]
der Berührpunkt ist dann P(1; 2)
dann berechnest du über die 1. Ableitung an der Stelle [mm] x_1=1 [/mm] den Anstieg
f'(1)=2x+1=3, das ist m deiner Tangentengleichung
[mm] y_t=mx+n, [/mm] den Anstieg m hast du, setze jetzt in die Tangentengleichung den Punkt P (der gehört ja zur Tangente) ein, berechne n, damit hast du deine Tangentengleichung,
Steffi
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vielen dank, aber wo habe ich den Vorzeichen fehler gemacht ?
also ich hatte als 1. Ableitung 3x² = 2x + 1
3x² - 2x - 1 = 0 |:3
x² - 2/3 x - 1/3
also pq Formel: x = - 1/3 +- [mm] \wurzel[n]{(( -1/3)² + 1/3 )}
[/mm]
dann erhalte ich x = - 1/3 +- 2/3
somit x = -1 und x = 1/3
Wo liegt der Fehler ?
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Hallo,
p lautet -2/3, das ist soweit richtig. Die pq-Formel beginnt aber auch mit -p/2 [mm] \pm [/mm] ... Somit muss vor der Wurzel +1/3 stehen.
Gruß Patrick
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