Gemeinsame Verteilung < Statistik (Anwend.) < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:23 Mo 07.07.2008 | | Autor: | schnuri |
| Aufgabe | Aufgabe: X und Y seien zwei voneinander unabhängige Zufallsvariablen.
Gegeben:
* E[X] = 27, V[X] = 10
* E[Y] = 13, V[Y] = 12
Berechnen Sie für die folgenden Zufallsvariablen den Erwartungswert und die Varianz:
a) [mm] Z_1 [/mm] = 3X + 7Y
b) [mm] Z_2 [/mm] = 3X - 7Y
c) [mm] Z_3 [/mm] = [mm] Z_1 [/mm] + [mm] Z_2 [/mm] |
Hi all,
ich habe noch ein riesiges Verständnisproblem bei der gemeinsamen Verteilung. Eine superwichtige Grundlage!
a und b sind einfach:
a)
[mm] E[Z_1] [/mm] = E[3X + 7Y] =(da unabh.) 3E[X] + 7E[Y] = 3*27 + 7*13 = 172
[mm] V[Z_1] [/mm] = V[3X + 7Y] =(da unabh. Cov[X,Y] = 0) $ [mm] 3^2 [/mm] * V[X] + [mm] 7^2 [/mm] * E[Y] $ = 9*10 + 49*12 = 678
b)
[mm] E[Z_2] [/mm] = E[3X - 7Y] =(da unabh.) 3E[X] - 7E[Y] = 3*27 - 7*13 = -10
[mm] V[Z_2] [/mm] = V[3X - 7Y] =(da unabh. Cov[X,Y] = 0) $ [mm] 3^2 [/mm] * V[X] + [mm] (-7)^2 [/mm] * E[Y] $ = 9*10 + 49*12 = 678
Jetzt kommts
c)
[mm] E[Z_3] [/mm] = [mm] E[Z_1 [/mm] + [mm] Z_2] [/mm] = [mm] E[Z_1] [/mm] + [mm] E[Z_2] [/mm] = 172 - 10 = 162
[mm] V[Z_3] [/mm] = [mm] V[Z_1 [/mm] + [mm] Z_2] [/mm] = [mm] V[Z_1] [/mm] + [mm] V[Z_2] [/mm] + [mm] 2*Cov[Z_1, Z_2] [/mm] ????
Die Kovarianz von [mm] Z_1 [/mm] und [mm] Z_2 [/mm] ist doch 0, da diese sich auch aus den unabhängigen Variablen X und Y zusammensetzen?
Zum einen kriege ich es nicht hin, die Varianz von [mm] Z_3 [/mm] zu bestimmen (vorgegebene Lösung = 360, aber ohne Lösungsweg). Und ich glaube das hängt ganz stark mit der gemeinsamen Verteilung zusammen, dort kann ich mit Termen wie E[XY] oder [mm] E[X^2] [/mm] gar nichts anfangen.
Z.B. die Kovarianz wird berechnet mit
Cov[X, Y] = E[XY] - E[X]E[Y]
Was ist E[XY]???? Wenn X und Y unabhängig sind, dann ist E[XY] = E[X]E[Y], aber was wenn die nicht unabhängig sind?
Und was ist mit der Varianzformel:
V[X] = [mm] E[X^2] [/mm] - [mm] (E[X])^2
[/mm]
Weiss gar nicht, was ich mit [mm] E[X^2] [/mm] anfangen soll?! Ist die Formel für beliebige Verteilungen? Wie berechne ich [mm] E[X^2]? [/mm] X ist doch eine Zufallsvariable, die hat keinen skalaren Wert? Was quadriere ich da?
Ich habe das Gefühl, dass mir irgendwas total Simples fehlt, um die Verständnislücke zu schliessen.
Kann mir jemand einen Hinweis geben?
Viele Grüße,
schnuri
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:13 Mo 07.07.2008 | | Autor: | vivo |
> Aufgabe: X und Y seien zwei voneinander unabhängige
> Zufallsvariablen.
> Gegeben:
> * E[X] = 27, V[X] = 10
> * E[Y] = 13, V[Y] = 12
>
> Berechnen Sie für die folgenden Zufallsvariablen den
> Erwartungswert und die Varianz:
>
> a) [mm]Z_1[/mm] = 3X + 7Y
> b) [mm]Z_2[/mm] = 3X - 7Y
> c) [mm]Z_3[/mm] = [mm]Z_1[/mm] + [mm]Z_2[/mm]
> Hi all,
>
> ich habe noch ein riesiges Verständnisproblem bei der
> gemeinsamen Verteilung. Eine superwichtige Grundlage!
>
> a und b sind einfach:
>
> a)
> [mm]E[Z_1][/mm] = E[3X + 7Y] =(da unabh.) 3E[X] + 7E[Y] = 3*27 +
> 7*13 = 172
> [mm]V[Z_1][/mm] = V[3X + 7Y] =(da unabh. Cov[X,Y] = 0) [mm]3^2 * V[X] + 7^2 * E[Y][/mm]
> = 9*10 + 49*12 = 678
>
> b)
> [mm]E[Z_2][/mm] = E[3X - 7Y] =(da unabh.) 3E[X] - 7E[Y] = 3*27 -
> 7*13 = -10
> [mm]V[Z_2][/mm] = V[3X - 7Y] =(da unabh. Cov[X,Y] = 0) [mm]3^2 * V[X] + (-7)^2 * E[Y][/mm]
> = 9*10 + 49*12 = 678
>
> Jetzt kommts
> c)
> [mm]E[Z_3][/mm] = [mm]E[Z_1[/mm] + [mm]Z_2][/mm] = [mm]E[Z_1][/mm] + [mm]E[Z_2][/mm] = 172 - 10 = 162
>
> [mm]V[Z_3][/mm] = [mm]V[Z_1[/mm] + [mm]Z_2][/mm] = [mm]V[Z_1][/mm] + [mm]V[Z_2][/mm] + [mm]2*Cov[Z_1, Z_2][/mm]
> ????
[mm]V[Z_3][/mm] = [mm]V[Z_1[/mm] + [mm]Z_2][/mm] = V[6X] = [mm] 6^2 [/mm] V[X] = 36 * 10 = 360
> Die Kovarianz von [mm]Z_1[/mm] und [mm]Z_2[/mm] ist doch 0, da diese sich
> auch aus den unabhängigen Variablen X und Y
> zusammensetzen?
da wäre ich mir nicht so sicher, nur weil X und Y unabhängig sind, müssen ja [mm] Z_1 [/mm] und [mm] Z_2 [/mm] nicht unabhängig sein ... müsste man denk ich schon zeigen
>
> Zum einen kriege ich es nicht hin, die Varianz von [mm]Z_3[/mm] zu
> bestimmen (vorgegebene Lösung = 360, aber ohne Lösungsweg).
> Und ich glaube das hängt ganz stark mit der gemeinsamen
> Verteilung zusammen, dort kann ich mit Termen wie E[XY]
> oder [mm]E[X^2][/mm] gar nichts anfangen.
>
> Z.B. die Kovarianz wird berechnet mit
> Cov[X, Y] = E[XY] - E[X]E[Y]
> Was ist E[XY]???? Wenn X und Y unabhängig sind, dann ist
> E[XY] = E[X]E[Y], aber was wenn die nicht unabhängig sind?
E[XY] = [mm] \summe_{i=1}^{n}\summe_{i=j}^{n} x_i y_j f_{xy}(x_i;y_j)
[/mm]
> Und was ist mit der Varianzformel:
> V[X] = [mm]E[X^2][/mm] - [mm](E[X])^2[/mm]
> Weiss gar nicht, was ich mit [mm]E[X^2][/mm] anfangen soll?! Ist
> die Formel für beliebige Verteilungen? Wie berechne ich
> [mm]E[X^2]?[/mm] X ist doch eine Zufallsvariable, die hat keinen
> skalaren Wert? Was quadriere ich da?
Beispiel: Du würfelst [mm] X_i [/mm] ist die Augenzahl im i-ten Wurf, und X = [mm] \summe_{i=1}^{n} X_i
[/mm]
dann ist E[X] = [mm] \summe_{i=1}^{n} E[X_i] [/mm] = n [mm] E[X_1] [/mm] (da alle [mm] E[X_i] [/mm] gleich sind) = n (1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6) = n [mm] \bruch{7}{2}
[/mm]
Var(X) = [mm] \summe_{i=1}^{n} Var(X_i) [/mm] da unabhängig ist [mm] Cov(X_i [/mm] , [mm] X_j) [/mm] = 0
[mm] Var(X_i) [/mm] = [mm] E[X_i^2] [/mm] - [mm] (EX_i)^2 [/mm] = [mm] E[X_i^2] [/mm] - [mm] (\bruch{7}{2})^2 [/mm] = [mm] (1^2*1/6 [/mm] + [mm] 2^2*1/6 [/mm] + [mm] 3^2*1/6 [/mm] + [mm] 4^2*1/6 [/mm] + [mm] 5^2*1/6 [/mm] + [mm] 6^2*1/6) [/mm] - [mm] (\bruch{7}{2})^2
[/mm]
>
> Ich habe das Gefühl, dass mir irgendwas total Simples
> fehlt, um die Verständnislücke zu schliessen.
>
> Kann mir jemand einen Hinweis geben?
>
> Viele Grüße,
> schnuri
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:30 Mo 07.07.2008 | | Autor: | schnuri |
Hi vivo,
vielen Dank für die Antwort.
Also
[mm] V[Z_3] [/mm] = [mm] V[Z_1 [/mm] + [mm] Z_2] [/mm] = V[3X + 7Y + 3X - 7Y] = V[3X + 3X] = V[6X] = [mm] 6^2 [/mm] V[X] = 36 * 10 = 360
D.h. hier ist immer ein bisschen Denkarbeit gefragt. Einsetzen und umformen, bis es lösbar wird.
Danke, ich probier noch ein paar Aufgaben.
Gruß,
schnuri
|
|
|
|
