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| Aufgabe | Es sei [mm] f:(0,\pi) [/mm] x [mm] (0,2\pi)->\IR^3 [/mm] der Ellipsoid [mm] f(\phi,\theta)=(asin(\phi)cos(\theta),bsin(\phi)sin(\theta),ccos(\phi)), [/mm] mit a,b,c [mm] \not= [/mm] 0
Man zeige, dass die Schnitte des Ellipsoid mit der xy-,xz- und yz-Ebenen Bilder von Geodätischen sind |
Hallo
Ich habe ein Problem bei dieser Aufgabe.
Ich würde hier so anfangen:
1) Schnitt von f und xy-Ebene ist [mm] (asin(\phi)cos(\theta),bsin(\phi)sin(\theta),0), [/mm] also die 3. Komponente ist 0(weil wir uns in der xy-Ebene befinden)
So, wir haben definiert, dass c eine Geodätische ist, wenn die kovariante Ableitung eines tangentialen Vektorfeldes 0 ist, jedoch gibt es hier kein vorgegebenes Vektorfeld bzw. keine gegebene Punkte.
Alternativ haben wir definiert, dass c=f o u eine Geodätische ist, wenn [mm] \parallel c'(t)\parallel=const.
[/mm]
Wie muss ich u wählen? Ich versteh das nicht so ganz.
Vielleicht kann mir einer bei dieser Aufgabe helfen
Vielen Dank schonmal
Gruß
TheBozz-mismo
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> Es sei [mm]f:(0,\pi)[/mm] x [mm](0,2\pi)->\IR^3[/mm] der Ellipsoid
> [mm]f(\phi,\theta)=(asin(\phi)cos(\theta),bsin(\phi)sin(\theta),ccos(\phi)),[/mm]
> mit a,b,c [mm]\not=[/mm] 0
> Man zeige, dass die Schnitte des Ellipsoid mit der xy-,xz-
> und yz-Ebenen Bilder von Geodätischen sind
> Hallo
> Ich habe ein Problem bei dieser Aufgabe.
> Ich würde hier so anfangen:
> 1) Schnitt von f und xy-Ebene ist
> [mm](asin(\phi)cos(\theta),bsin(\phi)sin(\theta),0),[/mm] also die
> 3. Komponente ist 0(weil wir uns in der xy-Ebene befinden)
> So, wir haben definiert, dass c eine Geodätische ist,
> wenn die kovariante Ableitung eines tangentialen
> Vektorfeldes 0 ist, jedoch gibt es hier kein vorgegebenes
> Vektorfeld bzw. keine gegebene Punkte.
> Alternativ haben wir definiert, dass c=f o u eine
> Geodätische ist, wenn [mm]\parallel c'(t)\parallel=const.[/mm]
> Wie
> muss ich u wählen? Ich versteh das nicht so ganz.
>
> Vielleicht kann mir einer bei dieser Aufgabe helfen
>
> Vielen Dank schonmal
>
> Gruß
> TheBozz-mismo
Hallo,
du kannst ein geeignetes tangentiales Vektorfeld selber definieren.
Nehmen wir als Muster das Erdellipsoid. Um zu zeigen, dass der
Äquator eine Geodäte ist, kannst du das Tangentialfeld nehmen,
dessen Vektor in einem beliebigen Punkt der Erdoberfläche der
ostwärts gerichtete Einheitsvektor ist, der also tangential an den
dortigen Breitenkreis ist und ostwärts (also etwa in Richtung
zunehmenden Längenwinkels) zeigt. Dieses Feld ist zwar an den
Polen nicht definiert, was aber für den Beweis unerheblich ist.
Falls es dienlich sein könnte, kannst du etwa auch anstatt
Einheitsvektoren Vektoren vom Betrag |sin [mm] \phi| [/mm] nehmen.
LG Al-Chw.
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Hallo,
> Es sei [mm]f:(0,\pi)[/mm] x [mm](0,2\pi)->\IR^3[/mm] der Ellipsoid
> [mm]f(\phi,\theta)=(asin(\phi)cos(\theta),bsin(\phi)sin(\theta),ccos(\phi)),[/mm]
> mit a,b,c [mm]\not=[/mm] 0
> Man zeige, dass die Schnitte des Ellipsoid mit der xy-,xz-
> und yz-Ebenen Bilder von Geodätischen sind
> Hallo
> Ich habe ein Problem bei dieser Aufgabe.
> Ich würde hier so anfangen:
> 1) Schnitt von f und xy-Ebene ist
> [mm](asin(\phi)cos(\theta),bsin(\phi)sin(\theta),0),[/mm] also die
> 3. Komponente ist 0(weil wir uns in der xy-Ebene befinden)
das stimmt nicht ganz. du musst dir überlegen, welchen wert [mm] \phi [/mm] annehmen muss, damit die dritte koordinate gleich 0 ist. dieser wert muss dann natürlich auch in die anderen koordinaten eingesetzt werden. es bleibt ein ausdruck in [mm] \theta, [/mm] d.h. eine parametrisierte kurve
> So, wir haben definiert, dass c eine Geodätische ist,
> wenn die kovariante Ableitung eines tangentialen
> Vektorfeldes 0 ist, jedoch gibt es hier kein vorgegebenes
> Vektorfeld bzw. keine gegebene Punkte.
du meinst eher, wenn die kovariante ableitung von [mm] \dot{c} [/mm] entlang der Kurve c verschwindet, oder?
> Alternativ haben wir definiert, dass c=f o u eine
> Geodätische ist, wenn [mm]\parallel c'(t)\parallel=const.[/mm]
Also nur dieses kriterium reicht sicherlich nicht. jede nach der bogenlänge parametrisierte kurve erfüllt es [mm] ($\|\dot{c} \|=1$), [/mm] und jede reguläre kurve lässt sich ohne weiteres auf bogenlänge umparametrisieren.
> Wie
> muss ich u wählen? Ich versteh das nicht so ganz.
>
> Vielleicht kann mir einer bei dieser Aufgabe helfen
>
wie man hier rangeht, hängt natürlich von den definitionen und erkenntnissen in eurer vorlesung ab. normalerweise scheuen sich aber
die meisten mathematiker, kovariante ableitungen zB. mit dem Christoffel-Symbol Formalismus zu berechnen, solange es irgendwie möglich ist.
eine recht handliche methode zur berechnung der kovarianten ableitung ist, dass sie (im fall der untermannigfaltigkeiten) einfach der tangentiale anteil der normalen ableitung ist.
Wenn du also eine kurve in bogenlängen-Parametrisierung hast ( [mm] ($\|\dot{c} \|=1$)), [/mm] ist die kovariante ableitung von [mm] \dot{c} [/mm] entlang c einfach [mm] $\ddot{c}^{\top}$. [/mm] Anders gesagt ist c Geodätische, wenn [mm] \ddot{c} [/mm] orthogonal zur fläche (hier: dem ellipsoid) steht.
gruss
Matthias
> Vielen Dank schonmal
>
> Gruß
> TheBozz-mismo
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Vielen Dank für eure Anregungen
Gruß
TheBozz-mismo
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