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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:42 Fr 21.07.2006 | | Autor: | Bastiane |
Hallo zusammen!
Könnte mir vielleicht jemand den Unterschied zwischen einer Geodätischen und einer Kürzesten erläutern? Ich habe mir aufgeschrieben: Geodätische ist die lokal kürzeste Verbindung zweier Punkte. Außerdem steht noch im Skript:
"Geodätische Kurven sind nur lokal nicht verkürzbar, im Gegensatz zu kürzesten Wegen, die auch global unverkürzbar sind. Anschaulich kann man sich geodätische Kurven als straff gespannte Gummibänder vorstellen."
So ganz verstehe ich das allerdings nicht. Und zwar: Wie weit geht denn "lokal"? Und was genau hat es mit den Gummibändern auf sich? Ich habe hier noch eine Abbildung eines Zylinders, wo die Geodätische von einem Punkt zu einem anderen in einer Art Spirale um den Zylinder rumgeht. Wieso sollte das eine Geodätische sein? Wo ist hier das "lokal"? (In dieser Skizze liegen die Punkte quasi übereinander, so dass ich sie mit einer direkten senkrechten Linie viel schneller verbinden könnte.)
Kann mir da vielleicht jemand weiterhelfen?
viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:50 Fr 21.07.2006 | | Autor: | statler |
Hallo Christiane, und willkommen in der Reinen Mathematik!
Diese Frage gehört eindeutig zur Differentialgeometrie, wieso ist sie hier gelandet? Für Diff.-Geom. haben wir allerdings noch kein Unterforum eingerichtet, MatthiasKr holt sich gerade Meinungen dazu ein.
Wenn man eine hübsche Fläche im Raum hat und 2 Punkte auf ihr, dann untersucht man die Verbindungslinien zwischen den Punkten, die innerhalb der Fläche verlaufen. Da gibt es dann welche, die 'lokal' die kürzesten sind, d. h. alle mit gleichem Anfangs- und Endpunkt und sonst dicht bei, sind länger. Aber es kann weiter weg welche geben, die noch kürzer sind. Stell dir eine Ebene mit einem Berg vor, ein Punkt davor, der andere schräg dahinter. Es gibt rechts und links mind. einen lokal kürzesten Weg, aber einer von beiden ist überhaupt der kürzeste.
Die Sache mit dem Gummiband funktioniert natürlich nur, wenn ich das Gummiband auf der richtigen Seite der Fläche aufspanne, sonst geht es quer durch den Raum.
Die Geodätischen auf deinem Zylinder findest du leicht, wenn du den Zylinder in die Ebene abwickelst, dann sind das Geraden. Eine davon ist dann auch global die kürzeste.
Gruß aus HH-Harburg
(Temp 32° C, Luftfeuchte 100 %, Windstärke 0 aus wechselnden Richtungen)
Dieter
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