Geometrie: Berechnung Sehne aus Kreisbogen und Höhe < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:40 Fr 13.08.2004 | | Autor: | wenzegun |
***Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt. ***
Hallo zusammen! Ich habe ein kleines Problem mit einem Kreisabschnitt: Bekannte Größen von diesem "Haldmond" sind die Bogenlänge b und die Höhe h (also Abstand Sehne-Zenit des Kreisbogens) und ich würde gerne die Länge der Sehne berechnen (meiner Meinung muß es für jede gegeben Kombination aus b und h eine eindeutige Lösung geben). Alles, was ich so an Formeln finde, verlangt aber immer nach den Größen Radius r und/oder Zentriwinkel - auch bei Versuchen, die entsprechenden Formeln umzustellen/einzusetzen/aufzulösen, stoße ich an meine Mathe-Grenzen. Könnt Ihr mir vielleicht helfen?
Vielen Dank schonmal im Voraus
Gunnar
***Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt. ***
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:51 Fr 13.08.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Gunnar,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Hallo zusammen! Ich habe ein kleines Problem mit einem
> Kreisabschnitt: Bekannte Größen von diesem "Haldmond" sind
> die Bogenlänge b und die Höhe h (also Abstand Sehne-Zenit
> des Kreisbogens) und ich würde gerne die Länge der Sehne
> berechnen (meiner Meinung muß es für jede gegeben
> Kombination aus b und h eine eindeutige Lösung geben).
> Alles, was ich so an Formeln finde, verlangt aber immer
> nach den Größen Radius r und/oder Zentriwinkel - auch bei
> Versuchen, die entsprechenden Formeln
> umzustellen/einzusetzen/aufzulösen, stoße ich an meine
> Mathe-Grenzen. Könnt Ihr mir vielleicht helfen?
Diese Antwort ist fehlerhaft; bitte ignorieren und Paulus Antwort weiter unten im Strang lesen! (Marc)
Die Bogenlänge berechnet sich zu
[mm] $b=2\pi r*\bruch{\alpha}{360°}$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $b*\bruch{360°}{\alpha}=2\pi [/mm] r$
[mm] $\gdw$ $\bruch{b*360°}{2*\pi*\alpha}=r$
[/mm]
Höhe, Radius und Sehnenlänge stehen in folgender Beziehung:
[mm] $r^2=(r-h)^2+\left(\bruch{s}{2}\right)^2$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $r^2=r^2-2rh+h^2+\bruch{s^2}{4}$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $0=-2rh+h^2+\bruch{s^2}{4}$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $2rh-h^2=\bruch{s^2}{4}$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $8rh-4h^2=s^2$
[/mm]
In diese letzte Gleichung setze ich für r die obige Gleichung ein:
[mm] $s^2=\bruch{4*h*b*360°}{\pi*\alpha}-4h^2$
[/mm]
Ich interpretiere dieses Ergebnis nun so, dass der Halbmond nicht eindeutig durch Höhe h und Bogenlänge b bestimmt ist, denn [mm] \alpha [/mm] ließ sich nicht eliminieren und weitere Zusammenhänge zwischen den Größen sehe ich nicht.
Mit dieser letzten Formel müßte es aber einfach sein, ein Gegenbeispiel zu konstrieren:
Ich gebe mir h=1 und b=5 und [mm] $\alpha_1=30°$ [/mm] und [mm] $\alpha_2=60°$ [/mm] vor und suche die Länge der Sehne
Für [mm] $\alpha_1$:
[/mm]
[mm] $s^2=\bruch{4*1*5*360°}{\pi*30°}-4*1^2=\bruch{20*12}{\pi}-4=\bruch{240}{\pi}-4$ $\gdw$ $s=\wurzel{\bruch{240}{\pi}-4}\approx [/mm] 8.51$
Der Radius des Kreises beträgt: [mm] $r=\bruch{5*360°}{2*\pi*30°}=\bruch{30}{\pi}\approx [/mm] 9.55$
Für [mm] $\alpha_2$:
[/mm]
[mm] $s^2=\bruch{4*1*5*360°}{\pi*60°}-4*1^2=\bruch{20*6}{\pi}-4=\bruch{120}{\pi}-4$ $\gdw$ $s=\wurzel{\bruch{120}{\pi}-4}\approx [/mm] 5.85$
Der Radius des Kreises beträgt: [mm] $r=\bruch{5*360°}{2*\pi*60°}=\bruch{15}{\pi}\approx [/mm] 4.77$
Bemerkung: Die Rechnung ist zwar richtig (hoffe ich), aber es existiert kein Kreis mit den gegebenen Eigenschaften.
Damit müßten sich jetzt zwei Halbmonde konstruieren lassen, die übereinstimmende Höhe und Bogenlänge haben (ich habe es noch nicht versucht, werde ein Konstruktion später nachliefern).
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:38 Fr 13.08.2004 | | Autor: | wenzegun |
Hi Marc!
Dank Dir vielmals für Deine schnelle antwort! Schade nur, daß meine Vorstellung, eine eindeutige Lösung für das Problem zu finden, falsch war. Naja, that´s life...
Schönes WE!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:18 Fr 13.08.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo miteinander
>
> [mm]s^2=\bruch{4*h*b*360°}{\pi*\alpha}-4h^2[/mm]
>
> Ich interpretiere dieses Ergebnis nun so, dass der Halbmond
> nicht eindeutig durch Höhe h und Bogenlänge b bestimmt ist,
> denn [mm]\alpha[/mm] ließ sich nicht eliminieren und weitere
> Zusammenhänge zwischen den Größen sehe ich nicht.
> Mit dieser letzten Formel müßte es aber einfach sein, ein
> Gegenbeispiel zu konstrieren:
>
> Ich gebe mir h=1 und b=5 und [mm]\alpha_1=30°[/mm] und [mm]\alpha_2=60°[/mm]
> vor und suche die Länge der Sehne
>
> Für [mm]\alpha_1[/mm]:
>
> [mm]s^2=\bruch{4*1*5*360°}{\pi*30°}-4*1^2=\bruch{20*12}{\pi}-4=\bruch{240}{\pi}-4[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] [mm]s=\wurzel{\bruch{240}{\pi}-4}\approx 8.51[/mm]
> Der Radius
> des Kreises beträgt:
> [mm]r=\bruch{5*360°}{2*\pi*30°}=\bruch{30}{\pi}\approx 9.55[/mm]
>
>
> Für [mm]\alpha_2[/mm]:
>
> [mm]s^2=\bruch{4*1*5*360°}{\pi*60°}-4*1^2=\bruch{20*6}{\pi}-4=\bruch{120}{\pi}-4[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] [mm]s=\wurzel{\bruch{120}{\pi}-4}\approx 5.85[/mm]
> Der Radius
> des Kreises beträgt:
> [mm]r=\bruch{5*360°}{2*\pi*60°}=\bruch{15}{\pi}\approx 4.77[/mm]
>
Ich habe zwar im Moment keine Zeit, diese Aufgabe genauer zu analysieren, aber ich glaube kaum, dass die beiden Beispiele korrekt sein können! Ich werde mich wahrscheinlich erst morgen damit beschäftigen.
Ich denke nämlich, dass die Sehne keinesfalls grösser werden kann als der Bogen $b$. 
Ich denke schon, dass die Lösung eindeutig wird, aber ich meine, es gibt keine geschlossene Formel dafür, also nur eine numerische Methode, den Wert auf eine vorgegebene Genauigkeit zu berechnen, da die gesuchte Grösse innerhalb einer Winkelfunktion (sin, cos oder tan) auftaucht und als Faktor auch ausserhalb.
(Nur eine grobe Vermutung, in Anlehnung an das Problem der Ziege, die im Zentrum KORREKTUR: am Rand einer Kreisförmigen Wiese angebunden ist, deren Leinenlänge gesucht ist, so dass die Ziege genau die Hälfte des Grases fressen kann).
Mit lieben Grüssen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:07 Mo 16.08.2004 | | Autor: | wenzegun |
Hallo Paulus,
dank Dir vielmals für Deine ausführliche Antwort! Ich habe mich dazu entschieden, für die Problemstellung einen praktischen Lösungsansatz zu wählen (es ging um die Volumenberechnung eines Behälters, dessen Wände sich bei Befüllung ausbeulen - jetzt versenke ich das Ding einfach mal und schau dann, wieviel Wasser verdrängt wird). Ich bin aber echt begeistert von der Mühe, die Ihr Euch hier macht - GROSSES LOB!
Eine Frage hätte ich noch...: Was heißt "HoneySugarIceTea"... ich hab da so einen Vermutung... 
Schöne Grüße
Gunnar
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