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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:40 Mi 22.12.2010 | | Autor: | cautchy |
| Aufgabe | Einem Würfel W kann man genau zwei reguläre Tetraeder [mm] \Delta1 [/mm] und [mm] \Delta2
[/mm]
einschreiben, deren Kanten Diagonalen von Würfelseiten sind (Kantenlänge von W = 10 cm)
Aufgabe: Beschreibe den Durchschnitt [mm] \Delta1\cap\Delta2 [/mm] und bestimme sein Volumen |
Also ich habe diese beiden Tetraeder im Würfel eingezeichnet
Allerdings ist mir rätselhaft wie ich den Durchschnitt der beiden Tetraeder bestimmen soll.
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# Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo cautchy, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
das braucht ein bisschen räumliches Vorstellungsvermögen...
Nimm mal einen der Tetraeder und lass ihn noch im Würfel liegen. Wenn Du jetzt die vier Flächen des anderen Tetraeders nach und nach als Schnitte anlegst, dann schneidest Du dem ersten Tetraeder dabei seine vier "Spitzen" ab. Fragt sich nur, wie weit. Jeder Schnitt verläuft senkrecht durch die Höhe der abgeschnittenen Ecke. Abgeschnitten wird also jedesmal ein kleinerer Tetraeder.
Da unter den acht Seiten der beiden Tetraeder keine zwei parallel sind, wird der übrigbleibende Körper mindestens acht Seiten haben.
Symmetrieüberlegungen zeigen, dass es zugleich höchstens acht Seiten sein können.
So, und jetzt brauchst Du einen Achtflächner, der möglichst regelmäßig ist. Wenn man auf vier nicht unmittelbar angrenzende seiner Seitenflächen ein passendes (kleines) Tetraeder "stellt", muss er zu einem (großen) Tetraeder zu ergänzen sein.
Daraus folgt auch, dass der Achtflächner nur aus gleichseitigen Dreieck aufgebaut ist, die seine Seitenflächen bilden.
Und dieser Körper heißt... ?
Wenn Du das erstmal räumlich klar hast, findet sich auch schnell ein Weg, das Volumen dieses Körpers zu bestimmen.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:30 Mo 27.12.2010 | | Autor: | cautchy |
Also müsste ich das Volumen eines Oktaeders ausrechnen?
Und der Durchschnitt ist ein regelmäßiges 8eck???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:44 Mo 27.12.2010 | | Autor: | abakus |
> Also müsste ich das Volumen eines Oktaeders ausrechnen?
Ja.
> Und der Durchschnitt ist ein regelmäßiges 8eck???
Nein. Die Durchschnittsmenge beider Tetraeder IST der Oktaeder.
Gruß Abakus
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:24 Mi 05.01.2011 | | Autor: | cautchy |
okay ich habe jetzt mal die Volumen-Oktaederformel benutzt und erhalte 471,4 [mm] cm^{3}
[/mm]
a von regulärem Tetraeder = 10 cm
Ich denke mein Ergebnis ist falsch, a müsste im Oktaeder doch kürzer sein.
Könnt ihr mir bei der Lösung helfen???
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Hallo cautchy,
> okay ich habe jetzt mal die Volumen-Oktaederformel benutzt
> und erhalte 471,4 [mm]cm^{3}[/mm]
>
> a von regulärem Tetraeder = 10 cm
>
> Ich denke mein Ergebnis ist falsch, a müsste im Oktaeder
> doch kürzer sein.
Die Kantenlänge des hier zu berechnenden Oktaeders ist genau halb so groß wie die jedes der beiden dem Würfel einbeschriebenen Tetraeder.
> Könnt ihr mir bei der Lösung helfen???
Klar. Jetzt ist es doch einfach. 
Grüße
reverend
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