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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 12:23 Sa 24.07.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi.
Mal wieder eine Aufgabe aus der Matheolympiade - Runde 3 - Klasse 11-13:
Wie viele Kreise des Radius r=0.5 werden benötigt, um einen Kreis von Radius 1 vollständig abzudecken.
Verzweifelte versuche, etwas zu konstruieren, sind bei mir fehlgeschlagen.
Jetzt seid ihr dran 
Gruß,
Hanno
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:56 Sa 24.07.2004 | | Autor: | Clemens |
Hallo m00xi!
Die Konstruktion geht meiner Meinung nach folgendermaßen:
Man zeichne ein regelmäßiges Sechseck mit den Seitenlängen 1 in den großen Kreis ein und verbinde den Mittelpunkt mit den Ecken des Sechsecks, die auf dem Rand des Kreises liegen. Die Mittelpunkte dieser Strecken (zwischen dem Mittelpunkt des Kreises und den Ecken des Sechseckes) verbinde man zu einem kleineren regelmäßigen Sechseck.
Nun kommen die kleinen Kreise:
Der Mittelpunkt des ersten stimmt mit dem Mittelpunkt des großen Kreises überein. Damit deckt er das kleinere Sechseck ab (denn der Abstand vom Mittelpunkt zu einer Ecke des kleinen Sechsecks beträgt genau 0.5).
Die Mittelpunkte von sechs weiteren kleinen Kreisen setze man auf die Mittelpunkte der Seiten des großen regelmäßigen Sechsecks. Sie überdecken jeweils den restlichen Teil des "Kuchenstückes", das durch die Verbindungsstrecken vom Mittelpunkt des großen Kreises zu den Eckpunkten des großen Sechsecks, zwischen denen sie liegen, entsteht. Damit ist der gesamt große Kreis abgedeckt.
Mein Beweis, dass man mindestens sieben kleine Kreise braucht, geht anschaulich von der obigen Konstruktion aus. Die kleinen Kreise müssen den Rand des großen Kreises abdecken. In der obigen Konstruktion deckt einer der äußeren kleinen Kreise einen maximalen Ausschnitt aus dem Rand des großen Kreises aus (nämlich genau 1/6 vom Umfang, also Pi/3*r = Pi/3). In der obigen Konstruktion ist nämlich der Abstand zwischen den beiden Schnittpunkten eines kleinen Kreises mit dem großen genau 1 voneinander entfernt und daher kann ein kleiner Kreis nicht mehr abdecken (Radius 0.5). Also braucht man mindestens sechs Kreise zum Abdecken des Randes. Wenn man genau sechs nimmt, braucht man noch den siebten Kreis für die Mitte. Nimmt man mehr als sechs für den Rand, kann man gar nicht mehr weniger als sieben Kreise verwenden. Also braucht man mindestens sieben Kreise.
Gruß Clemens
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:28 So 25.07.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Clemens.
Wirklich klasse, aber da muss ich mich Stefan ansclhießen, auf so etwas komme ich ganz bestimmt nicht
Gruß,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:46 So 25.07.2004 | | Autor: | Clemens |
Vielen Dank für das Lob 
(Hab' eigentlich mit Geometrie nicht viel am Hut. Das liegt daran, dass man ständig Annahmen macht, die man nicht beweisen kann - im Gegensatz zu wunderschönen analytischen Lösungen)
Gruß Clemens
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