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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:46 Sa 18.10.2008 | | Autor: | Sino |
| Aufgabe | ERLEDIGT, DENKFEHLER... ging um eine Verständnisfrage zur geometrischen Algebra von Hestenes, die sich ja auf Clifford's und Grassmann's Algebra stützt.
Es ging um die Aussage:
"Jeder Bivektor B in [mm] \mathcal{G}_3 [/mm] ist dual zu einem Vector b und es gilt B=ib=bi."
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Update: Ich hatte die falsche Definition von Bivektor im Kopf.
ab ist selber kein Bivektor, sondern eine Summe aus Skalar und Bivektor,
also das geometrische Produkt ist ja [mm] ab=a\cdot{b}+a\wedge{b}, [/mm] wobei [mm] a\wedge{b} [/mm] der Bivektor ist und [mm] a\cdot{b} [/mm] der Skalar. Da war mein Fehler. Hätte nochmal ein paar Seiten zurückgehen sollen und die Definition oder Abbildungen checken, aber war mir irgendwie zu sicher.
Peinlich, aber naja, damit hab ich aber [mm] a\wedge{b}=ia\times{b} [/mm] praktisch schon überprüft. Das wär eh der nächste Schritt gewesen. ;)
Frage war:
Ich befasse mich gerade privat aus Interesse mit David Hestenes Geometrischer Algebra und eigne mir die Grundlagen an.
Dazu arbeite ich gerade den ersten Teil seines Papers "Oersted Medal Lecture 2002: Reforming the Mathematical Language of Physics" durch. Es geht aber bei meiner Frage erstmal um nichts Physikalisches. Das hier ist blosse Mathematik/Geometrie. In einführenden Büchern zur Geometrischen Algebra findet man den gleichen Sachverhalt sicher auch genauso wieder.
Ok, in dem erwähnten Paper findet man diese Dinge auf Seite 15. Es geht um eine Geometrische Algebra für den 3-dimensionalen Fall, aber da sicher kaum einer das Paper zur Hand hat, schreib ich den Sachverhalt mal ausführlich auf.
Also:
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[mm] \mathcal{P}^3 [/mm] sei ein 3 dim. euklidischer Vektorraum und
[mm] \mathcal{G}_3=\mathcal{G}\{\mathcal{P}^3\} [/mm] die davon erzeugte Geometrische Algebra, mit der rechtshändigen Orthonormalbasis [mm] \{\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3\}
[/mm]
Weiterhin definieren wir den Pseudoskalar i als
[mm] i=\sigma_1\sigma_2\sigma_3
[/mm]
Daraus ergibt sich dann die Bivektor-Basis
[mm] \sigma_1\sigma_2=i\sigma_3 [/mm]
[mm] \sigma_2\sigma_3=i\sigma_1
[/mm]
[mm] \sigma_3\sigma_1=i\sigma_2
[/mm]
Es folgt [mm] i^2=-1
[/mm]
Es folgt weiterhin, dass jeder Bivektor B in [mm] \mathcal{G}_3 [/mm] dual zu einem Vektor b ist und es gilt B=ib=bi
....
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Bis zum i²=-1 leuchtet mir noch alles ein. Da kann ich folgen. Die letzte Aussage mit dem B=ib=bi wollte ich nachvollziehen, also hab ich mal zwei beliebige Vektoren a und b genommen, als Linearkombination der Basisvektoren hingeschrieben und einen Bivektor gebildet
[mm] a=\alpha_1\sigma_1+\alpha_2\sigma_2+\alpha_3\sigma_3
[/mm]
[mm] b=\beta_1\sigma_1+\beta_2\sigma_2+\beta_3\sigma_3
[/mm]
Der Bivektor ab ergibt sich dann als
[mm] ab=\alpha_1\beta_1\sigma_1^2 [/mm] + [mm] \alpha_1\beta_2\sigma_1\sigma_2 [/mm] + .... usw. , also einfach alles normal ausmultiplizieren.
Da stehen dann zwar auch eine Menge Bivektoren in der Summe, die man zu einem Bivektor aufaddieren könnte, der dann wirklich dual zu einem ib wären, aber da stehen auch Skalare in der Summe.
Da steht auch [mm] \alpha_1\beta_1\sigma_1²+\alpha_2\beta_2\sigma_2²+\alpha_3\beta_3\sigma_3² [/mm] in der Summe, wobei die [mm] \sigma_j² [/mm] ja 1 ergeben und die 3 Summanden somit keine Bivektoren sind, sondern Skalare.
Damit kann ich den Bivektor B=ab nicht in einer Form ic darstellen, zu der ab dual wäre.
Der Bivektor ab müsste eigentlich dual zu einem Multivektor der Form [mm] \alpha+ic [/mm] sein, [mm] \alpha\in\IR [/mm] und a,b,c Vektoren.
Ok, da Lineare Algebra usw. bei mir schon eine Weile her ist, genauso wie die letzte Mathevorlesung, frage ich mich, ob ich was übersehe bzw. falsch mache. Zumindest taucht bei mir dieser Skalar auf. Ich weiss nicht, wie man den als Bivektor ausdrücken könnte. Wäre auch komisch, wenn es geht oder man den einfach unter den Tisch fallen lässt.
Zumal Hestenes später selber schreibt, dass die Elemente der [mm] \mathcal{G}_3 [/mm] Algebra Multivektoren sind, die sich allgemein in der Form [mm] M=\alpha+a+ib+i\beta [/mm] mit a,b Vektoren und [mm] \alpha,\beta [/mm] Skalare darstellen lassen. Also da braucht der die Skalare dann ja auch wieder.
Leider kenn ich kein Gemetrische-Algebra-Forum, da die Frage doch sehr speziell ist, sonst hätte ich da gefragt. Wollte Prof. Hestenes auch nicht mailen. Der hat sicher besseres zu tun, als meine dummen Fragen zu beantworten. ;)
Also hoff ich mal, dass hier einer helfen kann.
Hmm, bin schon am überlegen, ob ich falsch ausmultipliziert habe aber ich seh nicht, dass ich die Regeln verletzt habe. Das Geometrische Produkt ist laut definition assoziativ, links-distributiv und rechts-distributiv und dann gibts noch die Regel a²=|a|², die mir die Skalare beschert hat.
# Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:27 So 26.10.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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