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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:51 Mo 06.11.2006 | | Autor: | chil14r |
| Aufgabe | | Folgendes Problem : Ich will beweisen dass [mm] \summe_{j=0}^{k-1}2^j [/mm] = $ [mm] 2^k [/mm] -1 $ ist. |
Intuitiv ist dass nicht klar, aber durch ausprobiern sieht man sehr schnell den Zusammenhang. Nun zum Beweis, welcher mir echt Probleme bereitet.
Ich probierte es mit mit der Lösung der Summe durch eine geometrische Zahlenfolge.
[mm] \summe_{j=0}^{k-1}2^j [/mm] = [mm] \summe_{j=1}^{k-1}2^j [/mm] + 1
Lösung der geomertischen Zahlenfolge durch:
$ [mm] \bruch{1-q^n}{1-q} [/mm] $
$ [mm] \bruch{1-2^{k-1}}{1-2} [/mm] + 1 $
$ [mm] \bruch{-1+2^{k-1}}{1} [/mm] + 1 $
$ [mm] 2^{k-1} [/mm] $
Erkennt jemand meinen Fehler?
Danke für eure Hilfe..
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Hallo,
> Folgendes Problem : Ich will beweisen dass
> [mm]\summe_{j=0}^{k-1}2^j[/mm] = [mm]2^k -1[/mm] ist.
> Intuitiv ist dass nicht klar, aber durch ausprobiern sieht
> man sehr schnell den Zusammenhang. Nun zum Beweis, welcher
> mir echt Probleme bereitet.
> Ich probierte es mit mit der Lösung der Summe durch eine
> geometrische Zahlenfolge.
> [mm]\summe_{j=0}^{k-1}2^j[/mm] = [mm]\summe_{j=1}^{k-1}2^j[/mm] + 1
> Lösung der geomertischen Zahlenfolge durch:
> [mm]\bruch{1-q^n}{1-q}[/mm]
> [mm]\bruch{1-2^{k-1}}{1-2} + 1[/mm]
> [mm]\bruch{-1+2^{k-1}}{1} + 1[/mm]
>
> [mm]2^{k-1}[/mm]
> Erkennt jemand meinen Fehler?
Die endliche geometrische Reihe lautet doch:
[mm] $\summe_{j=0}^{n} q^j=\bruch{1-q^{n+1}}{1-q}$
[/mm]
Angewandt auf Deine Gleichung sollte da stehen
[mm] $\summe_{j=0}^{\red{k-1}} 2^j=\bruch{1-2^{\red{k-1}+1}}{1-2}=\bruch{1-2^{k}}{-1}=2^{k}-1$
[/mm]
Gruß, Frusciante
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