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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:57 Do 29.03.2007 | | Autor: | Aeryn |
| Aufgabe | | Bei einer geometrischen Folge [mm] (a_{n})^{\infty}_{n=0} [/mm] sei [mm] a_{2}+a_{4}=60 [/mm] und [mm] a_{1}+a_{3}=30. [/mm] Berechnen Sie die [mm] \summe_{n=0}^{5} a_{n}. [/mm] |
Hallo!
Kann das jemand bestätigen?
Also die Formel für eine geometrische Folge ist:
[mm] a_{n}=a_{0}*q^{n}
[/mm]
demnach ist [mm] q=\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}
[/mm]
ich weiß also, dass [mm] a_{1}=a_{0}*q^{1}, a_{2}=a_{1}*q^{2}, a_{3}=a_{2}*q^{3} [/mm] und [mm] a_{4}=a_{3}*q^{4}, [/mm] oder hab ich da einen denkfehler?
und vorallem wie geht es jetzt weiter. bei meinen berechnungen ist dann irgendwann für q=2 rausgekommen.
dann setze ich in q ein:
dh:
[mm] \bruch{a_{1}}{a_{0}}=2 \to a_{1}=2a_{0}
[/mm]
[mm] a_{2}=4a_{0}
[/mm]
[mm] a_{3}=8a_{0}
[/mm]
[mm] a_{4}=16a_{0}
[/mm]
[mm] 2a_{0}+8a_{0}=30
[/mm]
[mm] a_{0}=3
[/mm]
und so weiter....
also wäre die Lösung:
[mm] a_{n}=3*\bruch{1-2^6}{1-2}=189
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:01 Do 29.03.2007 | | Autor: | Fulla |
Hi Aeryn!
Du hast recht! Ich komme auf das gleiche Ergebnis:
[mm] a_n=a_0*q^n
[/mm]
==> [mm] a_2+a_4=a_0*q^2+a_0*q^4=a_0*q*(q+q^3)=60
[/mm]
==> [mm] a_1+a_3=a_0*q+a_0*q^3=a_0(q+q^3)=30
[/mm]
Teilt man die obere durch die untere Gleichung, erhält man: $q=2$
Und durch Einsetzen folgt: [mm] a_0=3
[/mm]
Und insgesamt: [mm] \summe_{i=0}^{5}a_n=3+6+12+24+48+96=189
[/mm]
Lieben Gruß,
Fulla
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:01 Do 29.03.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo aeryn
Deine Ergebnisse sind richtig, aber in deinem post sind Fehler, sicherheitshalber sag ich sie, vieleicht warens ja nur Tipfehler.
> Also die Formel für eine geometrische Folge ist:
>
> [mm]a_{n}=a_{0}*q^{n}[/mm]
>
> demnach ist [mm]q=\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}[/mm]
>
> ich weiß also, dass [mm] a_{1}=a_{0}*q^{1}, [/mm]
Richtig
[mm] >a_{2}=a_{1}*q^{2},
[/mm]
Falsch, richtig: [mm] a_{2}=a_{0}*q^{2}
[/mm]
[mm] >a_{3}=a_{2}*q^{3}
[/mm]
Falsch, wie oben
> und [mm]a_{4}=a_{3}*q^{4},[/mm]
Falsch, wie oben!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:56 Mo 02.04.2007 | | Autor: | Aeryn |
Ja danke dir!
Habs dann auch gesehen, dass ich da falsche Zahlen genommen hab.
Sehr aufmerksam! ;)
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