Geometrische Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:56 Mi 21.01.2009 | | Autor: | Lorence |
Hi
Ich hab mal ne allgemeine Frage zu den geometrischen Reihen, und zwar:
Wie lautet die korrekte Formel um den Grenzwert der Geometrischen Reihe festzustellen? Ich bin etwas verwirrt, wegen folgendem:
[mm] \summe_{i=0}^{\infty} q^n [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-q}
[/mm]
Okay, soweit so gut, diese Formel steht wirklich überall so (in Büchern, Skript....!
Jetzt aber meine Frage;
[mm] \summe_{i=0}^{\infty} (\bruch{1}{2})^n [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-\bruch{1}{2}} [/mm] = 2, der Grenzwert , so steht es in meinem Buch ist aber 1!
Ein weiteres Beispiel:
[mm] 3\summe_{i=1}^{\infty} (\bruch{1}{10})^n [/mm] = [mm] 3\bruch{1}{1-\bruch{1}{10}}-1 [/mm] = 3 [mm] \bruch{1}{9} [/mm] , hier wurde wieder 1 abgezogen für die Grenzwertberechnung!
Ich könnte noch viele weitere Beispiele zeigen, in denen es so ist!
Heute war ich in der Bibliothek und habe mit dem Buch von H.Heuser gelernt, und dort war es so: manchmal wurde der Grenzwert mit [mm] \bruch{1}{1-q} [/mm] ausgerechnet, und manchmal damit [mm] \bruch{1}{1-q} [/mm] - 1
Leider waren keine Rechenwege bei den Lösungen dabei!
Wann muss ich welche Formel anwenden!???
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:00 Mi 21.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Lorence!
> [mm]\summe_{i=1}^{n} q^n[/mm] = [mm]\bruch{1}{1-q}[/mm]
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> Okay, soweit so gut, diese Formel steht wirklich überall so
> (in Büchern, Skript....!
Ich hoffe nicht, dass dies dort überall steht. Dort sollte stehen:
[mm] $$\summe_{\red{n=0}}^{\red{\infty}} q^n [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{1-q}$$
[/mm]
Und wenn Deine Beispiel jeweils erst mit dem Glied $i \ = \ [mm] \red{1}$ [/mm] beginnen, musst Du dieses Gleid [mm] $q^0$ [/mm] wieder subtrahieren.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:38 Do 22.01.2009 | | Autor: | Lorence |
> Hallo Lorence!
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> > [mm]\summe_{i=1}^{n} q^n[/mm] = [mm]\bruch{1}{1-q}[/mm]
> >
> > Okay, soweit so gut, diese Formel steht wirklich überall so
> > (in Büchern, Skript....!
>
> Ich hoffe nicht, dass dies dort überall steht. Dort sollte
> stehen:
> [mm]\summe_{\red{n=0}}^{\red{\infty}} q^n \ = \ \bruch{1}{1-q}[/mm]
>
>
> Und wenn Deine Beispiel jeweils erst mit dem Glied [mm]i \ = \ \red{1}[/mm]
> beginnen, musst Du dieses Gleid [mm]q^0[/mm] wieder subtrahieren.
>
>
> Gruß
> Loddar
>
Hi Loddar,
Ich hab die Fehler verbessert, und bin trotz deines Hinweises auf keine Schlaue Regel gekommen, bei meinem ersten Beispiel wird bei i=0 angefangen, im nächsten Beispiel wird bei i=1 angefangen, und trotzdem wird zur Grenzwertberechnung immer -1 gemacht am Ende.
Gruß
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Hallo,
es ist für |q|<1
[mm] \summe_{i=\red{0}}^{\infty}q^i=\bruch{1}{1-q},
[/mm]
und entsprechend ist dann
[mm] \summe_{i=\red{1}}^{\infty}q^i [/mm] = [mm] (\summe_{i=\red{0}}^{\infty}q^i) [/mm] - [mm] q^0 =\bruch{1}{1-q} -1=\bruch{q}{1-q}.
[/mm]
Da gibt's nichts zu deuteln.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:53 Do 22.01.2009 | | Autor: | Lorence |
Aber wieso wird dann bei der Reihe:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}(\bruch{1}{2})^n=\bruch{1}{1-\bruch{1}{2}} [/mm] = 2 , der Grenzwert ist aber 1! So steht es auch im Buch,
???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:00 Do 22.01.2009 | | Autor: | fred97 |
> Aber wieso wird dann bei der Reihe:
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> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(\bruch{1}{2})^n=\bruch{1}{1-\bruch{1}{2}}[/mm]
> = 2 , der Grenzwert ist aber 1! So steht es auch im Buch,
Der Grenwert (besser : Reihenwert) ist = 2.
Vielleicht steht in Deinem Buch: [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(\bruch{1}{2})^n=\bruch{1}{1-\bruch{1}{2}}[/mm] = 1 ??
Wenn nicht, so steht in Deinem Buch etwas falsches. Welches Buch ist das denn ?
In Büchern steht oft Falsches (auch in der Bibel (reverend möge mir verzeihen))
FRED
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> ???
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:28 Do 22.01.2009 | | Autor: | Lorence |
Ja es steht im Buch von Klaus Fritsche, Grundkurs Analysis, dort is sogar alles genau dargestellt, mit Intervallen die immer kleiner werden,
[mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4} [/mm] + [mm] \bruch{1}{8} [/mm] + [mm] \bruch{1}{16} [/mm] + .....
ich zitiere: "Es leuchtet ein, dass man auf diese Weise schließlich das ganze Intervall [0,1] ausschöpft. Im gewissen Sinne ist also: [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4} [/mm] + [mm] \bruch{1}{8} [/mm] + [mm] \bruch{1}{16} [/mm] + ...... = 1"
??? Wie verwirrend! Aber wie kann der Reihenwert auch 2 sein? bei [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^2} [/mm] ist der Reihenwert 2!, die beiden Reihen unterscheiden sich ja aber doch wesentlich!
Gruß und danke für die Hilfe
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> Ja es steht im Buch von Klaus Fritsche, Grundkurs Analysis,
> dort is sogar alles genau dargestellt, mit Intervallen die
> immer kleiner werden,
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> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] + [mm]\bruch{1}{4}[/mm] + [mm]\bruch{1}{8}[/mm] + [mm]\bruch{1}{16}[/mm]
> + .....
Hallo,
ja und? Was steht da oben? Mit Summenzeichen geschrieben? Das: [mm] \summe_{i=\red{1}}^{\infty}(\bruch{1}{2})^i. [/mm] Und der Reihenwert ist [mm] \bruch{1}{1-\bruch{1}{2}}-1=1. [/mm] Das sagen wir doch die ganze Zeit.
> ich zitiere: "Es leuchtet ein, dass man auf diese Weise
> schließlich das ganze Intervall [0,1] ausschöpft. Im
> gewissen Sinne ist also: [mm]\bruch{1}{2}[/mm] + [mm]\bruch{1}{4}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{8}[/mm] + [mm]\bruch{1}{16}[/mm] + ...... = 1"
Was ist denn das? Klingt 'nen büschele esoterisch...
In gewissem Sinne? Seltsam.
Naja, ich kenne den Gesamtzusammenhang ja nicht und bin also lieber fein still.
>
>
> ??? Wie verwirrend! Aber wie kann der Reihenwert auch 2
> sein? bei [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^2}[/mm] ist der
> Reihenwert 2!,
Wo hast Du denn das aufgeschnappt? Es stimmt nicht.
> die beiden Reihen unterscheiden sich ja aber
> doch wesentlich!
Tja, sowas kommt vor. Die Reihen haben ihren Wert nicht fü sich allen gepachtet.
Es gibt auch noch Leute, die sich von mir deutlich unterscheiden und genausoviel auf die Waage bringen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:28 Do 22.01.2009 | | Autor: | Lorence |
Okay ihr habt recht:
Aber was mich wundert: In meinem Buch steht eben:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{n^2} [/mm] = 1
und nicht
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^2} [/mm] = 1
Es muss sich ja dann um einen Druckfehler handel vermut ich einfach mal!
Oder steh ich auf dem Schlauch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:31 Do 22.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Lorence!
Wenn das dort wirklich in dem Buch steht ... schmeiß es weg!
Denn den Wert $n \ = \ [mm] \red{0}$ [/mm] darf man in den Bruch [mm] $\bruch{1}{n^2}$ [/mm] gar nicht einsetzen!
Und wie bereits geschrieben wurde, gilt:
[mm] $$\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\pi^2}{6} [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ 1.644934... \ [mm] \red{\not= \ 1}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{n^2}[/mm] = 1
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> und nicht
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> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^2}[/mm] = 1
Hallo,
daß das nicht =1 sein kann, sieht doch schon ein Kindergartenkind:
[mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^2}[/mm] = [mm] 1+\bruch{1}{4} [/mm] + .... >1.
Und nur zur Sicherheit: Dir ist ja klar, daß [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^2} [/mm] keine geometrische Reihe ist ?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:53 Fr 23.01.2009 | | Autor: | Lorence |
Danke für eure Hilfe!
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:27 Do 22.01.2009 | | Autor: | fred97 |
Zur Information:
$ [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^2} [/mm] $ = [mm] \bruch{\pi^2}{6}
[/mm]
FRED
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