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Geometrische Reihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:25 So 11.09.2005
Autor: NoClue84

Hi,

folgende Aufgabe:

Ein Arbeiter hat im Jahr 1974 24.000 DM verdient. Angenommen, jemand versucht, eine konstante jährliche Lohnsteigerung von 12% pro Jahr durchzusetzen.

(a) Wie hoch wäre das Einkommen im Jahr 2000?
(b) Wann etwa würde der Arbeiter 1 Million verdienen?

---

Ich weiß nun nicht wie ich das genau mit dem Taschenrechner berechnen soll, weil ja für jedes Jahr ein neuer Lohn rauskommt und jedes Jahr auf diesen neuen Lohn 12 % draufkommen.

n wäre ja 26 denke ich; n = 26
[mm] a_{1} [/mm] = 24.000 ?

Normalerweise würde es doch heißen; Berechnen sie den Wert des 26 Gliedes einer geomethrischen Reihe oder?

Kann mir da mal bitte jemand auf die Sprünge helfen

        
Bezug
Geometrische Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:00 So 11.09.2005
Autor: Josef

Hallo Noclue84,


>  
> Ein Arbeiter hat im Jahr 1974 24.000 DM verdient.
> Angenommen, jemand versucht, eine konstante jährliche
> Lohnsteigerung von 12% pro Jahr durchzusetzen.
>  
> (a) Wie hoch wäre das Einkommen im Jahr 2000?
>  (b) Wann etwa würde der Arbeiter 1 Million verdienen?
>  
> ---
>  
> Ich weiß nun nicht wie ich das genau mit dem Taschenrechner
> berechnen soll, weil ja für jedes Jahr ein neuer Lohn
> rauskommt und jedes Jahr auf diesen neuen Lohn 12 %
> draufkommen.
>
> n wäre ja 26 denke ich; n = 26
> [mm]a_{1}[/mm] = 24.000 ?
>  
> Normalerweise würde es doch heißen; Berechnen sie den Wert
> des 26 Gliedes einer geomethrischen Reihe oder?
>  
> Kann mir da mal bitte jemand auf die Sprünge helfen



das Bildungsgesetz für ein beliebiges Glied [mm] a_n [/mm] einer geometrischen Folge ergibt sich aus der Formel:

[mm] a_n [/mm] = [mm] a_1 [/mm] * [mm] q^{n-1} [/mm]



Aufgabe a)

[mm] a_{27} [/mm] =  [mm] 24.000*(1,12)^{27-1} [/mm] = 456.961,73


Aufgabe b)

1.000.000 = [mm] 24.000*(1,12)^{n-1} [/mm]

n = 33,9  [mm]\approx 34[/mm]

Etwa im Jahre 2007 würde ein Jahres-Brutto-Einkommen von 1 Million DM erzielt.

Bezug
                
Bezug
Geometrische Reihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:07 So 11.09.2005
Autor: NoClue84

Danke. Wie stellt man im letzten Fall nochmal nach n um?

Bezug
                        
Bezug
Geometrische Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:31 So 11.09.2005
Autor: Josef

Hallo,

[mm] a_n [/mm]  = [mm] a_1 [/mm] * [mm] q^{n-1} [/mm]

[mm]\bruch{a_n}{a_1} = q^{n-1}[/mm]



Bezug
                                
Bezug
Geometrische Reihen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:17 So 11.09.2005
Autor: Markus_s

Ich glaube er meinte wie es dann weiter geht.

[mm]n = log (q) (\bruch{a_n}{a_1})+1[/mm]

Oder so ähnlich...

Bezug
                                        
Bezug
Geometrische Reihen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:07 So 11.09.2005
Autor: Josef

Hallo Markus-s,

muss nicht wie folgt umgestellt werden:

(n-1)*log 1,12 = log [mm]\bruch{a_n}{a_1}[/mm]



oder direkt nach n aufgelöst:

n = {log[ [mm] (a_n)/(a_1]/log [/mm] 1,12} + 1


ich kann den mehrfachen Doppelbruch leider nicht darstellen.

Bezug
                                                
Bezug
Geometrische Reihen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:36 So 11.09.2005
Autor: Markus_s

So kann man es auch schreiben.

Ich meinte mit [mm]log (q)[/mm] gleich den zur Basis q. Die exakte Schreibweise habe ich auf die Schnelle nicht gefunden, bzw sie ist mir auch nicht mehr bekannt ;-)

Gruß

Markus

Bezug
                                
Bezug
Geometrische Reihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:38 So 11.09.2005
Autor: NoClue84

Sorry, ich bin in Mathe noch'n bisschen eingerostet deswegen die frage wie ich den Exponente (n-1) von q lösen.

Könntest du den kompletten rechenweg aufschreiben bzw. die schritte wo man dann noch n auflöst?

Bezug
                                        
Bezug
Geometrische Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:18 So 11.09.2005
Autor: Josef

Hallo Noclue84,

[mm] 24.000*1,12^{n-1} [/mm] = 1.000.000

[mm] 1,12^{n-1} [/mm] = [mm]\bruch{1.000.000}{24.000}[/mm]

[mm] 1,12^{n-1} [/mm] = 41,6666

(n-1)*log 1,12 = log 41,6666

(n-1) = [mm]\bruch{log 41,6666}{log 1,12}[/mm]

(n-1) = [mm]\bruch{1,61978}{0,049218}[/mm]

n-1 = 32,91

n = 33,91

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