Geometrische Reihen und Folgen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:01 Mo 26.09.2005 | | Autor: | roko79 |
Hallöchen zusammen,
bin zwar neu hier im Forum, aber nciht ohne Probleme in meinem "lieblingsfach" Mathe :)
Also wir beschäftigen uns zur Zeit, warum auch immer(?) :), mit den geometrischen folgen. Habe hier auch eine Beispielaufgabe die ich gedacht habe gelöst zu haben, doch dann völlig schockiert war das es nciht so ist. Dabei ist sie wirkclih nciht schwer, nur muß ich irgendwo einen kleinen Denkfehler machen. Also hier mal die Aufgabe:
Wir haben vorgegeben diese Werte:
< [mm] a_{n} [/mm] > = <25, 125, 625, ..., 78125>
Die Aufgabe ist, die Anzahl der Glieder dieser Folge herauszufinden. Also ganz logisch für mich das n gesucht ist.
So ist also für mich gegeben:
a1 = 25
an = 78125
q = 5
n = gesucht
So, die Formel für die Reihe wäre ja: [mm] a_{n} [/mm] = [mm] a_{1} [/mm] * [mm] q^{n-1}
[/mm]
Daraus wird dann, weil ich ja n suche: n = (log an - log a1 / log q) + 1
Sorry, der formeleditor wollte diese sache nich haben.
In der Rechnung ergibt das dann für mich: n = (log78125 - log25 / log5) + 1
DAs Ergebnis dieser Aufg. ist dann 6. So da dachte ich schon die Lösung zu haben doch dann rechnete ich nach und schau einer an, die Lösung muß 7 sein.
Wo mache ich nun meinen Fehler? Oder vergess ich nur irgendwas?
Bitte um Hilfe ... danke
Ronny
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
Tatsächlich ist [mm] $5^7=78125$. [/mm] Deshalb hast du aber noch nicht $5$ Folgenglieder.
Es gilt ja [mm] $a_n=a_1\cdot q^{n-1}$. [/mm] Dass $q=5$ erhältst du durch [mm] $\bruch{a_2}{a_1}=\bruch [/mm] {125}{25}=5$. Also gilt: [mm] $a_n=25\cdot 5^{n-1}$. [/mm] Damit ist das $n$, das $78125$ erzeugt, gleich $6$, denn [mm] $78125=5^7=5^2\cdot 5^7=25\cdot 5^{6-1}$...
[/mm]
Du hast deine Aufgabe also richtig gerrechnet, nur die Probe war falsch... 
Gruß, banachella
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:25 Mo 26.09.2005 | | Autor: | roko79 |
Zuersteinmal muß ich mich echt für die rasche Antwort bedanken. Echt prima. Doch dann muß ich gleich noch mal was dazu fragen :)
Wenn ich nun nämlich mit meinem Ergebniss weiter rechnen will, also dem "n" und mit diesem "n" dann die Gesamtsumme der Folge ausrechnen möchte, die ja 97650 sein müsste, kann ich doch aber mit dem errechnet "n=6" kein richtiges Ergebnis bekommen oder? Muss ich da 1 dazuaddieren? Und wenn ja warum?
danke
Ronny
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Hallo!
> Zuersteinmal muß ich mich echt für die rasche Antwort
> bedanken. Echt prima.
Gern geschehen!
> Doch dann muß ich gleich noch mal was
> dazu fragen :)
 Das ist irgendwie meistens so...
Tatsächlich ist [mm] $5^2 [/mm] + [mm] 5^3 [/mm] + [mm] 5^4 [/mm] + [mm] 5^5 [/mm] + [mm] 5^6 [/mm] + [mm] 5^7=97650$. [/mm] Und es gilt auch:
[mm] $\summe_{n=1}^6 a_n= \summe_{n=1}^6 25\cdot 5^{n-1}=25\cdot \summe_{n=0}^5 5^n=25\cdot \bruch{5^6-1}{5-1}=97650$...
[/mm]
Dabei habe ich diese Formel benutzt: [mm] $\summe_{k=0}^nq^k=\bruch{q^{n+1}-1}{q-1}$. [/mm] Kennst du diese Formel? Sonst liefere ich den Beweis gerne nach...
Gruß, banachella
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:06 Mo 26.09.2005 | | Autor: | roko79 |
Genau, jetzt hab ich es auch :)
Also irgendwie hatte ich in die Formel noch ein -1 nicht das n reinerfunden. Leigt wohl daran, das ich die [mm] a_{n} [/mm] Fromel dabei ständig im Kopf hatte. :)
Ist ist aber alles prima und alles super bestens. Zumindest für heute. Muss mich morgen unbedingt noch mit Konvergenz, Grenzwert und Monotonie beschäftigen :)
Unser Mathelehrer ist nämlich einer von dehnen, die gerne schweigen und die Schüler sich selbst das lernen überlassen. :) mal sehen was draus wird ;)
Danke auf alle fälle für deine hilfe
Ronny
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