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| Aufgabe | Eine Eigenschaft des geordneten Körpers:
[mm] x^2 [/mm] = x * [mm] x\ge [/mm] 0
Beweise die Aussage (ganz kurz) |
Hallo, schönen Dienstag!
Fallunterscheidung
-> x = 0, klar 0 * 0 =0
-> x > 0, x * x > 0 (was soll ich da zeigen?)
-> x< 0, heißt -x > 0, (was mach ich da?)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Servus, also ich hab nach langen Suchen etwas im Buch gefunden:
x>0 => x * x [mm] \ge [/mm] x * 0 => [mm] x^2 [/mm] > 0
x<0 => (-x) * (-x) [mm] \le [/mm] (-x) * 0 => [mm] x^2 [/mm] >0
warum wird 0 mit x bzw. -x multipliziert.?? Verstehe nicht genau- wie ich darauf komme!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:44 Di 18.10.2011 | | Autor: | tobit09 |
Es wäre schön, wenn du verraten würdest, wie bei euch geordneter Körper definiert ist. Sonst kann man (auch bei deiner weiteren Frage im anderen Thread) schwer weiterhelfen.
> Servus, also ich hab nach langen Suchen etwas im Buch
> gefunden:
>
> x>0 => x * x [mm]\ge[/mm] x * 0 => [mm]x^2[/mm] > 0
>
> x<0 => (-x) * (-x) [mm]\le[/mm] (-x) * 0 => [mm]x^2[/mm] >0
Das sollte in der unteren Zeile wohl $>$ oder [mm] $\ge$ [/mm] statt [mm] $\le$ [/mm] heißen.
> warum wird 0 mit x bzw. -x multipliziert.?? Verstehe nicht
> genau- wie ich darauf komme!
In der oberen Zeile: Um [mm] $x\cdot [/mm] x>0$ zu zeigen, ist die Idee im Buch zunächst [mm] $x\cdot x>x\cdot [/mm] 0$ zu zeigen. Und [mm] $x\cdot [/mm] 0$ ist ja 0.
Ob die Buchlösung für deine Zwecke hilfreich ist, hängt davon ab, ob die Definition eines geordneten Körpers dort zu eurer Definition passt. Daher noch mal die Bitte: Verrate uns deine Definition.
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Warte also hab doch ein vorzeichen falsch .=> (-x) * (+x) [mm] \le [/mm] 0
ich hab nochmals wo anders nachgeschaut dort steht
x > 0, so gilt [mm] x^2 [/mm] = x * x > 0 wegen O2
O2 besagt: aus a [mm] \le [/mm] b und c > 0 folgt ac [mm] \le [/mm] bc
Für x < 0 ist -x > 0 und [mm] x^2 [/mm] = (-x) * (-x) > 0
Kannst du mir das erklären?
Def. Körpers
Sei K Körper mit Ordnungsrelation /le so dass ein Körper totalgeordnet ist und
1) aus a [mm] \le [/mm] folgt stehts a+c [mm] \le [/mm] b + c für alle c aus K
2) aus a [mm] \le [/mm] b und c > 0 folgt ac [mm] \le [/mm] bc
Dann K geordneter Körper
Dann haben wir eben noch die Rechenregeln, die ich gerade zu beweisen versuche!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:32 Di 18.10.2011 | | Autor: | tobit09 |
> O2 besagt: aus a [mm]\le[/mm] b und c > 0 folgt ac [mm]\le[/mm] bc
Also genau Bedingung 2) aus eurer Definition!
> ich hab nochmals wo anders nachgeschaut dort steht
> x > 0, so gilt [mm]x^2[/mm] = x * x > 0 wegen O2
Es gilt [mm] $0=0\cdot x\le x\cdot [/mm] x$, wobei letztere Ungleichung wegen Bedingung 2) mit $a=0$ und $b=c=x$ folgt.
> O2 besagt: aus a [mm]\le[/mm] b und c > 0 folgt ac [mm]\le[/mm] bc
>
> Für x < 0 ist -x > 0 und [mm]x^2[/mm] = (-x) * (-x) > 0
Dass aus $x<0$ tatsächlich [mm] $-x\ge0$ [/mm] folgt, sieht man mit Bedingung 1) mit $a=x$, $b=0$ und $c=-x$: Sie liefert [mm] $x+(-x)\le [/mm] 0+(-x)$, also [mm] $0\le [/mm] -x$.
Da [mm] $-x\ge0$ [/mm] ist, gilt [mm] $(-x)^2\ge0$: [/mm] Denn für alle Körperelemente [mm] $y\ge0$ [/mm] haben wir ja schon gezeigt haben, dass [mm] $y^2\ge0$. [/mm] Nun ist aber [mm] $(-x)^2=(-x)\cdot(-x)=x\cdot x=x^2$. [/mm] Also erhalten wir tatsächlich [mm] $x^2\ge0$!
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:09 Mi 19.10.2011 | | Autor: | theresetom |
DANKE, VERSTANDEN ;))
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