Geordnete Körper - Dreiecksgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:57 Mo 15.11.2004 | | Autor: | DeusRa |
Hallo, ich habe folgende Aufgabe erhalten, und komme momentan auf keinen vernünftigen Ansatz, da wir die sogenannte Dreiecksgleichung noch nicht gemacht haben, jedoch schon ne Aufgabe rechnen sollen.
Beweise für einen geordneten Körper K die Ungleichung
| |x|-|y| | [mm] \le [/mm] |x-y|
für alle x,y [mm] \in [/mm] K.
Danke schon mal für die Hilfe.
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:14 Mo 15.11.2004 | | Autor: | zwerg |
Moin deusra!
schau dir das mal an
[mm] |x|=|x-y+y|\ge [/mm] |x-y|+|y| [mm] \to |x|-|y|\ge [/mm] |x-y|
desweiteren gilt
wenn [mm] |a|-|b|\ge [/mm] |k-l| und [mm] |b|-|a|\ge [/mm] |k-l| dann auch [mm] ||a|-|b||\ge [/mm] |k-l|
also mußt du noch zeigen, das [mm] |y|-|x|\ge [/mm] |x-y|
funktioniert wie bei x benutze dabei die Symmetrie des Betrages also:
|y-x|=|x-y|
MfG zwerg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:56 Mo 15.11.2004 | | Autor: | DeusRa |
Hey, jo schon mal danke.
Jedoch habe ich zwei Sachen nicht verstanden:
1. Ich habe folgende Gleichung aufgeschrieben:
||x|-|y|| [mm] \le [/mm] |x-y|
und du hast das [mm] \le [/mm] auf [mm] \ge [/mm] gewechselt. Wieso ?
2. Wo kommt das |k-1| her ???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:00 Di 16.11.2004 | | Autor: | zwerg |
Moin nochmal!
einfach ne Verwechslung der Codezeichen es muß natürlich [mm] \le
[/mm]
heißen tausch es einfach aus. Die Lösung wäre mit [mm] \ge [/mm] auch falsch.
Das mit den |k-l| is nur ein Hinweis damit du weißt wie sowas gezeigt wird will dir doch nich den Spaß nehmen indem ich dir ne komplette Lösung präsentiere. Wäre ja auch nich Sinn und Zweck dieser Übung.
Danke für den Hinweis und auch sorry
MfG zwerg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:14 Di 16.11.2004 | | Autor: | DeusRa |
So, ich habe ein bissl über diese Aufgabe nachgedacht, und bin zum folgendem Ansatz gekommen. Vielleicht kann das jemand auf Richtigkeit prüfen.
- Ich habe mir überlegt die Gleichung in 4 Fälle aufzuteilen.
1.Fall: x>0 und y>0
2.Fall: x<0 und y>0
3.Fall: x>0 und y<0
4.Fall: x<0 und y<0
so, und wenn bei allen Fällen das selbe rauskommt, dann muss die Ungleichung stimmen:
Beweis von 1.Fall:
Sei x>0 und y>0 [mm] \Rightarrow
[/mm]
|x-y| [mm] \le [/mm] |x-y| <=> x-y [mm] \le [/mm] x-y <=> x=x und y=y.
Beweis von 2.Fall:
Sei x<0 und y>0 [mm] \Rightarrow
[/mm]
||x|-y| [mm] \le [/mm] |x-y| <=> |x|-y [mm] \le [/mm] x-y <=> |x| [mm] \le [/mm] x <=> ||x|| [mm] \le [/mm] |x| und y=y.
Beweis von 3.Fall:
Sei x>0 und y<0 [mm] \Rightarrow
[/mm]
|x-|y|| [mm] \le [/mm] |x-y| <=> x-|y| [mm] \le [/mm] x-y <=> x [mm] \le [/mm] x-y+|y| <=> x [mm] \le [/mm] x-y+y <=>
x [mm] \le [/mm] x <=> |x| [mm] \le [/mm] |x| und y=y.
Beweis von 4.Fall:
Sei x<0 und y<0 [mm] \Rightarrow
[/mm]
||x|-|y|| [mm] \le [/mm] |x-y| <=> |x|-|y| [mm] \le [/mm] x-y <=> |x| [mm] \le [/mm] x-y+|y| <=>
|x| [mm] \le [/mm] x-y+y <=> |x| [mm] \le [/mm] x <=> ||x|| [mm] \le [/mm] |x| <=> |x| [mm] \le [/mm] x und y=y.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 04:31 Di 16.11.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo DeusRa,
> So, ich habe ein bissl über diese Aufgabe nachgedacht, und
> bin zum folgendem Ansatz gekommen. Vielleicht kann das
> jemand auf Richtigkeit prüfen.
>
> - Ich habe mir überlegt die Gleichung in 4 Fälle
> aufzuteilen.
> 1.Fall: x>0 und y>0
> 2.Fall: x<0 und y>0
> 3.Fall: x>0 und y<0
> 4.Fall: x<0 und y<0
Das würde ich nicht!
Deine Beweise enthalten einige Fehler, mal abgesehen davon, dass du > anstatt [mm] $\ge$ [/mm] etc. schreibst und deshalb alle Fälle mit $=0$ zusätzlich untersuchen müßtest. Zu den Fehlern:
> Beweis von 1.Fall:
> Sei x>0 und y>0 [mm]\Rightarrow
[/mm]
> |x-y| [mm]\le[/mm] |x-y| <=> x-y [mm]\le[/mm] x-y <=> x=x und y=y.
Hier weiß man nicht, worauf du hinaus willst. Wenn schon, dann argumentiere so (und ersetze > durch [mm] $\ge$):
[/mm]
Wegen $x [mm] \ge [/mm] 0$, $y [mm] \ge [/mm] 0$ gilt $|x|=x$ und $|y|=y$, und damit folgt:
$||x|-|y||=|x-y| [mm] \le [/mm] |x-y|$, also die Behauptung.
> Beweis von 2.Fall:
> Sei x<0 und y>0 [mm]\Rightarrow
[/mm]
> ||x|-y| [mm]\le[/mm] |x-y| <=> |x|-y [mm]\le[/mm] x-y
Diese Äquivalenz glaube ich nicht:
$x=-2$ und $y=5$ liefert nämlich:
$||-2|-5|=3 [mm] \le [/mm] |-2-5|=7$, was sicherlich stimmt, aber die andere Ungleichung:
$|x|-y [mm] \le [/mm] x-y$ stimmt dann nicht, da:
[mm] $|-2|-5=-3\, \red{\ge} [/mm] -2-5=-7$
> <=> |x| [mm]\le[/mm] x
Seit wann gilt denn für $x<0$ die Ungleichung $|x| [mm] \le [/mm] x$??? Wenn das gelten würde, dann würde das ja heißen (weil $|x| [mm] \ge [/mm] 0$ [mm] $\forall [/mm] x [mm] \in [/mm] K$ gilt (und deswegen gilt auch [mm] $|x|\ge [/mm] x$ [mm] $\forall [/mm] x [mm] \in [/mm] K$, aber das nur nebenbei)):
$x < 0 [mm] \le [/mm] |x| [mm] \le [/mm] x$, was gar nicht sein kann!
Um noch mehr zu kontrollieren, bin ich nun zu müde. Vor allem blicke ich bei deinen Beweisen oft nicht durch, woraus du was folgerst und du benutzt auch die Äquivalenzzeichen, ohne beide Richtungen zu kontrollieren
(Erinnerung: Sind $A$ und $B$ Aussagen, so heißt $A$ äquivalent zu $B$ (im Zeichen $A [mm] \gdw [/mm] B$), falls aus der Gültigkeit von $A$ die Gültigkeit von $B$ folgt (d.h. $A [mm] \Rightarrow [/mm] B$) und falls aus der Gültigkeit von $B$ die Gültigkeit von $A$ folgt (d.h. $B [mm] \Rightarrow [/mm] A$).)
Wie wäre es denn, wenn du mal den Tipp benutzt:
Gezeigt wurde:
[mm] $(\star_1)$ $|x|-|y|\le [/mm] |x-y|$ [mm] $\forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] K$
Analog zeigt man, dass:
[mm] $(\star_2)$ [/mm] $|y|-|x| [mm] \le [/mm] |x-y|$ [mm] $\forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] K$ (Probier das mal).
Damit gilt:
1. Fall: [mm] $|x|-|y|\ge [/mm] 0$. Dann gilt:
$||x|-|y||=|x|-|y|$
2. Fall: $|x|-|y| [mm] \le [/mm] 0$. Dann gilt:
$||x|-|y||=|y|-|x|$
Wie erhält man nun mit [mm] $(\star_1)$ [/mm] bzw. [mm] $(\star_2)$ [/mm] jeweils die Behauptung?
Wieso gilt [mm] $(\star_2)$?
[/mm]
Probier es mal!
Viele Grüße,
Marcel
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