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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:41 Mi 08.08.2012 | | Autor: | Axiom96 |
| Aufgabe | Es seien $x, y$ Elemente eines geordneten Körpers. Man beweise:
Es gilt [mm]x |
Hallo,
und Verzeihung, dass ich schon wieder Hilfe benötige, aber zum Thema Körper ist es das letzt mal, denn alle anderen Aufgaben habe ich gelöst.
Es wäre also nett, wenn mir nochmal jemand einen kleinen Anstoß liefern könnte.
Vielen Dank dafür.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:48 Mi 08.08.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Es gilt doch:
[mm] y^{3}=y\cdot y\cdot y=y\cdot(y\cdot y)>x\cdot(y\cdot y)=x\cdot y\cdot y=(x\cdot y)\cdot y>(x\cdot y)\cdot x=(x\cdot x)\cdot y>(x\cdot x)\cdot x=x^{3} [/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:16 Mi 08.08.2012 | | Autor: | Axiom96 |
> Hallo
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> Es gilt doch:
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> [mm]y^{3}=y\cdot y\cdot y=y\cdot(y\cdot y)>x\cdot(y\cdot y)=x\cdot y\cdot y=(x\cdot y)\cdot y>(x\cdot y)\cdot x=(x\cdot x)\cdot y>(x\cdot x)\cdot x=x^{3}[/mm]
>
> Marius
>
Der Schritt $(x*y)*y>(x*y)*x$ ist mir unklar. Ich habe den Satz: Seien $x,y,z$ Elemente eines geordneten Körpers. Aus $x<y$ und $z<0$ folgt dann: $x*z>y*z$ . Aus $x<0<y$ folgt ja $x<y$, $x<0<y$ erfüllt also die Vorraussetzung des zu beweisenden Satzes. Daraus folgt aber auch $x*y<0$. Wenn ich jetzt $z=x*y$ setze, erhalte ich: Aus $x<y$ und $x*y<0$ folgt: $x*(x*y)>y*(x*y)$. So kann es also eigentlich nicht funktionieren.
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:51 Mi 08.08.2012 | | Autor: | teo |
Hallo, Marius wendet hier doch einfach nur die Gesetze an, die in einem Körper gelten:
> >
> > [mm]y^{3}=y\cdot y\cdot y=y\cdot(y\cdot y) >x\cdot(y\cdot y) [/mm] (Voraussetzung) [mm]=x\cdot y\cdot y=(x\cdot y)\cdot y[/mm] (Assoziativgesetz) [mm]>(x\cdot y)\cdot x [/mm] (Vor.)[mm] =(x\cdot x)\cdot y [/mm] (Kommutativgesetz) [mm] >(x\cdot x)\cdot x=x^{3}[/mm]
> >
> > Marius
> >
> Der Schritt [mm](x*y)*y>(x*y)*x[/mm] ist mir unklar. Ich habe den
> Satz: Seien [mm]x,y,z[/mm] Elemente eines geordneten Körpers. Aus
> [mm]xy*z[/mm] . Aus [mm]x<0
> [mm]x<0
> Satzes. Daraus folgt aber auch [mm]x*y<0[/mm]. Wenn ich jetzt [mm]z=x*y[/mm]
> setze, erhalte ich: Aus [mm]x
> [mm]x*(x*y)>y*(x*y)[/mm]. So kann es also eigentlich nicht
> funktionieren.
>
> LG
Was ist wenn bei deiner Argumentation x<y<0 gilt? Also wahrscheinlich muss man eine Fallunterscheidung machen. Eben x<y<0; x<0<y und 0<x<y. Kann mich aber auch täuschen, ich lasse die Frage mal halb beatwortet.
Grüße
Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:00 Do 09.08.2012 | | Autor: | Axiom96 |
Hallo teo, du hast Recht, mit Fallunterscheidung sollte es gehen.
Ich unterscheide drei Fälle: [mm] 1.$0\le [/mm] x<y$, [mm] 2.$x<0\le [/mm] y$, 3.$x<y<0$. So sollten eigentlich alle möglichen Fälle für x<y erfasst sein. Dann folgt:
1. [mm] $x^3=x*x*x=(x*x)*x\le (x*x)*y=x*(x*y)\le y*(x*y)=y*x*y=y*y*x=(y*y)*x<(y*y)*y=y*y*y=y^3$
[/mm]
2. [mm] $x^3=x*x*x=x*(x*x)=x*x^2<0\le y*y^2=y*(y*y)=y*y*y=y^3$
[/mm]
[mm] 3.$x-y^3 \gdw y^3-x^3>0 \gdw y^3>x^3$
[/mm]
Vielen Dank für den Hinweis mit der Fallunterscheidung, so sollte es ja jetzt bewiesen sein.
LG
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