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| Aufgabe | | Bestimmen Sie (mit Herleitung) alle [m]a, b \in \IR[/m], für die die Gerade [m]\begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} a \\ b \\ 3 \end{pmatrix}[/m] senkrecht zur Ebene [m]\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 8 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 9 \end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}[/m] liegt. |
Hallo zusammen.
Also...
Gegeben: Gerade [m]g[/m] mit [m]g: \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} a \\ b \\ 3 \end{pmatrix} ,[/m] Ebene [m]p[/m] mit [m]p: \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 8 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 9 \end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}[/m] mit Richtungsvektoren [m]\vec r_g , \vec r_p, \vec s_p[/m]
[m]\vec r_g = \begin{pmatrix} a \\ b \\ 3 \end{pmatrix}, \vec r_p = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 9 \end{pmatrix}, \vec s_p = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}[/m]
Gesucht: alle [m]a,b \in \IR[/m]
Es gilt: Der Richtungsvektor der Gerade muss senkrecht auf dem Normalenvektor [m]\vec n_p[/m] (berechnet aus den beiden Richtungsvektoren der Ebene [m]\vec r_p \times \vec s_p[/m]) sein. Also [m]\vec r_g \perp \vec n_p \gdw \vec r_g * \vec n_p = 0[/m] Ist das korrekt?
Berechnung Normalenvektor mit Kreuzprodukt
[m]\vec n_p = \vec r_p \times \vec s_p = \begin{pmatrix} 9 \\ 18 \\ -7 \end{pmatrix}[/m]
Und somit [m]\vec r_g * \vec n_p = 0[/m], also gilt:
[m]\begin{pmatrix} a \\ b \\ 3 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 9 \\ 18 \\ -7 \end{pmatrix} = 0 \gdw 9a + 18b - 21 = 0 \gdw 3a + 6b -7 = 0[/m]
So, angenommen... alles ist korrekt, was ich hier rechne... wie mache ich hier weiter? :)
Vielen Dank für Eure Tipps/Ratschläge!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:54 Di 29.04.2014 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Bestimmen Sie (mit Herleitung) alle [m]a, b \in \IR[/m], für die
> die Gerade [m]\begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} a \\ b \\ 3 \end{pmatrix}[/m]
> senkrecht zur Ebene [m]\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 8 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 9 \end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}[/m]
> liegt.
> Hallo zusammen.
>
> Also...
>
> Gegeben: Gerade [m]g[/m] mit [m]g: \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} a \\ b \\ 3 \end{pmatrix} ,[/m]
> Ebene [m]p[/m] mit [m]p: \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 8 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 9 \end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}[/m]
> mit Richtungsvektoren [m]\vec r_g , \vec r_p, \vec s_p[/m]
>
> [m]\vec r_g = \begin{pmatrix} a \\ b \\ 3 \end{pmatrix}, \vec r_p = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 9 \end{pmatrix}, \vec s_p = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}[/m]
>
> Gesucht: alle [m]a,b \in \IR[/m]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Es gilt: Der Richtungsvektor der Gerade muss senkrecht auf
> dem Normalenvektor [m]\vec n_p[/m] (berechnet aus den beiden
> Richtungsvektoren der Ebene [m]\vec r_p \times \vec s_p[/m]) sein.
> Also [m]\vec r_g \perp \vec n_p \gdw \vec r_g * \vec n_p = 0[/m]
> Ist das korrekt?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Der Normalenvektor der Ebene steht senkrecht zur Ebene (wie der Name
schon sagt) und wie aus der Berechnung aus dem Kreuzprodukt der
beiden Richtungsvektoren der Ebene hervorgeht.
Ist der Richtungsvektor der Gerade parallel zum Normalenvektor der Ebene,
[mm] ($\vec r_g [/mm] = [mm] \alpha*\vec n_p$, $\alpha \in \IR$ [/mm] )
so ist die Gerade senkrecht zur Ebene.
>
> Berechnung Normalenvektor mit Kreuzprodukt
>
> [m]\vec n_p = \vec r_p \times \vec s_p = \begin{pmatrix} 9 \\ 18 \\ -7 \end{pmatrix}[/m]
[mm] $\vec n_p [/mm] = [mm] \vektor{9 \\ 18 \\ -9 }$
[/mm]
>
> Und somit [m]\vec r_g * \vec n_p = 0[/m], also gilt:
>
> [m]\begin{pmatrix} a \\ b \\ 3 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 9 \\ 18 \\ -7 \end{pmatrix} = 0 \gdw 9a + 18b - 21 = 0 \gdw 3a + 6b -7 = 0[/m]
>
> So, angenommen... alles ist korrekt, was ich hier rechne...
> wie mache ich hier weiter? :)
>
> Vielen Dank für Eure Tipps/Ratschläge!
Gruß
meili
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Guten Morgen melli,
aber ist es nicht schon das, was ich getan habe?
Ich möchte doch alle a,b [mm] \in \IR [/mm] bestimmen, für die die Gerade senkrecht zur Ebene liegt.
Freue mich auf deine Antwort.
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> Guten Morgen melli,
>
> aber ist es nicht schon das, was ich getan habe?
Hallo,
nein.
In Deinen Überlegungen gab es einen wesentlichen Denkfehler, den auch meili für Dich aufgespürt hatte:
Du möchtest es so haben, daß die Gerade senkrecht zur Ebene ist.
Also muß ihr Richtungsvektor senkrecht zur Ebene sein.
Senkrecht zur Ebene ist auch der Normalenvektor der Ebene.
Also müssen Richtungsvektor der Geraden und der Normalenvektor der Ebene parallel sein und nicht etwa senkrecht zueinander!
LG Angela
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> Ich möchte doch alle a,b [mm]\in \IR[/mm] bestimmen, für die die
> Gerade senkrecht zur Ebene liegt.
>
> Freue mich auf deine Antwort.
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Hi,
ok nochmal kurz zusammengefasst.
Gesucht sind alle [m]a, b \in \IR[/m] mit [m]g \perp p[/m]
Damit gilt: [m]g \perp p \gdw \vec r_g \parallel (\vec r_p \times \vec s_p) \gdw \vec r_g \parallel \vec n_p[/m]
Der Normalenvektor [m]\vec n_p[/m] berechnet sich wie oben aus dem Kreuzprodukt beider Richtungsvektoren der Ebene p, also ist [m]\vec n_p = \begin{pmatrix} 9 \\ 18 \\ -9 \end{pmatrix}[/m]
Damit die o.g. Bedingung ([m]\vec r_g \parallel \vec n_p[/m]) erfüllt wird, muss gelten, dass [m]a=-3, \, b = -6[/m] sind.
Bin darauf gekommen, als ich mir die beiden Vektoren nebeneinander geschrieben habe... Es gilt ja: Zwei Vektoren sind parallel, wenn Sie Vielfache voneinander sind
[m]\begin{pmatrix} a \\ b \\ -9 \end{pmatrix} \parallel \begin{pmatrix} 9 \\ 18 \\ 9 \end{pmatrix}[/m]
Angenommen, die dritte Komponente des Richtungvektors der Geraden sei [m]c[/m], dann ist [m]c = -9/3 = -3[/m] Dies muss dann mein Faktor bzw. Divisor für die anderen beiden Komponenten sein, also [m]b = 18/(-3) = -6, \, c = 9/(-3) = -3[/m]
Wenn das alles so stimmt, wie schreibe ich dann die Lösungsmenge auf?
Vielen Dank im voraus für Eure Tipps!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:01 Mo 05.05.2014 | | Autor: | chrisno |
Du hast ein a und ein b. Die setzt Du in die Geradengleichung ein und schreibst: Das ist die gesuchte Gerade.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:56 Mo 05.05.2014 | | Autor: | rabilein1 |
Muss man das unbedingt mit dem Kreuzprodukt machen?
Ich hätte es eher mit dem Skalarprodukt gemacht:
Zwei Vektoren, die senkrecht zueinander stehen, haben das Skalarprocukt NULL
Dann bekommt man 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten. Das ist dann schnell lösbar.
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Moin,
> Muss man das
Was denn genau?
> unbedingt mit dem Kreuzprodukt machen?
> Ich hätte es eher mit dem Skalarprodukt gemacht
> Zwei Vektoren, die senkrecht zueinander stehen, haben das
> Skalarprocukt NULL
>
> Dann bekommt man 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten. Das ist
> dann schnell lösbar.
Klar funktioniert Dein Lösungsweg auch.
Welchen man bevorzugt, ist Geschmacksache - und natürlich auch abhängig davon, was einem als erstes einfällt.
LG Angela
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