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| Aufgabe | Gegeben sind die drei Geraden:
[mm] g1=\begin{Bmatrix} \vec x\in\IR^3 I \vec x= \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix} + Lambda \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix} , Lambda \in\IR \end{Bmatrix}
[/mm]
[mm] g2=\begin{Bmatrix} \vec x\in\IR^3 I \vec x= \begin{pmatrix} 12 \\ -4 \\ 3 \end{pmatrix} + Lambda \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} , Lambda \in\IR \end{Bmatrix}
[/mm]
[mm] g3=\begin{Bmatrix} \vec x\in\IR^3 I \vec x= \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix} + Lambda \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} , Lambda \in\IR \end{Bmatrix}
[/mm]
E1 und E2 seien zwei paralelle Ebenen, E1 enthalte g1 und E2 enthalte g2.
a) Begründen Sie, dass die Normalenvektoren von E1 und E2 senkrecht auf den Richtungsvektoren von g1 und g2 stehen. Bestimmen Sie die Normalenform der Ebenen E1 und E2. Geben Sie die Durchstoßpunkte der Koordinatenachsen von E2 an und konstruieren Sie daraus eine Parameterform von E2.
b) In welchem Winkel schneidet g3 die Ebenen E1 bzw. E2? Berechnen Sie ferner die Schnittpunkte von g3 und E1 und von g3 und E2. |
Hallo.
Ich benötige Hilfe bei der obigen Aufgabe.
Beginnen mir mit Aufgabe a) . Ich benötige einfach mal einen Ansatz wie ich loslegen muss.
Gruß
Matze
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Gegeben sind die drei Geraden:
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> [mm]g1=\begin{Bmatrix} \vec x\in\IR^3 I \vec x= \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix} , \lambda \in\IR \end{Bmatrix}[/mm]
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> [mm]g2=\begin{Bmatrix} \vec x\in\IR^3 I \vec x= \begin{pmatrix} 12 \\ -4 \\ 3 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} , \lambda \in\IR \end{Bmatrix}[/mm]
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> [mm]g3=\begin{Bmatrix} \vec x\in\IR^3 I \vec x= \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} , \lambda \in\IR \end{Bmatrix}[/mm]
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> E1 und E2 seien zwei paralelle Ebenen, E1 enthalte g1 und
> E2 enthalte g2.
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> a) Begründen Sie, dass die Normalenvektoren von E1 und E2
> senkrecht auf den Richtungsvektoren von g1 und g2 stehen.
> Bestimmen Sie die Normalenform der Ebenen E1 und E2. Geben
> Sie die Durchstoßpunkte der Koordinatenachsen von E2 an
> und konstruieren Sie daraus eine Parameterform von E2.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Leider gibtst Du keine Anhaltspunkte dafür, was Du kannst und wo Du scheiterst.
Welche Eigenschaft hat denn der Normalenvektor [mm] \vec{n} [/mm] einer Ebene E?
Was ist mit den Normalenvektoren zweier Ebenen, wenn sie parallel sind?
Jetzt solltest Du den Grund wissen dafür, daß die Normalenvektoiren [mm] \vec{n_i} [/mm] von [mm] E_i [/mm] senkrecht zu [mm] g_1 [/mm] und [mm] g_2 [/mm] sind.
Wenn Du das weißt, sollte Dir eine Berechnungsmöglichkeit für den Normalenvektor einfallen. Bedenke: es ist eine Vektor, der senkrecht zu den Richtungsvektoren von [mm] g_1 [/mm] und [mm] g_2 [/mm] ist. Welches Produkt kann man hier gebrauchen?
Hast Du den Normalenvektor, so kannst Du die Normalenform oder Koordinatenform der Ebenen ausfstellen. Wie sehen diese Formen aus, und was benötigt man dafür?
Durchstoßpunkte: Das sind ja die Punkte der Ebene, die gleichzeitig auf den Koordinatenachsen liegen. Damit kennst Du zwei ihrer Koordinaten.
Wenn Du dann drei Punkte hast, kannst Du daraus die Parameterform aufstellen. Du weißt wie die Parameterform aus drei Punkten entsteht?
Wenn Du Dir mithilfe Deiner Unterlagen (Schulbücher) diese Fragen beantwortest, wirst Du ein gewaltiges Stück vorwärtskommen.
Gruß v. Angela
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> b) In welchem Winkel schneidet g3 die Ebenen E1 bzw. E2?
> Berechnen Sie ferner die Schnittpunkte von g3 und E1 und
> von g3 und E2.
> Hallo.
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> Ich benötige Hilfe bei der obigen Aufgabe.
>
> Beginnen mir mit Aufgabe a) . Ich benötige einfach mal
> einen Ansatz wie ich loslegen muss.
>
> Gruß
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> Matze
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Hallo Angela.
Danke erstmal für die Antwort.
Also der Normalenvektor einer Ebene steht senkrecht zur Ebene.
Wenn zwei Ebenen paralell sind dann haben sie den gleichen normalenvektor bzw. ein Vielfaches davon.
Mein Problem ist einfach gerade mir vorzustellen wie es aussieht. Wenn eine Gerade eine Ebene schneidet dann ist mir klar wie es aussieht. Aber wie sieht es aus wenn eine Gerade in einer Ebene liegt? Heißt es das ich mir ein Blatt Papier als Ebene vorstelle dann auf dieses Papier eine Gerade male und sozusagen enthält diese Ebene dann die Gerade? Aber das würde doch heißen das Ebene und Gerade Parallel bzw identisch sind und es dann überhaupt keinen Durchstoßpunkt gibt?
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> Hallo Angela.
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> Danke erstmal für die Antwort.
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> Also der Normalenvektor einer Ebene steht senkrecht zur
> Ebene.
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> Wenn zwei Ebenen paralell sind dann haben sie den gleichen
> normalenvektor bzw. ein Vielfaches davon.
>
> Mein Problem ist einfach gerade mir vorzustellen wie es
> aussieht. Wenn eine Gerade eine Ebene schneidet dann ist
> mir klar wie es aussieht. Aber wie sieht es aus wenn eine
> Gerade in einer Ebene liegt? Heißt es das ich mir ein
> Blatt Papier als Ebene vorstelle dann auf dieses Papier
> eine Gerade male und sozusagen enthält diese Ebene dann
> die Gerade?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Genau so ist es, eine Ebene besteht aus unendlich vielen Geraden! Das ist ja der Sinn einer Ebene, dass sie sozusagen durch zwei Einheitsvektoren aufgespannt wird und du dann jeden beliebigen Punkt in dieser Ebene durch diese zwei Einheitsvektoren darstellen oder erreichen kannst. Wenn die Gerade also IN der Ebene liegt, so wie unendlich viele Geraden ebenfalls, die halt sozusagen in der selben Raumebene, z.B. mit selben z liegen, dann hat sie auch keinen Durchstoßpunkt!
> Aber das würde doch heißen das Ebene und
> Gerade Parallel bzw identisch sind und es dann überhaupt
> keinen Durchstoßpunkt gibt?
Klar sind sie identisch, wenn du damit meinst, dass die Gerade in der Ebene enthalten ist. Die Ebene ist aber keineswegs mit der Geraden identisch, sondern die Ebene ENTHÄLT die Gerade, aber auch unendlich viele andere.
Deshalb denke es dir so. Du hast zwei Blätter Papier, die du parallel hintereinander hälst mit einem beliebigen Abstand, so dass sie sich nicht berühren. Diese Ebenen seien [mm] E_1 [/mm] und [mm] E_2, [/mm] parallel aber nicht identisch. Dann sind sie auch deckungsgleich und haben den gleichen Normalenvektor, richtig? Wenn du einen Stift durch dein erstes Papier stichst, wirst du das zweite Papier dahinter im selben Winkel durchstoßen. Beide Papiere sind parallel und damit ist dein Stift als Normalenvektor orthogonal zu beiden. Jetzt kommt der Clou von a: Wenn g1 und g2 in dieser Ebene liegen, sind sie einfach sozusagen ein beliebiger Strich auf deinem Papier. Da du einen Vektor verschieben darfst, ohne dass er sich ändert, müssen die Geraden, die festgelegt sind, auch nicht direkt hintereinanderliegen, du kannst ja mit deinem Stift die erste Gerade durchstoßen und dann beim zweiten Papier den Stift verschieben, die Spitze aber gleich ausgerichtet lassen. So oder so, du kannst auf diese Weise mit dem gleichen Einheitsvektor beide Geraden exakt orthogonal durchstoßen, damit ist n von [mm] E_1 [/mm] und [mm] E_2 [/mm] identisch und orthogonal auf [mm] g_1 [/mm] und [mm] g_2
[/mm]
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Hallo Adamantin. Danke sehr gute Erklärung, den ersten Teil der Aufgabe habe ich verstanden.
Nun sollte ich ja den Normalenvektor der Ebene berechnen um auf die Gleichung zu kommen.
Dazu fällt mir das Kreuzprodukt ein richtig?
Dazu müsste ich ja das Kreuzprodukt der 2 Richtungsvektoren der Ebene bilden?
Nehme ich nun einfach einen Richtungsvektor der geraden g1, und wie komme ich an den zweiten?
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Hallo,
> Nun sollte ich ja den Normalenvektor der Ebene berechnen um
> auf die Gleichung zu kommen.
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> Dazu fällt mir das Kreuzprodukt ein richtig?
>
> Dazu müsste ich ja das Kreuzprodukt der 2
> Richtungsvektoren der Ebene bilden?
Richtig.
> Nehme ich nun einfach einen Richtungsvektor der geraden g1,
> und wie komme ich an den zweiten?
Du weißt, dass die beiden Ebene E1 und E2 parallel sind, und E1 die Gerade g1 enthält und E2 die Gerade g2.
Wenn die Ebene aber parallel sind, dann heißt dass, dass es eine Gerade in E1 gibt, die denselben Richtungsvektor hat wie die Gerade g2.
Damit hast du alles, was du für deine Ebene E1 brauchst:
- Ortsvektor: Ortsvektor der Geraden g1
- 2 Richtungsvektoren: Richtungsvektor der Geraden g1, Richtungsvektor der Geraden g2
(Achtung: Ich behaupte nicht, dass g2 in E1 liegt (das ist falsch!), ich sage nur, es gibt eine Gerade in E1, die denselben Richtungsvektor wie g2 hat)
Grüße,
Stefan
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Hallo steppenhahn,
also bilde ich jetzt mal das Kreuzprodukt aus
[mm] \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix} [/mm] x [mm] \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} -1 \\ -5 \\ 9 \end{pmatrix} [/mm] richtig?
Hätte cih auch einfach ein Vielfaches nehmen können vom Richtungsvektor von g2 also zum Beispiel [mm] \begin{pmatrix} -3 \\ 6 \\ 3 \end{pmatrix} [/mm] ?
Nun kann ich aber zuerst doch nur die Ebenengleichung in vektorieller Schreibweise aufstellen oder gehts auch anders?
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Hallo!
> Hallo steppenhahn,
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> also bilde ich jetzt mal das Kreuzprodukt aus
>
> [mm]\begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}[/mm] x [mm]\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
> = [mm]\begin{pmatrix} -1 \\ -5 \\ 9 \end{pmatrix}[/mm] richtig?
> Hätte cih auch einfach ein Vielfaches nehmen können vom
> Richtungsvektor von g2 also zum Beispiel [mm]\begin{pmatrix} -3 \\ 6 \\ 3 \end{pmatrix}[/mm]
> ?
Hättest du machen können. Ist aber nicht zu empfehlen, weil dann beim Vektorprodukt ganz schnell große Zahlen rauskommen.
> Nun kann ich aber zuerst doch nur die Ebenengleichung in
> vektorieller Schreibweise aufstellen oder gehts auch
> anders?
Was meinst du mit vektorieller Schreibweise ? Du kennst jetzt den Normalenvektor deiner Ebene, er lautet [mm] \begin{pmatrix} -1 \\ -5 \\ 9 \end{pmatrix}, [/mm] damit kannt du jetzt eigentlich so gut wie jede Ebenenform in Sekundenschnelle aufstellen.
Grüße,
Stefan
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Ok also die Normalenform ist ja [mm] E:(\vec x-\vec [/mm] p) * [mm] \vec [/mm] n
Was war hier nochmal p?
Der Stützvektor oder? Also der Ortsvektor der Geraden?
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Hallo Matze2009,
> Ok also die Normalenform ist ja [mm]E:(\vec x-\vec{ p}) * \vec{ n}\red{= 0}[/mm]
Das soll doch eine Gleichung sein!
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> Was war hier nochmal p?
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> Der Stützvektor oder? Also der Ortsvektor der Geraden?
ja, der Ortsvektor zum Aufhängepunkt der Ebene.
Gruß informix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:41 So 22.11.2009 | | Autor: | Matze2009 |
Ok danke schön erstmal informix.
Ich brauch jetzt erstmal ne Pause Stundenlang an 2 Aufgaben zu hängen macht einen fertig hehe. Aber immerhin schon eine gelöst.
Ich meld mich morgen wieder
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