Gerade Koordf. aus Punkten < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie für die Gerade durch die Punkte:
[mm] \vektor{-5\\0}=P; \vektor{0\\3}=Q [/mm] den Normalenvektor mit [mm] \wurzel{n_{1}^2+n_{2}^2}=1 [/mm] und [mm] n_{2}\ge [/mm] 0. |
Guten Abend.
Ich schaue mir gerade etwas Oberstufenstoff an, den ich selbst in Mathe nicht hatte und bin dabei auf die obige Aufgabe gestoßen.
Mein derzeitiger Ansatz, so wie ich es verstanden habe:
Wie eine Ebene kann auch eine Gerade durch den Normalenvektor eines jeden Punktes auf der Ebene/Gerade beschrieben werden.
Die Punkte P und Q liegen auf der Geraden G beschreiben aber keinen Vektor, der auf der Geraden G liegt.
Daher folgt für einen Richtungsvektor auf der Geraden G:
[mm] \textbf{u}=\overrightarrow{PQ}=\vektor{0--5\\3-0}=\vektor{5\\3}
[/mm]
Zu diesem Vektor müsste man p.D einen orthogonalen Vektor finden, wenn das Skalarprodukt 0 wird.
[mm] \vektor{5\\3}*\textbf{n}=0=5n_{1}+3n_{2}
[/mm]
Ferner gilt: [mm] \wurzel{n_{1}^2+n_{2}^2}=1
[/mm]
Also: [mm] n_{2}=\frac{5}{3}n_{1}
[/mm]
Damit folgt:
[mm] \wurzel{(\frac{25}{9}+\frac{9}{9})n_{1}^2}=\wurzel{\frac{34}{9}}=1
[/mm]
Somit bekomme [mm] n_{1}=\frac{1}{\wurzel{\frac{34}{9}}} [/mm] und [mm] n_{2}=-\frac{5}{3}\cdot \wurzel{{\frac{34}{9}}}
[/mm]
Sobald ich [mm] n_{1} [/mm] und [mm] n_{2} [/mm] quadriere und addiere erhalte ich jedoch einen Wert, der ungleich 1 ist, wodurch die Anfangsbedingung nicht erfüllt ist.
Ich wüsste gerne ob mein Ansatz falsch ist und falls ja woran es hapert.
Selbst komme ich gerade nicht drauf.
Grüße
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Hallo.
Tut mir leid, da habe ich tatsächlich einfach mal ein Minus weggelassen.
Noch einmal die gesamte Rechnung:
[mm] \textbf{n}*\vektor{5\\3}=5n_{1}+3n_{2}=0 \Rightarrow n_{1}=-\frac{3}{5}n_{2}
[/mm]
Mit der Bedingung:
[mm] \wurzel{n_{1}^2+n_{2}^2}=1 [/mm] folgt durch Einsetzen von [mm] n_{1}=-\frac{3}{5}:
[/mm]
[mm] \wurzel{(-\frac{3}{5}n_{2})^2+n_{2}}=1 [/mm]
[mm] \wurzel{\frac{9}{25}*n_{2}^2+n_{2}^2}=1
[/mm]
[mm] \wurzel{\frac{9}{25}n_{2}+\frac{25}{25}n_{2}^2}=1
[/mm]
[mm] \wurzel{(\frac{9}{25}+\frac{25}{25})n_{2}^2}=1
[/mm]
[mm] \wurzel{\frac{34}{25}}*\wurzel{n_{2}^2}=1
[/mm]
[mm] \wurzel{\frac{34}{25}}*n_{2}=1
[/mm]
[mm] \frac{1}{\wurzel{\frac{34}{25}}}=n_{2}
[/mm]
Danke für die Antwort.
Ich habe einfach gerade den Überblick verloren.
Jetzt komme ich auch auf plausible Antworten :)
Schönen Abend und Grüße
Grüße
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Hallo Masseltof,
> Hallo.
>
> Tut mir leid, da habe ich tatsächlich einfach mal ein
> Minus weggelassen.
>
> Noch einmal die gesamte Rechnung:
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> [mm]\textbf{n}*\vektor{5\\3}=5n_{1}+3n_{2}=0 \Rightarrow n_{1}=-\frac{3}{5}n_{2}[/mm]
>
> Mit der Bedingung:
> [mm]\wurzel{n_{1}^2+n_{2}^2}=1[/mm] folgt durch Einsetzen von
> [mm]n_{1}=-\frac{3}{5}:[/mm]
> [mm]\wurzel{(-\frac{3}{5}n_{2})^2+n_{2}}=1[/mm]
> [mm]\wurzel{\frac{9}{25}*n_{2}^2+n_{2}^2}=1[/mm]
> [mm]\wurzel{\frac{9}{25}n_{2}+\frac{25}{25}n_{2}^2}=1[/mm]
> [mm]\wurzel{(\frac{9}{25}+\frac{25}{25})n_{2}^2}=1[/mm]
> [mm]\wurzel{\frac{34}{25}}*\wurzel{n_{2}^2}=1[/mm]
> [mm]\wurzel{\frac{34}{25}}*n_{2}=1[/mm]
> [mm]\frac{1}{\wurzel{\frac{34}{25}}}=n_{2}[/mm]
>
> Danke für die Antwort.
> Ich habe einfach gerade den Überblick verloren.
> Jetzt komme ich auch auf plausible Antworten :)
>
Die Rechung stimmt jetzt auch.
> Schönen Abend und Grüße
>
> Grüße
Gruss
MathePower
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> Hallo.
>
> Tut mir leid, da habe ich tatsächlich einfach mal ein
> Minus weggelassen.
>
> Noch einmal die gesamte Rechnung:
>
> [mm]\textbf{n}*\vektor{5\\3}=5n_{1}+3n_{2}=0 \Rightarrow n_{1}=-\frac{3}{5}n_{2}[/mm]
>
> Mit der Bedingung:
> [mm]\wurzel{n_{1}^2+n_{2}^2}=1[/mm] folgt durch Einsetzen von [mm]n_{1}=-\frac{3}{5}:[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Du meinst natürlich: [mm]n_{1}=-\frac{3}{5}*n_2[/mm]
> [mm]\wurzel{(-\frac{3}{5}n_{2})^2+n_{2}}=1[/mm]
Da fehlt ein Exponent. Richtig: [mm]\wurzel{(-\frac{3}{5}n_{2})^2+n_{2}^2}=1[/mm]
> [mm]\wurzel{\frac{9}{25}*n_{2}^2+n_{2}^2}=1[/mm]
> [mm]\wurzel{\frac{9}{25}n_{2}+\frac{25}{25}n_{2}^2}=1[/mm] (wieder ein fehlender Exponent)
> [mm]\wurzel{(\frac{9}{25}+\frac{25}{25})n_{2}^2}=1[/mm]
> [mm]\wurzel{\frac{34}{25}}*\wurzel{n_{2}^2}=1[/mm]
> [mm]\wurzel{\frac{34}{25}}*n_{2}=1[/mm]
Bemerkung: bei der letzten Vereinfachung von [mm] \sqrt{n_2^{\ 2}} [/mm] zu [mm] n_2
[/mm]
brauchst du die (in der Aufgabe erwähnte) Voraussetzung [mm] n_2\ge0 [/mm] .
Dies sollte hier auch erwähnt werden.
> [mm]\frac{1}{\wurzel{\frac{34}{25}}}=n_{2}[/mm]
Dieses Ergebnis (und auch das für [mm] n_1 [/mm] ) solltest du noch
vereinfachen !
LG , Al-Chw.
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]"){kind=small}
![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]"){kind=small}
