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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:41 So 15.05.2011 | | Autor: | emy123 |
| Aufgabe | Zur Beschattung einer Terrasse wird ein dreieckförmiges Sonnensegel aufgespannt, dessen Befestigungen durch die Punkte [mm] P_1(5|0|7), P_2(5|6|1) [/mm] und [mm] P_3(-1|6|7) [/mm] dargestellt werden.
1. Zeichnen Sie das Sonnensegel in ein geeignetes Koordinatensystem ein. Achten Sie bei der Zeichnung darauf, dass der räumliche Eindruck erkennbar ist.
Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E in Normalenforn, die das Sonnensegel enthält.
[mögliche Ebenengleichung: E: [mm] (\vec{x}-\vektor{5\\0\\7})\*\vektor{1\\1\\1}=0]
[/mm]
2. Zeigen Sie, dass das Sonnensegel die Form eines gleichseitigen Dreiecks hat.
3. Ein Softball fällt senkrecht aus einer oberen Etage des benachbarten Hotels, trifft im Punkt R(4|2|6) auf das ebene Sonnensegel und rollt ohne zu springen vom Segel herunter. Moritz möchte den Weg des Balls auf dem Sonnensegel rechnerisch ermitteln. Er fragt hierzu seinen Lehrer und erhält als Antwort: "Der Ball rollt auf einer Geraden g, die sowohl in der Ebene E des Sonnensegels als auch in derjenigen Ebene F liegt, welche senkrecht auf der x-y-Ebene steht und einen Normalenvektor der Ebene E enthält."
Zeigen Sie, dass [mm] \vec{v}=\vektor{1\\1\\-2} [/mm] ein Richtungsvektor von g ist.
Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes S, an dem der Ball das Sonnensegel verlässt. Zeichnen Sie den Weg des Balls auf dem Sonnensegel in das Koordinatensystem ein.
(Das sind Teilaufgaben vom letzten Abitur.) |
Hi,
für die Parameterform der Ebene habe ich heraus:
E: [mm] \vec{x}=\vektor{5\\0\\7}+r*\vektor{0\\6\\-6}+s*\vektor{-6\\6\\0}
[/mm]
Diese muss ich ja in die Normalenform umformen, d.h.
[mm] \vektor{5-6s\\6r+6s\\-6r+7}=\vektor{x\\y\\z}
[/mm]
Aus I und III folgt
[mm] s=-\bruch{1}{6}x+\bruch{5}{6} [/mm] und
[mm] r=-\bruch{1}{6}z+\bruch{6}{7}
[/mm]
Dieses setze ich in II ein:
6r+6s=y
[mm] y=6*(-\bruch{1}{6}z+\bruch{6}{7})+6*(-\bruch{1}{6}x+\bruch{5}{6})
[/mm]
[mm] y=-z+\bruch{36}{7}-x+5
[/mm]
[mm] y=-z-x+\bruch{71}{7}
[/mm]
7z=7x-7y+71
-71=7x-7y-7z
Die Normalenform ist ja dann:
[mm] \vektor{7\\-7\\-7}\*\vektor{x\\y\\z}=-71
[/mm]
Aber irgendwie habe ich etwas falschgemacht, wenn man mit der vorgegebenen möglichen Lösung vergleicht. Wo habe ich den Fehler gemacht und wie komme ich auf die richtige Lösung?
Ich dachte nämlich, dass bei der Koordinatenform immer dasselbe herauskommen muss.
Bei der 2. Aufgabe, habe ich die Strecke zwischen den Punkten ausgerechnet. Bei mir kommt für jede Seite [mm] \wurzel{72}=8,4853 [/mm] heraus, d.h. das Dreieck ist gleichseitig.
Bei der 3. Aufgabe weiß ich nicht so recht, was ich machen soll.
Ich habe mir gedacht, dass die Gerade g den Ortsvektor (4|2|6) haben muss und wie gegeben [mm] \vec{v}=\vektor{1\\1\\-2} [/mm] als Richtungsvektor:
g: [mm] \vec{x}=\vektor{4\\2\\6}+t*\vektor{1\\1\\-2}
[/mm]
[mm] \vec{v}=\vektor{1\\1\\-2} [/mm] ist geeignet, da er in E liegt [mm] (\vec{v} [/mm] ist linear abhängig von den Richtungsvektoren der Ebene E [mm] \vec{x}=\vektor{5\\0\\7}+r*\vektor{0\\6\\-6}+s*\vektor{-6\\6\\0}).
[/mm]
Was ist mit der Ebene F gemeint? Wie bekomme ich sie heraus? Und wie soll ich dann die Koordinaten des Punktes S, an dem der Ball das Sonnensegel verlässt, bestimmen?
Ich freue mich auf Hilfe.
Emy
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo emy123,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Zur Beschattung einer Terrasse wird ein dreieckförmiges
> Sonnensegel aufgespannt, dessen Befestigungen durch die
> Punkte [mm]P_1(5|0|7), P_2(5|6|1)[/mm] und [mm]P_3(-1|6|7)[/mm] dargestellt
> werden.
>
> 1. Zeichnen Sie das Sonnensegel in ein geeignetes
> Koordinatensystem ein. Achten Sie bei der Zeichnung darauf,
> dass der räumliche Eindruck erkennbar ist.
> Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E in Normalenforn,
> die das Sonnensegel enthält.
>
> [mögliche Ebenengleichung: E:
> [mm](\vec{x}-\vektor{5\\0\\7})\*\vektor{1\\1\\1}=0][/mm]
>
> 2. Zeigen Sie, dass das Sonnensegel die Form eines
> gleichseitigen Dreiecks hat.
>
> 3. Ein Softball fällt senkrecht aus einer oberen Etage des
> benachbarten Hotels, trifft im Punkt R(4|2|6) auf das ebene
> Sonnensegel und rollt ohne zu springen vom Segel herunter.
> Moritz möchte den Weg des Balls auf dem Sonnensegel
> rechnerisch ermitteln. Er fragt hierzu seinen Lehrer und
> erhält als Antwort: "Der Ball rollt auf einer Geraden g,
> die sowohl in der Ebene E des Sonnensegels als auch in
> derjenigen Ebene F liegt, welche senkrecht auf der
> x-y-Ebene steht und einen Normalenvektor der Ebene E
> enthält."
>
> Zeigen Sie, dass [mm]\vec{v}=\vektor{1\\1\\-2}[/mm] ein
> Richtungsvektor von g ist.
>
> Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes S, an dem der
> Ball das Sonnensegel verlässt. Zeichnen Sie den Weg des
> Balls auf dem Sonnensegel in das Koordinatensystem ein.
>
> (Das sind Teilaufgaben vom letzten Abitur.)
> Hi,
>
> für die Parameterform der Ebene habe ich heraus:
>
> E:
> [mm]\vec{x}=\vektor{5\\0\\7}+r*\vektor{0\\6\\-6}+s*\vektor{-6\\6\\0}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Diese muss ich ja in die Normalenform umformen, d.h.
>
> [mm]\vektor{5-6s\\6r+6s\\-6r+7}=\vektor{x\\y\\z}[/mm]
>
> Aus I und III folgt
>
> [mm]s=-\bruch{1}{6}x+\bruch{5}{6}[/mm] und
> [mm]r=-\bruch{1}{6}z+\bruch{6}{7}[/mm]
Hier hast Du einen Zahlendreher drin:
[mm]r=-\bruch{1}{6}z+\blue{\bruch{7}{6}}[/mm]
>
> Dieses setze ich in II ein:
>
> 6r+6s=y
>
> [mm]y=6*(-\bruch{1}{6}z+\bruch{6}{7})+6*(-\bruch{1}{6}x+\bruch{5}{6})[/mm]
> [mm]y=-z+\bruch{36}{7}-x+5[/mm]
> [mm]y=-z-x+\bruch{71}{7}[/mm]
> 7z=7x-7y+71
> -71=7x-7y-7z
>
> Die Normalenform ist ja dann:
>
> [mm]\vektor{7\\-7\\-7}\*\vektor{x\\y\\z}=-71[/mm]
>
> Aber irgendwie habe ich etwas falschgemacht, wenn man mit
> der vorgegebenen möglichen Lösung vergleicht. Wo habe ich
> den Fehler gemacht und wie komme ich auf die richtige
> Lösung?
> Ich dachte nämlich, dass bei der Koordinatenform immer
> dasselbe herauskommen muss.
>
>
> Bei der 2. Aufgabe, habe ich die Strecke zwischen den
> Punkten ausgerechnet. Bei mir kommt für jede Seite
> [mm]\wurzel{72}=8,4853[/mm] heraus, d.h. das Dreieck ist
> gleichseitig.
>
> Bei der 3. Aufgabe weiß ich nicht so recht, was ich machen
> soll.
>
> Ich habe mir gedacht, dass die Gerade g den Ortsvektor
> (4|2|6) haben muss und wie gegeben
> [mm]\vec{v}=\vektor{1\\1\\-2}[/mm] als Richtungsvektor:
>
> g: [mm]\vec{x}=\vektor{4\\2\\6}+t*\vektor{1\\1\\-2}[/mm]
>
> [mm]\vec{v}=\vektor{1\\1\\-2}[/mm] ist geeignet, da er in E liegt
> [mm](\vec{v}[/mm] ist linear abhängig von den Richtungsvektoren der
> Ebene E
> [mm]\vec{x}=\vektor{5\\0\\7}+r*\vektor{0\\6\\-6}+s*\vektor{-6\\6\\0}).[/mm]
>
> Was ist mit der Ebene F gemeint? Wie bekomme ich sie
> heraus? Und wie soll ich dann die Koordinaten des Punktes
> S, an dem der Ball das Sonnensegel verlässt, bestimmen?
Ein Richtungsvektor der Ebene F ist der Normalenvektor der x-y-Ebene.
Außerdem enthält die Ebene F einen Normalenvektor der Ebene E.
>
> Ich freue mich auf Hilfe.
> Emy
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:01 So 15.05.2011 | | Autor: | emy123 |
> Hallo emy123,
>
>
>
> > Zur Beschattung einer Terrasse wird ein dreieckförmiges
> > Sonnensegel aufgespannt, dessen Befestigungen durch die
> > Punkte [mm]P_1(5|0|7), P_2(5|6|1)[/mm] und [mm]P_3(-1|6|7)[/mm] dargestellt
> > werden.
> >
> > 1. Zeichnen Sie das Sonnensegel in ein geeignetes
> > Koordinatensystem ein. Achten Sie bei der Zeichnung darauf,
> > dass der räumliche Eindruck erkennbar ist.
> > Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E in Normalenforn,
> > die das Sonnensegel enthält.
> >
> > [mögliche Ebenengleichung: E:
> > [mm](\vec{x}-\vektor{5\\0\\7})\*\vektor{1\\1\\1}=0][/mm]
> >
> > 2. Zeigen Sie, dass das Sonnensegel die Form eines
> > gleichseitigen Dreiecks hat.
> >
> > 3. Ein Softball fällt senkrecht aus einer oberen Etage des
> > benachbarten Hotels, trifft im Punkt R(4|2|6) auf das ebene
> > Sonnensegel und rollt ohne zu springen vom Segel herunter.
> > Moritz möchte den Weg des Balls auf dem Sonnensegel
> > rechnerisch ermitteln. Er fragt hierzu seinen Lehrer und
> > erhält als Antwort: "Der Ball rollt auf einer Geraden g,
> > die sowohl in der Ebene E des Sonnensegels als auch in
> > derjenigen Ebene F liegt, welche senkrecht auf der
> > x-y-Ebene steht und einen Normalenvektor der Ebene E
> > enthält."
> >
> > Zeigen Sie, dass [mm]\vec{v}=\vektor{1\\1\\-2}[/mm] ein
> > Richtungsvektor von g ist.
> >
> > Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes S, an dem der
> > Ball das Sonnensegel verlässt. Zeichnen Sie den Weg des
> > Balls auf dem Sonnensegel in das Koordinatensystem ein.
> >
> > (Das sind Teilaufgaben vom letzten Abitur.)
> > Hi,
> >
> > für die Parameterform der Ebene habe ich heraus:
> >
> > E:
> >
> [mm]\vec{x}=\vektor{5\\0\\7}+r*\vektor{0\\6\\-6}+s*\vektor{-6\\6\\0}[/mm]
>
>
>
>
>
> >
> > Diese muss ich ja in die Normalenform umformen, d.h.
> >
> > [mm]\vektor{5-6s\\6r+6s\\-6r+7}=\vektor{x\\y\\z}[/mm]
> >
> > Aus I und III folgt
> >
> > [mm]s=-\bruch{1}{6}x+\bruch{5}{6}[/mm] und
> > [mm]r=-\bruch{1}{6}z+\bruch{6}{7}[/mm]
>
>
> Hier hast Du einen Zahlendreher drin:
>
> [mm]r=-\bruch{1}{6}z+\blue{\bruch{7}{6}}[/mm]
>
Stimmt, das habe ich gar nicht bemerkt!
Dann bekomme ich tatsächlich ein richtiges Ergebnis heraus :) Danke vielmals! Ich bekomme dann für die Ebene heraus:
[mm] \vektor{-1\\-1\\-1}\*\vektor{x\\y\\z}=-12
[/mm]
Kann man das jetzt einfach so umformen, dass [mm] \vektor{1\\1\\1}\*\vektor{x\\y\\z}=12 [/mm] herauskommt? Kann ich auch nur den Normalenvektor zu [mm] \vektor{1\\1\\1} [/mm] formen oder muss man dann auch die -12 zu 12 formen?
> >
> > Bei der 3. Aufgabe weiß ich nicht so recht, was ich machen
> > soll.
> >
> > Ich habe mir gedacht, dass die Gerade g den Ortsvektor
> > (4|2|6) haben muss und wie gegeben
> > [mm]\vec{v}=\vektor{1\\1\\-2}[/mm] als Richtungsvektor:
> >
> > g: [mm]\vec{x}=\vektor{4\\2\\6}+t*\vektor{1\\1\\-2}[/mm]
> >
> > [mm]\vec{v}=\vektor{1\\1\\-2}[/mm] ist geeignet, da er in E liegt
> > [mm](\vec{v}[/mm] ist linear abhängig von den Richtungsvektoren der
> > Ebene E
> >
> [mm]\vec{x}=\vektor{5\\0\\7}+r*\vektor{0\\6\\-6}+s*\vektor{-6\\6\\0}).[/mm]
> >
> > Was ist mit der Ebene F gemeint? Wie bekomme ich sie
> > heraus? Und wie soll ich dann die Koordinaten des Punktes
> > S, an dem der Ball das Sonnensegel verlässt, bestimmen?
>
>
> Ein Richtungsvektor der Ebene F ist der Normalenvektor der
> x-y-Ebene.
> Außerdem enthält die Ebene F einen Normalenvektor der
> Ebene E.
>
Ich muss dann wahrscheinlich zuerst eine Ebene [mm] E_F [/mm] finden. Sagen wir mal, die Ebene [mm] E_F [/mm] hat die Form:
[mm] E_F: \vec{x}=\vektor{4\\2\\6}+u*\vektor{1\\1\\1}+v*\vektor{a\\b\\c}
[/mm]
Der Ortsvektor ist ja gegeben, dann der Normalenvektor der Ebene E. Was ist denn mit Normalenvektor der x-y-Ebene gemeint?
> >
> > Ich freue mich auf Hilfe.
> > Emy
> >
> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
>
>
> Gruss
> MathePower
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Hallo emy123,
> >
> > Ein Richtungsvektor der Ebene F ist der Normalenvektor der
> > x-y-Ebene.
> > Außerdem enthält die Ebene F einen Normalenvektor der
> > Ebene E.
> >
>
> Ich muss dann wahrscheinlich zuerst eine Ebene [mm]E_F[/mm] finden.
> Sagen wir mal, die Ebene [mm]E_F[/mm] hat die Form:
> [mm]E_F: \vec{x}=\vektor{4\\2\\6}+u*\vektor{1\\1\\1}+v*\vektor{a\\b\\c}[/mm]
>
> Der Ortsvektor ist ja gegeben, dann der Normalenvektor der
> Ebene E. Was ist denn mit Normalenvektor der x-y-Ebene
> gemeint?
>
Die x-y-Ebene beinhaltet alle Punkte (x,y,0). Ein Normalenvektor
zu dieser Ebene ist daher
[mm]\vektor{a\\b\\c}[/mm]
> > >
> > > Ich freue mich auf Hilfe.
> > > Emy
> > >
> > > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > > Internetseiten gestellt.
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
Gruss
MathePower
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