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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:30 Mi 13.04.2005 | | Autor: | Disap |
Hallo.
Folgende Aufgabe haben wir im Unterricht (mehr oder) weniger behandelt:
Aufgabe
Der Punkt P soll so verankert werden, dass sie senkrecht zur Ebene AFB verläuft und die Ebene DCGE durchstößt. Die Aufhängung einer Fahne soll 2,5m in Freie ragen. Gesucht ist die Länge der Fahne, die durch die Ebenen geht.
Folgende Punkte sind gegeben:
A(4|0|0)
B(4|4|0)
C(0|4|0)
D(0|0|0)
E(2|0|6)
F(4|2|6)
G(2|4|6)
Punkt P wäre in diesem Fall P(4|2|4)
Arbeitsschritte
Nunja, ich habe mir einfach mal alle Punkte in einer Koordinatensystem eingezeichnet und die einzelnen Ebenen sozusagen miteinander verbunden.
Quasi aus AFB ein Dreieck gemacht und aus der Ebene DCGE ein Parallelogramm.
Leider habe ich kein Zeichenprogramm, mit dem ich das hier schön darstellen könnte.
Jedenfalls haben wir das dann so gelöst, dass wir zwei Geradengleichungen aufgestellt haben
g: [mm] \vec{x}= \overrightarrow{0P}+ [/mm] s [mm] \overrightarrow{PH}
[/mm]
h: [mm] \vec{x}= \overrightarrow{0S}+ [/mm] t [mm] \overrightarrow{SK}
[/mm]
g: [mm] \vec{x}= \vektor{0\\ 2\\0} [/mm] +s [mm] \vektor{2\\0\\6}
[/mm]
h: [mm] \vec{x}= \vektor{4\\ 2\\4} [/mm] + t [mm] \vektor{2\\0\\0}
[/mm]
Ich weiß zwar nicht warum wir das gemacht haben, der Lehrer meinte, man kann das aus der Zeichnung ablesen, jedenfalls haben wir den Schnittpunkt dieser Geraden berechnet und dann das herausbekommene t in die Vektorgleichung h: [mm] \vec{x} [/mm] eingesetzt und einen neuen Punkt N herausbekommen, von dem wir dann den Betrag gebildet haben.
Frage
Ich verstehe zwar nicht, warum man das so machen kann und vorallem, wie man das ablesen kann, aber wenn ich mir die Aufgabe durchlese, steht da etwas von "senkrecht". Doch das Skalarprodukt = 0 haben wir gar nicht angewandt. Und vor allem das Wort "Ebene" wird verwendet.
Man muss doch nun also zwei Ebenengleichungen aufstellen können und das ganze mit einer unbekannten Geraden kombinieren können?
Also, wie würde man diese Aufgabe am geschicktesten Lösen?
Solche Formeln zu solchen Aufgaben sind halt schwer im WWW zu ersuchen...
Liebe Grüße Disap
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Hallo!
Also, wenn ich das richtig verstanden habe, soll die Fahne so im Punkt $P$ verankert werden, dass ihre Halterung senkrecht zur Ebene AFB steht und 2,5 Meter lang ist. War $P$ gegeben? Ich gehe einfach mal davon aus.
Aber was sind die Punkte H,K und S? Und was genau bedeutet in diesem Zusammenhang Länge der Fahne, bzw. wodurch soll sie begrenzt sein?
Am praktischsten wäre es wahrscheinlich du würdest die Zeichnung einscannen und ins Netz hängen...
Anhand meiner eigenen Zeichnung jedenfalls sieht es so aus, als würde berechnet werden, wie breit die Fahne sein kann, damit man sie genau zwischen die beiden Ebenen hängen kann. Dazu berechnet man, an welchem Punkt die Aufhängung die zweite Ebene (das "Parallelogram") durchstößt. Eine zweite Gerade scheint mir dazu aber wenig nützlich zu sein.
Richtiger scheint mir folgender Ansatz:
Die Aufhängung wird in $P$ so befestigt, dass die Stange senkrecht zu AFB steht.
Die Normalengleichung dieser Ebene ist:
$ [mm] x_1+0*x_2+0*x_3=4$,
[/mm]
also steht der Vektor [mm] $\vektor{1\\0\\0}$ [/mm] senkrecht auf ihr. Die Geradengleichung lautet also:
$g:\ [mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3}= \vektor{4\\2\\4}+s\vektor{1\\0\\0}$.
[/mm]
Jetzt muss der Schnittpunkt mit der zweiten Ebene berechnet werden. Deren Normalengleichung lautet [mm] $3x_1-x_3=0$.
[/mm]
Dort wird $g$ eingesetzt:
$3(4+s)-4=0$, also [mm] $s=-\bruch{8}{3}$. [/mm] Daraus kann man dann den Punkt $N$ berechnen.
Warum ihr den Betrag von $N$ gebildet habt ist mir allerdings nicht ganz klar. Das ist nämlich der Abstand vom Ursprung. Soll das die Definition der Länge der Flagge sein?
Alles in allem eine seltsame Aufgabe mit einer sehr schwammigen Lösung. Natürlich ist es manchmal sehr nützlich, sich ein Bildchen zu malen, um eine Vorstellung zu bekommen, wie man die Aufgabe lösen kann. Aber zeigen muss man's dann trotzdem ersteinmal! ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
Hoffentlich konnte ich dir trotzdem ein bisschen weiterhelfen...
Gruß, banachella
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:54 Mi 13.04.2005 | | Autor: | Disap |
> Hallo!
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Guten Abend, habe noch einmal ein paar Rückfragen, nachdem ich mir natürlich den ganzen Tag darüber GEdanken gemacht habe. Zunächst einmal Danke für deine Antwort.
> Also, wenn ich das richtig verstanden habe, soll die Fahne
> so im Punkt [mm]P[/mm] verankert werden, dass ihre Halterung
> senkrecht zur Ebene AFB steht und 2,5 Meter lang ist. War [mm]P[/mm]
> gegeben? Ich gehe einfach mal davon aus.
Ja, war es
> Aber was sind die Punkte H,K und S? Und was genau bedeutet
> in diesem Zusammenhang Länge der Fahne, bzw. wodurch soll
> sie begrenzt sein?
Wenn ich das mal verstanden hätte.
Wie kann ich denn nun die Ebene GCED aufstellen?
Ich habe mir vielleicht gedacht, ich bilde den [mm] \overrightarrow{DC} [/mm] und [mm] \overrightarrow{GE} [/mm] => was ja zwei parallele (Geraden) Richtungsvektoren wären und mache daraus die Ebenengleichung
[mm] \overrightarrow{0D}+s\overrightarrow{DC}+t\overrightarrow{GE}
[/mm]
oder darf ich das so gar nicht machen? Wie denn sonst? Wie bildet man aus vier Punkten eine Ebene?
Grüße Disap
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:41 Do 14.04.2005 | | Autor: | djmatey |
Hi,
wenn Du vier Punkte (also Vektoren vom Ursprung aus) einer Ebene gegeben hast, kannst Du einen beliebigen als Ortsvektor wählen. Dann brauchst Du zwei LINEAR UNABHÄNGIGE Richtungsvektoren. Das heißt, diese dürfen insbesondere nicht parallel sein.
Verbinde von den vier Punkten zweimal je zwei Stück so, dass Du zwei linear unabhängige Richtungsvektoren erhältst! Meistens sieht man, welche sich dafür eignen, sonst probier's kurz aus 
Viel Erfolg!
djmatey
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