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| Aufgabe | Für v [mm] \in \IR^{2} [/mm] mit v [mm] \not= [/mm] 0 betrachten wir die Gerade
[mm] L_{v} [/mm] := {x [mm] \in \IR^{2} [/mm] | [mm] \exists \lambda \in \IR [/mm] : x = [mm] \lambda [/mm] v}
in der Ebene [mm] \IR^{2}
[/mm]
(a) Man zeige: Indem man die Vektorraum-Verknüpfungen + und * von [mm] \IR^{2} [/mm] auf [mm] L_{v} [/mm] einschränkt, wird [mm] L_{v} [/mm] zu einem reellen Vektorraum. |
Hallo Leute,
also ich habe hier eine Lösung für diese Aufgabe aus meiner Übungsgruppe, nur weiss ich a) nicht wie man darauf kommt und b) was Abgeschlossenheit bedeutet, weil dieser Begriff weder in der Vorlesung erwähnt wurde noch irgendwo im Skript.
Das soll die Lösung sein:
Seien x, y, z [mm] \in \IR^{2}, [/mm] wobei v = [mm] (v_{1}, v_{2}), [/mm] x = [mm] (x_{1}, x_{2})
[/mm]
und z = [mm] (z_{1}, z_{2}) [/mm] sind.
Beh: [mm] \lambda [/mm] v + 0 = [mm] \lambda [/mm] v
Bew: [mm] \vektor{\lambda v_{1} \\ \lambda v_{2}} [/mm] + [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] = [mm] \lambda [/mm] v
Beh: [mm] L_{v} [/mm] ist abgeschlossen bzgl. + , *
Bew: Seien x, y [mm] \in L_{v}, [/mm] dann existiert [mm] \lambda, \mu [/mm] : x = [mm] \lambda [/mm] v, y = [mm] \mu [/mm] v.
x + y = [mm] \lambda [/mm] v + [mm] \mu [/mm] v = [mm] \underbrace{\underbrace{(\lambda+\mu)}_{\in \IR} v}_{\in L_{v}}
[/mm]
x [mm] \in L_{v} [/mm] beliebig, [mm] \mu \in \IR
[/mm]
x = [mm] \lambda [/mm] * v
zzg: [mm] \mu [/mm] * x [mm] \in L_{v}
[/mm]
[mm] \mu [/mm] x = [mm] \mu (\lambda [/mm] v) = [mm] \overbrace{(\mu * \lambda)}^{\in \IR} [/mm] v [mm] \in L_{v}
[/mm]
Ok also wie kommt man darauf? Was bedeutet Abgeschlossenheit und wie kann ich mich dan diese Aufgabe heranwagen indem ich mir selbst etwas einfallen lasse? Ausserdem was genau wird gezeigt und ist die Lösung überhaupt korrekt?
Danke schonmal im Voraus...
mfG
adrenaline
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:55 So 05.03.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
du musst halt überprüfen, ob es sich um einen Unterraum handelt, d.h. die drei Unterraumkriterien überprüfen (die hattet ihr mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit in der Vorlesung ansonsten in ein Buch schauen)
"abgeschlossenheit" bzgl + heißt nur : wenn v und w aus L sind, dann muss auch (v+w) in L sein.
Man überprüft also nur schnell, ob jede linearkombination wieder auf der Gerade ist (und nicht etwa außerhalb)
viele Grüße
DaMenge
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