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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:38 Mi 20.08.2008 | | Autor: | sardelka |
| Aufgabe | In einem kartesische Koordinatensystem ist für ejdes k [mm] \in [/mm] R eine Ebene [mm] E_{k} [/mm] mit er Gleichung x+(k-2)*y+(2k+1)*z=5-2k gegeben.
Zeigen Sie, dass keine der Ebenen [mm] E_{k} [/mm] orthogonal zur z-Achse steht und dass es eine Gerade h gibt, di ein allen Ebenen [mm] E_{k} [/mm] liegt! Bestimmten Sie eine Gleichung von h. |
Hallo,
ich möchte diese Aufgabe lösen, habe aber leider überhaupt keine Idee wie ich damit anfangen könnte.
Kann mir jemand helfen??
Vielen Dank
MfG
sardelka
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> In einem kartesische Koordinatensystem ist für ejdes k [mm]\in[/mm]
> R eine Ebene [mm]E_{k}[/mm] mit er Gleichung x+(k-2)*y+(2k+1)*z=5-2k
> gegeben.
>
> Zeigen Sie, dass keine der Ebenen [mm]E_{k}[/mm] orthogonal zur
> z-Achse steht und dass es eine Gerade h gibt, di ein allen
> Ebenen [mm]E_{k}[/mm] liegt! Bestimmten Sie eine Gleichung von h.
> Hallo,
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> ich möchte diese Aufgabe lösen, habe aber leider überhaupt
> keine Idee wie ich damit anfangen könnte.
>
> Kann mir jemand helfen??
>
> Vielen Dank
>
> MfG
>
> sardelka
Hallo!
Der Richtungsvektor [mm] \vec{z} [/mm] der z-Achse ist ja [mm] \vec{z}=\vektor{0\\0\\1}
[/mm]
Dieser müsste ja auch Normalenvektor der Ebene sein, wenn beide senkrecht zueinander wären.
Der Normalenvektor [mm] \vec{n} [/mm] der Ebene ist ja [mm] \vec{n}=\vektor{1\\k-2\\2k+1}
[/mm]
Wenn du zeigst, dass diese Gleichung [mm] \vec{z}=\vec{n} [/mm] keine Lösung für k hat, dann hast du gezeigt, dass keine Ebene aus der Ebenenschar orthogonal zur z-Achse ist.
LG
Andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:07 Mi 20.08.2008 | | Autor: | sardelka |
warum muss ich z- und n-Vektor gleich setzen?
Ich dachte ich muss von z und n Vektorprodukt bilden, und dann gucken für welches k es null ergibt, oder?
denn wenn skalarprodukt gleich 0 ist, stehen die Vekoren orthogonal zueinander, richtig?
Danke
MfG
sardelka
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> warum muss ich z- und n-Vektor gleich setzen?
Wenn die Ebene orthogonal ist zur z-Achse ist, dann ist doch der Richtungsvektor RV dieser Achse auch Normalnvekotr NV der Ebene.
Die z-Achse durchbohrt doch die Ebene genau wie der Normalenvektor (um genau zu sein, wie eine Gerade, dessen RV der NV der Ebene ist.) Ein Vekotr zeigt ja nur Richtung und Länge an, nicht Standort von irgendetwas. Es ist ja ein beliebig verscheibbarer (nicht drehbar) "pfeil". Schieb ihn doch so, dass er genau auf der z-Achse liegt.
Dann sieht man, dass der NV der Ebene auch gliech RV der Achse ist.
Deswegen setze ich diese gleich... wenn es nun keine Lösung gibt für k, dann heißt das, dass egal welches k ich in der Ebenengleichung einsetze, der NV der Ebene nie gleich dem RV der Achse wird. Also wird die Ebene, egal wie ich k wähle nie orthogonal zur z-Achse sein.
> Ich dachte ich muss von z und n Vektorprodukt bilden, und
> dann gucken für welches k es null ergibt, oder?
> denn wenn skalarprodukt gleich 0 ist, stehen die Vekoren
> orthogonal zueinander, richtig?
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> Danke
>
> MfG
>
> sardelka
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Hallo,
nun der 2. Teil der Aufgabe :) zur Geraden h
wähle mal y=0 uns setz das in die Ebenengleichung ein... un wählst du x und z so, dass sich eine Lösung ergibt:
ich hab als Lösung x=6 y=0 z=-1 [mm] \gdw [/mm] P(6/0/-1) liegt auf der Ebene, und da in seinen Koordinaten kein k vorkommt, ist der Punkt immer in der Ebene, egal wie k ausgewählt wird. Von daher liegt er auch auf der gesuchten Gerade.
Also wenn ich y=0 setze ergibt sich ja...
x+0+(2k+1)z=5-2k (wählen wir jetzt z so, dass k rausfliegt, was wir ja wollen (s.o.)) [mm] \Rightarrow [/mm] z=-1
[mm] \gdw [/mm] x-2k-1=5-2k
[mm] \gdw [/mm] x=6
Dasselbe machst du noch einmal, weil du ja 2 Pkt. brauchst, um eine Gerade zu definieren.
Also wähle mal z=0
Es ergibt sich Q(1/-2/0)
Aus diesen beiden Punkten, solltest du dir h basteln können.
LG
Andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:28 Mi 20.08.2008 | | Autor: | sardelka |
stimmt!!!
Vielen, vielen Dank.
Hab alles verstanden)))
MfG
sardelka
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na dann:) freut mich sehr
bis demnächst
Andi ![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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