Geradengleichung aus Grundriss < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:09 Mi 23.04.2008 | | Autor: | entchen |
| Aufgabe | [mm]t_3[/mm] ist Grundriss, [mm]t_1[/mm] ist Aufriss der Gerade t. Gib eine Gleichung von t an.
[mm]t_1:\vec{X}= \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}+\lambda \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
[mm]t_3:\vec{X}= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+\mu \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
Zeichnung im Koordinatensystem! |
Hallo! Meine Schwester (12. Klasse) kam gerade mit dieser Aufgabe zu mir.
Also die Zeichnung im KoSy bekomme ich hin. Ich hoffe dass das so stimmt: von der den beiden Geraden aus in die "3." Richtung verlängert und die Schnittpunkte dieser Verlängerungen sind dann zwei Punkte auf t.
Für die Gleichung habe ich einfach die Koordinaten der Schnittpunkte verwendet und komme auf
[mm]t:\vec{X}= \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}+\nu \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
Stimmt das? und Gibt es vielleicht eine analytische Lösung? Mir ist leider bisher nichts dazu eingefallen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo entchen,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> [mm]t_3[/mm] ist Grundriss, [mm]t_1[/mm] ist Aufriss der Gerade t. Gib eine
> Gleichung von t an.
> [mm]t_1:\vec{X}= \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}+\lambda \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
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> [mm]t_3:\vec{X}= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+\mu \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
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> Zeichnung im Koordinatensystem!
> Hallo! Meine Schwester (12. Klasse) kam gerade mit dieser
> Aufgabe zu mir.
> Also die Zeichnung im KoSy bekomme ich hin. Ich hoffe dass
> das so stimmt: von der den beiden Geraden aus in die "3."
> Richtung verlängert und die Schnittpunkte dieser
> Verlängerungen sind dann zwei Punkte auf t.
> Für die Gleichung habe ich einfach die Koordinaten der
> Schnittpunkte verwendet und komme auf
> [mm]t:\vec{X}= \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}+\nu \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Stimmt das? und Gibt es vielleicht eine analytische Lösung?
> Mir ist leider bisher nichts dazu eingefallen.
Einerseits weisst Du, daß die Gerade so aussehen muss:
[mm] g_{1}:\vec{X}= \begin{pmatrix} a_{1} \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}+\lambda \begin{pmatrix} b_{1} \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm]
Andererseits soll dies identisch sein mit der Geraden [mm]g_{3}[/mm]:
[mm] g_{3}:\vec{X}= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ a_{3} \end{pmatrix}+\mu \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ b_{3} \end{pmatrix} [/mm]
Durch gleichsetzen erhält man:
[mm]\begin{pmatrix} a_{1} \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}+\lambda \begin{pmatrix} b_{1} \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ a_{3} \end{pmatrix}+\mu \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ b_{3} \end{pmatrix} [/mm]
Daraus ergeben sich 3 Gleichungen:
[mm]\left(1\right) \ a_{1}+\lambda*b_{1}=1+\mu*1[/mm]
[mm]\left(2\right) \ 1+\lambda*2=2-\mu*1[/mm]
[mm]\left(3\right) \ 1+\lambda=a_{3}+\mu*b_{3}[/mm]
Gleichung (2) wird nach [mm]\mu[/mm] aufgelöst.
Dies wird nun in eine der Gleichungen (1) oder (3) eingesetzt und dann ein ![[]](/images/popup.gif) Koeffizientenvergleich durchgeführt.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:25 Mi 23.04.2008 | | Autor: | entchen |
Oh Mann, da hab ich irgendwie den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr gesehen!
Vielen, vielen Dank!
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