Geradengleichung mit Variablen < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | In den Geradengleichungen wurden einige Koordinate gelöscht und durch Variable ersetzt.
Setzen sie neue Koordinaten ein, sodass die Geraden folgende Lagen einnehmen:
a) echt parallel
b) identisch
c) schneidend
d) windschief
g:x = [mm] \vektor{2 \\ 2 \\ a} [/mm] + r [mm] \vektor{b \\ 6 \\ 4}
[/mm]
h:x = [mm] \vektor{6 \\ c \\ 0} [/mm] + s [mm] \vektor{2 \\ -3 \\ d} [/mm] |
a)
da habe ich mir gedacht sie müssen wenn sie parallel sind den selben richtungsvektor haben, bzw ein vielfaches von dem anderen.
das wäre dann
[mm] \vektor{b \\ 6 \\ 4} [/mm] = [mm] \vektor{-4 \\ 6 \\ 4}
[/mm]
[mm] \vektor{2 \\ -3 \\ d} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ -3 \\ -2}
[/mm]
doch wie muss ich jetzt den Stützvektor wählen?
kann ich irgendeinen nehmen? kann dann ja sein das der auf der geraden liegt und sie so identisch sind.
b) identisch
-> richtungsvektor aus a)
und dann einen Stützverktor gleichgesetz mit einer Geraden und nach a und c aufgelöst. /geschaut für welche Werte von a und c die geraden identisch sind.
a=4
c= -4
c) schneidend
d) windschief
da weiß ich nich weiter :(
lg!
|
|
| |
|
Hallo Toffifee12!
> In den Geradengleichungen wurden einige Koordinate gelöscht
> und durch Variable ersetzt.
> Setzen sie neue Koordinaten ein, sodass die Geraden
> folgende Lagen einnehmen:
> a) echt parallel
> b) identisch
> c) schneidend
> d) windschief
>
> g:x = [mm]\vektor{2 \\ 2 \\ a}[/mm] + r [mm]\vektor{b \\ 6 \\ 4}[/mm]
> h:x =
> [mm]\vektor{6 \\ c \\ 0}[/mm] + s [mm]\vektor{2 \\ -3 \\ d}[/mm]
> a)
> da habe ich mir gedacht sie müssen wenn sie parallel sind
> den selben richtungsvektor haben, bzw ein vielfaches von
> dem anderen.
> das wäre dann
>
> [mm]\vektor{b \\ 6 \\ 4}[/mm] = [mm]\vektor{-4 \\ 6 \\ 4}[/mm]
> [mm]\vektor{2 \\ -3 \\ d}[/mm]
> = [mm]\vektor{2 \\ -3 \\ -2}[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> doch wie muss ich jetzt den Stützvektor wählen?
> kann ich irgendeinen nehmen? kann dann ja sein das der auf
> der geraden liegt und sie so identisch sind.
Mmh, ich glaube, da muss man ein kleines bisschen ausprobieren. Was du sagst, ist ganz richtig. D.h., du musst einen Stützvektor nehmen, der nicht auf der anderen Gerade liegt. Ich würde einfach einen ausprobieren und gucken, ob er auf der anderen Geraden liegt.
> b) identisch
> -> richtungsvektor aus a)
> und dann einen Stützverktor gleichgesetz mit einer Geraden
> und nach a und c aufgelöst. /geschaut für welche Werte von
> a und c die geraden identisch sind.
> a=4
> c= -4
Hab' das jetzt nicht nachgerechnet, aber der Weg sollte richtig sein. Du kannst ja zur Kontrolle beide Geradengleichungen gleichsetzen, dann musst das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen haben, damit es stimmt. 
> c) schneidend
> d) windschief
>
> da weiß ich nich weiter :(
Für schneidend kannst du z. B. den einen Stützvektor so nehmen, dass er auf der anderen Geraden liegt (dafür kannst du den Richtungsvektor der anderen Geraden beliebig wählen) und dann nimmst du einfach für die erste Gerade einen Richtungsvektor, der kein Vielfaches des anderen Richtungsvektors ist. Dann gibt der Stützvektor dir genau den Schnittpunkt an, und da die Richtungsvektoren unterschiedlich sind, sind die Geraden auch nicht identisch.
Für ![[]](/images/popup.gif) windschief musste ich auch gerade mal googeln. Laut Wikipedia gilt: "Zur Begründung, dass zwei Geraden a und b windschief sind, genügt es zu zeigen, dass der Richtungsvektor von a, der Richtungsvektor von b und der Vektor, der vom Aufpunkt von a zum Aufpunkt von b zeigt, linear unabhängig sind. Diese Bedingung läuft darauf hinaus, dass zwei windschiefe Geraden nicht in einer Ebene liegen dürfen." Hilft dir das?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
|
|
|
| |
|
okay danke
zu dem parallel...
habe jetzt einfach irgendeinen stützvektor genommen und dann Punktprobe gemacht, es kommt 8= -4 raus, das is eine falsche aussage, d.h er liegt nicht auf der geraden?
sicher das das nur durch ausprobiern geht?
das andere geh ich jetzt nochmal durch aber danke schonma
gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:22 Mo 26.11.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
damit die Geraden echt parallel sind, müssen die Richtungsvektoren ja linear abhängig sein, d.h. sie müssen Vielfaches voneinander sein.
Dann würde ich ein Gleichugnssystem aufstellen, d.h. beide Geradengleichungen gleichsetzen, und dann fordern, dass das System KEINE Lösung hat.
Durch die parallelität der Richtungsvektoren hast du schon die Paralellität der Geraden gegeben, und durch die Leere Menge als Lösungsmenge beim Gleichsetzen hast du gegeben, dass sie echt parallel sind.
LG
Kroni
|
|
|
| |
|
wie muss ich das jetzt genau gleichsetzen? Oo
bzw wie mach ich das mit der leeren menge...
das MUSS null sein dann?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:03 Mo 26.11.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
die Lösung, damit die beiden Geraden parallel sind, hast du ja schon. Das bekommt man ja auch durch "hinsehen" heraus.
Nun muss aber gelten: Wenn die Geraden echt parallel sein sollen, so dürfen sie nicht "übereinander" liegen. D.h., wenn ich sie zum Schnitt kommen lasse, muss herauskommen, dass sie in keinem Punkt gleich sind.
Was genau bedeutet "zum Schnitt kommen lassen"? Nun ja, wenn ich den Schnittpunkt von zwei geraden berechnen will, dann will ich doch, dass folgendes gilt: Der [mm] x_1 [/mm] Wert beider geraden sollen gleich sein. Das selbe soll für die [mm] x_2 [/mm] und [mm] x_3 [/mm] -Werte der beiden Geraden gelten. Ist dir das soweit klar?
Nun gut, deine Geradengleichung sagt doch nichts anders aus. Denke dir dein [mm] \vec{x}, [/mm] was vor der Geradengleichung steht, als [mm] \pmat{x_1\\x_2\\x_3}. [/mm] Und das steht dann ja vor beiden Geradengleichungen. Nun kannst du sagen, dass die beiden "Formeln", die durch die beiden Geradengleichungen gegeben sind, für x1 bei beiden Geraden gleich sein sollen. D.h. ich setzte die beiden oberen Zeilen geich etc.
Dann kann ich das Gleichungssystem lösen, und dann fordern, dass die Lösungsmenge des Gleichungssystems die leere Menge ist (d.h. es gibt keine Koeffizienten, so dass alle drei x-Werte gleich sind).
Das ist nur eine allgemeine Überlegung, die man evtl. anwenden kann. Ob sie in deinem Fall praktikabel ist, weiß ich nicht.
LG
Kroni
|
|
|
| |
|
okay danke
aber wie fordere ich das die lösungmenge gleich null ist?und dann muss ich ja auch werte für a und c rausbekommen.
also wenn ich will das sie identisch sind muss ich ja dasselbe machen da und nach a und c auflösen. aber wie muss ich jetzt genau bei parallelität das anders machen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:44 Mi 28.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
